初中數(shù)學(xué)-方程思想解題實(shí)例

1、方程思想解題實(shí)例一、 知識(shí)梳理 方程思想是指從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，適當(dāng)設(shè)定 未知數(shù)，把所研究的數(shù)學(xué)問題中已知 量 和未知量之間的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程 或方程組的數(shù)學(xué)模型，從而使問題得到 解決的 思維方法 方程思想的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)是使問題簡單化，方便解題，我們?cè)诔踔须A段陸續(xù)學(xué)習(xí)了一元一次方 程，二元一次方程（組） ，分式方程，一元二次方程，感受到了方程思想在解決實(shí)際問題中 的魅力。同樣，方程思想在幾何問題及函數(shù)問題中仍然有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用，我們會(huì)經(jīng)常利 用到這些方程、方程組作為解題的工具 方程思想的本質(zhì)是用設(shè)未知數(shù) 用未知量表示已知 量的方法，通過分析題中的等量關(guān)系，利用所學(xué)定理、性質(zhì)等尋找出等量關(guān)

2、系。本專題主 要從幾何中的方程思想及函數(shù)中的方程思想展開討論。二、課堂案例講練 幾何中的方程思想 在幾何中建立等量關(guān)系的常用方法有1 利用勾股定理建立等量關(guān)系；2 利用圖形中的線段相等建立等量關(guān)系；3 利用圖形中的相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例建立等量關(guān)系。4 利用三角形外角定理及三角形內(nèi)角和建立等式（一） 利用勾股定理建立等量關(guān)系 例 1 如圖所示，折疊長方形（四個(gè)角都是直角）的一邊AD 使點(diǎn) D 落在 BC 邊的點(diǎn) F 處，已知AB=DC=8cmAD=BC=10cm ，求 EC 的長BF 的長，利用勾股定理即可求解析： 想求得 EC 長，利用勾股定理計(jì)算，需求得FC 長，那么就需求出得 BF 長

3、解：設(shè) EC 的長為 xcm ，DE= （8-x ）cm ADE 折疊后的圖形是 AFE，AD=AF ， D= AFE ， DE=EF AD=BC=10cm ， AF=AD=10cm 又 AB=8cm ，在 RtABF 中，根據(jù)勾股定理，得 AB2+BF2=AF28 2+BF 2=10 2 BF=6cm FC=BC-BF=10-6=4cm 在 Rt EFC 中，根據(jù)勾股定理，得： FC 2+EC 2=EF 2 42+x2=（8-x）2，即 16+x 2=64-16x+x 2， 化簡，得 16x=48 x=3 故 EC 的長為 3cm 前思后想：翻折中較復(fù)雜的計(jì)算，需找到翻折后相應(yīng)的直角三角形，

4、利用勾股定理求解所需線段，另本題也可以利用三角形相似，及線段相等建立等量關(guān)系來解決 .課堂訓(xùn)練：1.有兩張相同的矩形紙片，邊長分別為2和 8，若將兩張紙片交叉重疊，則得到重疊部分面積最小是 ，最大的是 .2. 動(dòng)手操作：在一張長 12cm 、寬 5cm 的矩形紙片內(nèi)，要折出一個(gè)菱形小穎同學(xué)按照取兩組對(duì)邊中點(diǎn)的 方法折出菱形 EFGH （見方案一） ，小明同學(xué)沿矩形的對(duì)角線 AC折出 CAE= CAD ， ACF= ACB 的 方法得到菱形 AECF （見方案二）1）你能說出小穎、小明所折出的菱形的理由嗎？2）請(qǐng)你通過計(jì)算，比較小穎和小明同學(xué)的折法中，哪種菱形面積較大？（二） 利用三角形相似的性

5、質(zhì)建立等量關(guān)系例 1： 有一塊兩直角邊長分別為 3cm 和 4cm 的直角三角形鐵皮，要利用它來裁剪一個(gè)正方形，有兩種方 法：一種是正方形的一邊在直角三角形的斜邊上，另兩個(gè)頂點(diǎn)在兩條直角邊上，如圖（1）；另一種是一組鄰邊在直角三角形的兩直角邊上，另一個(gè)頂點(diǎn)在斜邊上，如圖（2）兩種情形下正方形的面積哪個(gè)大？解析：（1 ）利用三角形的面積關(guān)系求出 AB 邊上的高，再利用相似三角形的性質(zhì)求出正方形的邊長； （2 ）設(shè)出正方形的邊長，再利用相似三角形的性質(zhì)求出正方形的邊長前思后想：（ 1 ）利用面積法求出直角三角形斜邊上的高是解答此題的關(guān)鍵；（2 ）也可根據(jù) ADE ACB 或BFE BCA 來解答

6、課堂訓(xùn)練：1. 如圖，鐵道口的欄桿 AB 的短臂0.85m 時(shí)，長臂端點(diǎn) B 升高多少？ 下面是小明的解題過程：OA=1.25m ，長臂 OB=16.5m ，?當(dāng)短臂端點(diǎn) A? 下降如圖，連接 AA， BB，因?yàn)?2，所以 AA? O BB =0.85，所以1.25 0.8516.5 BBAOAABOBBO，有AOAOBOBOAO=A O，BO=B O，所以又 1=，因?yàn)?AO=1.25 ， BO=16.5 ，AA，解得 BB=11.22，?即長臂端點(diǎn) B 升高了 11.22m”你認(rèn)為小明的解題過程正確嗎？如果不正確，請(qǐng)寫出你的答案2如圖，在 矩形 FGHN 中，點(diǎn) F、G 在邊 BC 上，點(diǎn)

7、 N 、 H 分別在邊 AB 、 AC 上，且 ADBC，垂足為 D，AD交 NH 于點(diǎn) E，AD=8cm ，BC=2 4cm，NF：NH=1：2，求此 矩形的面積3. 如圖 3，在梯形 ABCD 中， AD BC，AD 3，DC 5，AB 4 2，B 45 動(dòng)點(diǎn) M 從 B 點(diǎn)出發(fā)沿線段 BC 以每秒 2 個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn) N 同時(shí) 從 C 點(diǎn)出發(fā)沿線段 CD 以每秒 1 個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t 秒1）求 BC 的長2）試探究： t 為何值時(shí)， MNC 為等腰三角形三） 利用線段相等建立等量關(guān)系例 1. 如圖，等腰梯形 ABCD中，ADBC，

8、AB=CD，AD=10cm，BC=30cm，動(dòng)點(diǎn) P從點(diǎn) A 開始沿 AD 邊向點(diǎn) D 以每秒 1cm 的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn) Q 從點(diǎn) C開始沿 CB邊向點(diǎn) B 以每秒 3cm 的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t 秒（1）t 為何值時(shí)，四邊形 ABQP 是平行四邊形？（2）四邊形 ABQP 能成為等腰梯形嗎？如果能，求出t 的值；如果不能，請(qǐng)說明理由解析：（1）當(dāng) AP=BQ 時(shí)，四邊形 ABQP是平行四邊形； （2）若四邊形 ABQP 能成為等腰梯形，則一定要滿足PD=CQ.解：（ 1）當(dāng) AP=BQ時(shí)，四邊形 ABQP是平行四邊形，而 AP=t1=；t

9、BQ=BC-CQ=30-t 3=30-3tt=30-3t 解之得： t=7.5（2）四邊形 ABQP 能成為等腰梯形四邊形 ABCD為等腰梯形AB=CD， B=C.若四邊形 ABQP是等腰梯形則 AB=PQ， B=PQB, CD=PQ， C=PQB CD PQ四邊形 PQCD為平行四邊形 PD=CQ .而 PD=AD-AP=10-t 1=10-t； CQ=t3=3t,則 10-t=3t, 解得 t=2.5前思后想：做此類運(yùn)動(dòng)題時(shí)要先在圖上畫出符合題意的大致圖象，然后設(shè)出未知量，根據(jù) 題意尋找等量關(guān)系，第( 2)問可這樣思考：先逆向假設(shè)四邊形ABQP能成為等腰梯形，則PD=CQ，建立相關(guān)的等式，

10、若能解出符合題意的值，則存在，然后再順向?qū)懗鲞^程 課堂訓(xùn)練：1. 如圖，在直角梯形 ABCD 中， AD BC， C90， BC 16， DC 12， AD 21。 動(dòng)點(diǎn) P從點(diǎn) D出發(fā)，沿射線 DA 的方向以每秒 2兩個(gè)單位長的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn) Q從點(diǎn)C 出發(fā)，在線段 CB 上以每秒 1 個(gè)單位長的速度向點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) P， Q 分別從點(diǎn) D， C 同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn) Q 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) B 時(shí)，點(diǎn) P 隨之停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t(秒)。當(dāng) t 為何值時(shí)，以 B，P，Q 三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？2.如圖，直角梯形 ABCD中， AD BC， ABC90，已知 AD AB 3，BC 4，動(dòng)

11、點(diǎn) P從 B 點(diǎn)出發(fā)，沿線段 BC向點(diǎn) C作勻速運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn) Q從點(diǎn) D 出發(fā)，沿線段 DA向點(diǎn) A 作勻速運(yùn) 動(dòng)過 Q 點(diǎn)垂直于 AD 的射線交 AC于點(diǎn) M，交 BC于點(diǎn) N P、 Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為 每秒 1個(gè)單位長度當(dāng) Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 A 點(diǎn)， P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn) Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t 秒(1)求 NC、PN的長(用 t 的代數(shù)式表示 )；(2)當(dāng) t 為何值時(shí)，四邊形 PCDQ構(gòu)成平行四邊形？當(dāng) t 為何值時(shí)，四邊形 PCDQ構(gòu)成等腰梯形？；是否存在某一時(shí)刻，使射線 QN 恰好將梯形 ABCD 的面積和 周長同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí) t 的值；若不存在，請(qǐng)說明 理由（四） 設(shè)

12、未知量求角度例 1：已知：如圖所示，在 ABC 中， AB=AC ，D 為 AC 上一點(diǎn)，且 BD=BC ，E 為 AB 上一點(diǎn)，且（四） 設(shè)未知量求角度例 1：已知：如圖所示，在 ABC 中， AB=AC ，D 為 AC 上一點(diǎn)，且 BD=BC ，E 為 AB 上一點(diǎn)，且AD=DE=EB ，那么 A 的度數(shù)是 度.解析： 設(shè) EBD=x ，根據(jù)等邊對(duì)等角得出 A= 2x， C= ABC=3x ，根據(jù)三角形內(nèi)角 和定理得出 2x+3x+3x=180 ，所以 A=45 前思后想：等腰三角形中求某個(gè)角的度數(shù)時(shí)，通常都可以根據(jù)“三角形內(nèi)角 和、三角形外角的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)” ，找出相應(yīng)的等量關(guān)

13、系，通過列 方程解決此類問題。課堂練習(xí)：1.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30，則頂角的度數(shù)為 2.等腰三角形兩角的度數(shù)之比為 4:1 ，其內(nèi)角的度數(shù)分別為 .3.如圖，在ABC 中， AB=AC ，點(diǎn) D在AC上，且 BD=BC=AD ，則 A= 4. 如圖，點(diǎn) O 是等邊ABC 內(nèi)一點(diǎn)，連接 OA、OB、OC，將BOC 繞點(diǎn) C 按順時(shí)針 方向旋轉(zhuǎn) 60得ADC ，連接 OD （ 1）求證： COD 是等邊三角形； （ 2）若 OA=3 ，OC=4 ，OB=5 ，試判斷AOD 的形狀，并說明理由（3）若 AOB=110 ， BOC= ，請(qǐng)?zhí)骄浚寒?dāng) 為多少度時(shí)， AOD 是等腰三角形？

14、函數(shù)中的方程思想函數(shù)中的方程思想主要體現(xiàn)在： 1.求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn) 問題; 2.已知 y 的值，求相應(yīng) x的 值。例 1：解析：根據(jù)題意分別求出 A， B，C，D的坐標(biāo)，再用 SACD-SBCD即可求出ABC 的面積前思后想：本題也可將 ABC 的面積分成兩個(gè)三角形面積的和來求解 例 2 （2012 南京 ） 若反比例函數(shù) y= k 與一次函數(shù) y=x+2 的圖象沒有交點(diǎn)，則 k 的值可以是（ ）A.-2B.-1C.1D.2解析：函數(shù)圖象交點(diǎn)問題都可以通過聯(lián)立方程組（也就是利用兩個(gè)函數(shù)值相等）來解決，此題聯(lián)立方程后會(huì)得到一個(gè)一元二次方程，沒有交點(diǎn)就意味著此方程無解，也就是判別式小于 0.解

15、：令=x+2, 得 x2+2x-k=0, 由兩圖象沒有交點(diǎn)，可得此方程無解，即b2-4ac=4+4k0, 解得 k-1, 故選Ay1=y2 ，在所形成的一元二次0課堂練習(xí)：11. （2011 黃石 ）若一次函數(shù) y=kx+1 的圖象與反比例函數(shù) y= 的圖象沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) k 的取值范x圍是 2.一次函數(shù)圖象 y=kx+2 與拋物線 y=2x 2+3x+1 的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 .3已知，如圖，一次函數(shù) y=2x+1 與反比例函數(shù) y= k 交于 A,B 兩點(diǎn)，其中點(diǎn) A 的橫坐標(biāo)為 1. （1 ）求反比例函數(shù) y= k 的解析式；（2）過點(diǎn) A作y軸的平行線，過點(diǎn) B作x軸的平行線，兩平行線相交

16、于點(diǎn) C，求 ABC 的面積.課后作業(yè)檢測(cè)1.在ABC 中， A- C=35， B-A=5，求 B=.2.在ABC 中， AB=AC ， BD平分 ABC 交AC邊于點(diǎn) D， BDC=75，則 A的度數(shù)是3.如圖， A=15， AB=BC=CD=DE=EF ，則 DEF=.4. 如圖，已知第一象限內(nèi)的圖象是反比例函數(shù) 圖象的一個(gè)分支，第二象限內(nèi)的圖象是 反比例函數(shù) 圖象的一個(gè)分支，在 軸上方有一條平行于 軸的直線 與它們分別交于點(diǎn) A、B，過點(diǎn) A、B作 軸的垂線，垂足分別為 C、D.若四邊形 ACDB 的周長為 8 且 ABAC，則點(diǎn) A 的坐標(biāo)是.（第 4 題） （圖） （圖）5.如圖，在

17、梯形 ABCD 中， AD BC， A=60，動(dòng)點(diǎn) P 從 A 點(diǎn)出發(fā)，以 1cm/s 的速度 沿著 ABCD 的方向不停移動(dòng)，直到點(diǎn) P到達(dá)點(diǎn) D 后才停止 .已知 PAD 的面積 S（單位：）與點(diǎn) P移動(dòng)的時(shí)間 t（單位： s）的函數(shù)關(guān)系式如圖所示，則點(diǎn)P 從開始移動(dòng)到停止移動(dòng)一共用了 秒（結(jié)果保留根號(hào)） .6.如圖，已知 ABC 中， AB AC 10厘米， BC 8厘米，點(diǎn) D 為 AB 的中 點(diǎn)（1）如果點(diǎn) P在線段 BC上以 3厘米/秒的速度由 B 點(diǎn)向 C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn) Q在線段 CA 上由 C 點(diǎn)向 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（1）若點(diǎn) Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn) P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過 1秒后， B

18、PD與CQP 是否全等，請(qǐng)說明理由；若點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn) P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使BPD 與 CQP 全等？2）若點(diǎn) Q 以中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn) C出發(fā)，點(diǎn) P 以原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn) B 同時(shí)出發(fā)，都 逆時(shí)針沿 ABC三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過多長時(shí)間點(diǎn) P與點(diǎn) Q 第一次在 ABC的哪條邊上相AP點(diǎn) N ，遇？ 7.（ 2012 江寧二 模） 數(shù)學(xué)實(shí) 驗(yàn)室： 小明取 出一張 矩形紙片 ABCD ，AD=C=5 ，Q后將2）如何折疊能夠使 MNK 的面積最大？請(qǐng)你利用備用圖探究可能出現(xiàn)的情況，求出AB=CD =25他先在矩形 ABCD 的邊 AB 上取一點(diǎn) M，接著在 C

19、D 上紙片沿 MN 折疊，使 MB與 DN 交于點(diǎn) K，得到 MNK （如圖）B最大值8全國第十屆數(shù)學(xué)教育方法論暨 MM 課題實(shí)施 20 周年紀(jì)念活動(dòng)于 9 月 27 在無錫市一中拉開帷幕與會(huì) 期間全國數(shù)十位老師上了精彩紛呈的展示課，其中青島一位老師的“折紙 ”課，武漢的裴光亞教授評(píng)價(jià)是： 栩栩如生，五彩繽紛 ”課堂上老師提出這樣一個(gè)問題：你能用手中的矩形紙片盡可能大的折出一個(gè)菱形 嗎？有兩位同學(xué)很快折出了各自不同的菱形，如下圖：（1 ）如果該矩形紙片的長為 4，寬為 3，則圖 1 、圖 2 兩圖中的菱形面積分別為 .（2）這時(shí)老師說，這兩位同學(xué)折出的菱形都不是最大的，聰明的你能夠想出最大的菱

20、形應(yīng)該怎樣折出來 嗎？如圖 3 所示：在矩形 ABCD 中，設(shè) AB=3 ，AD=4 ，請(qǐng)你在圖中畫出面積最大的菱形的示意圖，標(biāo)注 上適當(dāng)?shù)淖帜?，并求出這個(gè)菱形的面積（3）借題發(fā)揮：如圖 4，在矩形 ABCD 中， AB=2 ，AD=3 ，若折疊該矩形，使得點(diǎn) D與 AB邊的中點(diǎn) E 重合，折痕交 AD 于點(diǎn) F ，交 BC 于點(diǎn) G，邊 DC 折疊后與 BC 交于點(diǎn) M 試求 EBM 的面積9.如圖，在等腰梯形 ABCD 中， AD BC ，AB=CD=10 ， AD=6 ， BC=18 ， M是 CD的中點(diǎn)， P是BC 邊 上的一動(dòng)點(diǎn)（ P 與 B，C 不重合），連接 PM 并延長交 AD

21、 的延長線于 Q （1）當(dāng)P在B，C之間運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形 ABPQ 是平行四邊形？請(qǐng)說明理由10.如圖，在直角梯形 ABCD 中， A=90 ， AB CD ， AB=1 ， CD=6 。（1）若 AD=5 ，在線段 AD 上是否存在點(diǎn) P，使得以點(diǎn) P、A、B 為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn) P、C、D 為頂 點(diǎn)的三角形相似？若存在，這樣的點(diǎn) P 有幾個(gè)？它們到點(diǎn) A 的距離是多少？若不存在，請(qǐng)說明理由。（2 ）若設(shè) AD=m ，在線段 AD 上存在唯一的一個(gè)點(diǎn) P，使得以點(diǎn) P、 A、 B 為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn) P、 C、 D 為頂點(diǎn)的三角形相似？求 m 的值。AB11. 如 圖 ， 已 知

22、 直 線 y 1 x 1212y 2x2 bx c 與直線交于與 y 軸交于 點(diǎn) A，與 x 軸交 于點(diǎn) D，拋物 線A、E 兩點(diǎn)，與 x軸交于 B、 C兩點(diǎn)，且 B 點(diǎn)坐標(biāo)為 （1 ，0）。求該拋物線的解析式；動(dòng)點(diǎn) P 在 x 軸上移動(dòng)，當(dāng) PAE 是直角三角形 時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo) P。12. （ 2012 ?揚(yáng)州）已知拋物線 y=ax 2+bx+c 經(jīng)過 A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，直線 l 是拋 物線的對(duì)稱軸（ 1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（ 2）設(shè)點(diǎn) P 是直線 l 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) PAC 的周長最小 時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)；（ 3）在直線 l 上是否存在點(diǎn) M，使

23、 MAC 為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符 合條件的點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由t 10 2t 得 tt 10 2t 得 t答案：（一）利用勾股定理建立等量關(guān)系1. 4，1722. （1）略 （ 2）方案一： 30cm2方案二： 35.21 cm 2 , 方案二小明同學(xué)所折的菱形面積較大。（二）利用三角形相似的性質(zhì)建立等量關(guān)系1. 不正確作 ACAB，B DAB， 所以 A CO=B DO=90， 又 1= 2，所以 OCA ODBACAOBDBO所以因?yàn)?A O=AO=1.25， B O=BO=16.5， A C=0.85 ，所以0.85 1.2516.5BD，解得 BD=11.22 ，即長臂端點(diǎn) B 升高了 11.22m22.46.08 cm 23. （1） BC=10（2）分種情況 討論 ：當(dāng) NC MC 時(shí)，如圖 1， 由103當(dāng) MN NC 時(shí)，如圖 2，過 N 作 NE MC 于 E2525A由等腰三角形三線合一性質(zhì)得NCECDCHC即EC 60 或 120 2. 1