經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(線性代數(shù))講義

1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(線性代數(shù))講義經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)線性代數(shù)學(xué)習(xí)講義合川電大蘭冬生1，矩陣：A =，稱為矩陣。認(rèn)識矩陣第一步：行與列，橫為行，豎為列，第一行依次0,1,2，第二行1,1,4第一列0,1,2這是一個(gè)三行三列矩陣，再給出一個(gè)三行四列矩陣教材概念的m行n列矩陣。，這個(gè)矩陣記作，表明這個(gè)矩陣有行，列，注意行m 寫在前面,列n寫在后面，括號里面的稱為元素，記為，是行，是列，例如：是三行四列矩陣，也說成矩陣，注意行3在前面，列4在后面，這里（就是指的第一行第一列那個(gè)數(shù)）（就是指的第二行第三列那個(gè)數(shù)）2，矩陣加法矩陣加法，滿足行列相同的矩陣才能相加，對應(yīng)位置的數(shù)相加。例如：+=減法是對應(yīng)位置的數(shù)相減。,3，

2、矩陣的乘法矩陣乘法參看以下法則：注意字母對應(yīng)說明：=乘積的結(jié)果矩陣等于第一個(gè)矩陣的第一行元素乘以第二個(gè)矩陣的第一列元素，注意是對應(yīng)元素相乘，再求和。乘積的結(jié)果矩陣等于第一個(gè)矩陣的第二行元素乘以第二個(gè)矩陣的第一列元素。依次類推，結(jié)果元素等于第行乘以第列，舉例：矩陣A =，B =，AB =第一行乘以第一列，第一行乘以第二列，第二行乘以第一列，第二行乘以第二列，可以乘的條件：第一個(gè)矩陣的列數(shù)和第二個(gè)矩陣的行數(shù)必須相同，就是尾首必須相同，可以乘必須是矩陣腳標(biāo)的尾等于矩陣腳標(biāo)的首相等，例如:可乘不可乘，只要尾首相同就可乘，乘積為矩陣?yán)?可乘，乘積結(jié)果為矩陣可乘，乘積結(jié)果為矩陣矩陣的數(shù)乘，一個(gè)數(shù)乘以一個(gè)

3、矩陣，等于這個(gè)矩陣的每個(gè)元素乘以這個(gè)數(shù)例：A =，3A =.矩陣的乘法可以看出，矩陣的乘法不可交換，一般情況下4，矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣記為,轉(zhuǎn)置就是把矩陣的行列元素對調(diào)，也可以看成沿主對角線翻轉(zhuǎn)！A =，則,則從這里看出，下面一個(gè)矩陣A是23矩陣（2行3列）則AT是32矩陣（3行2列），2012年1月考題：設(shè)A為34矩陣，B為52矩陣，且乘積矩陣ACTBT有意義，則C為（ B ）矩陣。A. 42 B. 24 C. 35 D. 53分析：根據(jù)尾首相同法ACTBT可表示為（34）（）（25），中間一個(gè)就是42，注意是CT，所以C就是24。對稱矩陣：對稱矩陣的元素依主對角線對稱：1設(shè)，當(dāng)0時(shí)，是對

4、稱矩陣5，求矩陣的逆預(yù)備知識：（1），在數(shù)的學(xué)習(xí)中，數(shù)的單位是1，矩陣的單位是,除主對角是1以外，其余全是0，并且，單位矩陣全是方陣（行數(shù)與列數(shù)相等）任何矩陣乘以單位陣不變AI=A，（可以試一試）例，3階單位陣，I=，我們以3階陣來說逆，已知A =與前面類似，能不能找到一個(gè)矩陣，使得A乘以這個(gè)矩陣等于單位陣？記為,稱為的逆，（2）矩陣的初等變換，將矩陣的任意兩行互換，把某一行乘以一個(gè)數(shù)（指對這一行的每個(gè)元素都乘以這個(gè)數(shù)），把某一行乘以一個(gè)數(shù)，然后加到另外一行。求逆求逆原理：,舉例：設(shè)矩陣A =，求逆矩陣分析：第一步：把A和單位陣I寫在一起,AI =第二步：初等變換，（由于第一行第一個(gè)數(shù)是0，要

5、化成前面是單位陣，這里就不能是0，于是交換1,2行，隨便兩行都可以交換，因?yàn)榈诙械谝粋€(gè)數(shù)是1，簡單，所以就1,2行互換）第一行乘以-2加到第三行，目的是化0，除主對角以外，其他全部化成0第二行乘以3加到第三行，現(xiàn)在開始化上面，第二行乘以-1加到第一行第三行直接加到第一行；加到第二行把對角線上的都化成1，第三行乘以，這一步是把前面化成單位陣，這個(gè)就是我們要的，前半部分是I，后半部分就是所以A-1=這是個(gè)考題，具體計(jì)算可以省略些步驟，給出解題答案為：設(shè)矩陣A =，求逆矩陣解因?yàn)?AI ) =所以A-1=另一種題型，解矩陣方程，其原理是對兩邊左乘（就是靠在左邊），得,因?yàn)?所以，注意任何矩陣乘以單

6、位陣保持不變。例：已知，其中，求分析：先求逆，在計(jì)算。解：利用初等行變換得即 由矩陣乘法和轉(zhuǎn)置運(yùn)算得考題舉例：1，2設(shè)矩陣A =，B =，計(jì)算(AB)-1解因?yàn)锳B =(ABI ) =所以 (AB)-1= 3設(shè)矩陣A =，B =，計(jì)算(BA)-1解因?yàn)锽A=(BAI )=所以 (BA)-1=4解矩陣方程解因?yàn)榧此裕琗 =5設(shè)矩陣A =，B =，計(jì)算(ABT)-1解：所以6設(shè)矩陣，且有，求矩陣解：所以,又所以7. 設(shè)矩陣A =，B =，計(jì)算(A-I)-1B設(shè)矩陣A=-1-6，B=1解：8. 已知，其中，求解：利用初等行變換得即 由矩陣乘法和轉(zhuǎn)置運(yùn)算得9已知，其中，求10設(shè)矩陣，求解矩陣方程解：

7、因?yàn)榧此裕琗 =11.設(shè)矩陣，是3階單位矩陣，求解：由矩陣減法運(yùn)算得利用初等行變換得即 12.設(shè)矩陣，求解：利用初等行變換得即 由矩陣乘法得13. 設(shè)矩陣，求. 解因?yàn)? =所以=14設(shè)矩陣，求解：因?yàn)榧?所以 15設(shè)矩陣A =，求解因?yàn)?(AI )= 所以A-1 =16解：17設(shè)矩陣，求。18設(shè)矩陣，計(jì)算。矩陣求秩秩就是通過初等變換后，剩下的不全是0行數(shù)！表示為r(A)例：矩陣的秩是 2 .,2行不是0，秩是2考題舉例：1設(shè)，則_1_。2設(shè)矩陣，計(jì)算解：因?yàn)? =且=解方程組：這是每年必考題目！就是把方程組的系數(shù)寫成對應(yīng)的矩陣，通過初等變換，求出方程組的解。例如：求下列線性方程組的一般解：

8、這種非齊次型經(jīng)?？迹蟊仨氄莆战庖?yàn)樵鰪V矩陣（還原成解的形式：應(yīng)該是，）所以一般解為（其中是自由未知量）增廣矩陣就是系數(shù)和等號后面的數(shù)一起構(gòu)成的矩陣，的系數(shù)矩陣是，記為A，僅僅是系數(shù)構(gòu)成的矩陣。增廣矩陣是，記為，加了后面一列。就是多了等號后面一列方程組有解的條件：線性方程組有解的條件是，他的系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩即秩（A）=秩（），也可以寫成注意書上的定理，容易拿來考考填空：若線性方程組滿足秩（A）=秩（）=，則當(dāng)時(shí)，線性方程組有解且只有惟一解；當(dāng)時(shí)，線性方程組有無窮多解。通俗說法線性方程組有唯一解的條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩等于未知量個(gè)數(shù)，解的步驟：寫出增廣矩陣，進(jìn)行初等變換

9、，要求主對角全是1或0，主對角是1的那一列其余元素全是0，根據(jù)矩陣結(jié)果寫出解組。（注意表明自由未知量）自由未知量可以理解為參數(shù)，例如：上題的解是（其中是自由未知量）也可以寫成，設(shè)，解就可以寫成，其中是任意常數(shù)。（這里說明這個(gè)方程組的有很多解，不僅僅是一組數(shù)解，寫成沒有的形式更簡潔。）再看例子例：求下列線性方程組的一般解：解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形故方程組的一般解為:注意理解最后的矩陣還原。齊次型線性方程組有非0解（就是全部都不是0）的條件是秩（A），也就是系數(shù)矩陣A的秩小于行數(shù)（未知量的個(gè)數(shù)）15. 設(shè)齊次線性方程組，為何值時(shí)，方程組有非零解？在有非零解時(shí)求其一般解解：因?yàn)樗?，?dāng)時(shí)方程

10、組有非零解一般解為（其中為自由未知量）有解的條件是最下面一行必須全為0，所以！考題舉例1.求當(dāng)取何值時(shí)，線性方程組有解，并求出一般解解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形當(dāng)時(shí)，方程組有解，且方程組的一般解為其中為自由未知量2.求線性方程組的一般解解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形此時(shí)齊次方程組化為得方程組的一般解為其中是自由未知量3求解線性方程組的一般解解：將方程組的系數(shù)矩陣化為階梯形一般解為(是自由未知量) 4求當(dāng)取何值時(shí)，線性方程組有解，在有解的情況下求方程組的一般解解將方程組的增廣矩陣化為階梯形所以，當(dāng)時(shí)，方程組有解，且有無窮多解，一般解為：其中是自由未知量5. 求線性方程組的一般解一般解為：，其中，是自由未知量6求線性方程組的一般解解：因?yàn)橄禂?shù)矩陣所以一般解為（其中，是自由未知量）7當(dāng)取何值時(shí)，線性方程組有解？并求一般解解因?yàn)樵鰪V矩陣所以，當(dāng)=0時(shí)，線性方程組有無窮多解，且一般解為：是自由未知量8：求當(dāng)取何值時(shí)線性方程組有解，在有解的情況下求方程組的一般解解：將方程組的增廣