現代控制理論第7章最優(yōu)控制

1、第7章 最優(yōu)控制 7.1 基本概念 7.2 變分法在最優(yōu)控制中的應用 7.3 極小值原理 7.4 動態(tài)規(guī)劃 7.5 線性二次型最優(yōu)控制 7.6 實用最優(yōu)控制系統(tǒng) 本章小結 概述最優(yōu)控制作為現代控制理論的重要組成部分，所要解決的主要問題是如何在給定條件下，確定一種合理的控制規(guī)律，使被控對象在預先規(guī)定意義上的性能指標具有最優(yōu)值。 早在20世紀50年代初期，隨著計算機技術的飛速發(fā)展和空間技術的迫切需求，推動人們研究更為復雜的控制系統(tǒng)，并建立了以狀態(tài)空間法為基礎的最優(yōu)控制理論。通過研究發(fā)現，最優(yōu)控制問題的本質是求解泛函極值問題，屬于變分學的理論范疇。 經典的變分理論只能解決容許的控制律屬于開集的一類最

2、優(yōu)控制問題。在開辟求解最優(yōu)控制問題新途徑的工作中，原蘇聯學者龐特里亞金（）的“最小值原理”和美國學者貝爾曼（R. E. Bellman）的“動態(tài)規(guī)劃”占有重要地位，成為解決最優(yōu)控制中控制律有閉集約束問題的有效工具。 根據控制變量的取值范圍有無限制，可將最優(yōu)控制問題分為無約束最優(yōu)控制和有約束最優(yōu)控制。本章主要介紹求解無約束最優(yōu)控制問題的變分法和有約束最優(yōu)控制問題的最小值原理、動態(tài)規(guī)劃、線性二次型最優(yōu)控制和應用MATLAB求解最優(yōu)控制問題等內容。7.1基本概念7.1.1宇宙飛船登月軟著陸的實例實例1：宇宙飛船若實現在月球表面實現軟著陸，即登月艙到達月球表面時的速度為零，要尋求登月艙發(fā)動機推力的最優(yōu)

3、變化率，使燃料消耗最少，以便在完成登月考察任務后，登月艙有足夠燃料離開月球與母艙會合，從而返回地球。 飛船登月艙質量高度垂直速度發(fā)動機推力月球重力加速度為常數飛船登月艙不含燃料時的質量登月艙所載燃料質量登月艙登月時的初始高度初始垂直速度登月艙的運動方程 初始條件為式中k為常數。末端條件式中， 為登月艙發(fā)動機工作的末端時刻。 控制約束條件為式中， 為登月艙發(fā)動機最大推力。 性能指標取為表征燃料能耗量的登月艙著陸時的質量，即 7.1.2 最優(yōu)化問題的數學描述 從上述實例可以看出，最優(yōu)控制理論通常是將控制問題嚴格地抽象為數學模型后再求解的。 最優(yōu)化問題的數學描述，應包括以下四個方面的內容： （1）受

4、控動態(tài)系統(tǒng)的數學模型，即受控系統(tǒng)動力學特性的系統(tǒng)狀態(tài)方程，它反映了動態(tài)系統(tǒng)在運動過程中所應遵循的客觀規(guī)律，是描述被控系統(tǒng)各狀態(tài)變量之間關系的一組等式。 （2）動態(tài)系統(tǒng)的初態(tài)和終態(tài)（末態(tài)）即狀態(tài)方程的邊界條件。一個動態(tài)過程，歸根到底是狀態(tài)空間從一個狀態(tài)轉移到另一個狀態(tài)。 （3）目標函數（又稱性能指標或性能泛函或目標泛函等）。目標函數是一個衡量“控制作用”效果的性能指標。為了實現動態(tài)過程中狀態(tài)從初態(tài)轉移到終態(tài)，可以通過不同的控制來完成，而各種控制效果的好壞，可通過能否達到所規(guī)定的目標函數來判別。對于最優(yōu)化問題的目標函數，其內容與形式主要取決于具體最優(yōu)化問題所要解決的主要矛盾。 （4）容許控制的集合

5、。每一個實際的控制問題，控制向量u(t)都有一個規(guī)定的取值范圍，這個取值范圍對應于m維控制空間Rm中的一個集合，而u(t)的每一個取值對應于集合中的一個元素。凡屬于集合的控制稱為容許控制。如果容許控制受到限制，如 ，則稱容許控制屬于某一閉集；如果容許控制向量u(t)的取值不受限制，則容許控制屬于某一開集。容許控制屬于閉集和開集的兩類問題，在處理方法上有較大差別。 最優(yōu)控制問題的一般提法為：已知被控系統(tǒng)的狀態(tài)方程及給定的初始狀態(tài)，規(guī)定一個目標集，求一容許控制，使得被控系統(tǒng)在初始時刻由初始狀態(tài)出發(fā)，在終止時刻轉移到目標集，并使性能指標滿足要求。7.2變分法在最優(yōu)控制中的應用變分法是求解泛函極值的一

6、種經典方法，可以確定容許控制為開集的最優(yōu)控制函數，也是研究最優(yōu)控制問題的一種重要工具。 本節(jié)在簡要地介紹泛函及變分學的概念和原理的基礎上，著重闡述無約束條件的最優(yōu)控制變分求解和有等式約束條件的最優(yōu)控制變分求解方法。 7.2.1 泛函與變分法的基本概念 泛函可以理解為“函數的函數”，其值由函數的選取而定，這一點與“復合函數”的概念有本質差異。 求證7.2.2 泛函極值7.2.2 泛函極值證明“歐拉方程”或“歐拉拉格朗日方程” 橫截條件7.2.2 泛函極值7.2.3 橫截條件7.2.3 橫截條件7.2.3 橫截條件解即7.2.4 條件極值屬于二點邊界值問題，只有在特殊的情況下才能求出它的解析解。一般情況下，只能使用計算機求出數值解。 7.3極小值原理向量差分方程，常稱為離散歐拉方程 離散橫截條件 7.4動態(tài)規(guī)劃7.5線性二次型最優(yōu)控制7.6實用最優(yōu)控制系統(tǒng)7.6.3二級倒立擺控制 每一級擺桿都是剛體； 在實驗過程中同步帶長度保持不變； 驅動力與放大器輸入成正比，沒有延遲直接施加于小車； 實驗過程中的庫侖摩擦、動摩擦等所有摩擦力足夠小，在建模過程中可忽略不計。針對二級倒立擺系統(tǒng)的平衡控制問題，首先對該系統(tǒng)進行建模；并設計了兩種控制方法：線性二次狀態(tài)控制器和線性二次輸出控制器；最后根據所得控制策略進行了仿真，對所獲得的控制結果進行了對比研究，不僅從理論上分析了兩種方法