平面向量專題講座

1、平面向量與空間向量專 題1 向量及運算是現(xiàn)代數(shù)學(xué)重要標(biāo)志之一，其引入給中學(xué)數(shù)學(xué)帶來了無限生機和活力，大大拓寬了解題的思路與方法。它以平面幾何、直角坐標(biāo)系、三角函數(shù)等知識為基礎(chǔ)，融數(shù)、形于一體，它已成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個交匯點。因此，向量是高考命題中“在知識網(wǎng)絡(luò)處設(shè)計試題”的很好載體。一、考試要求解讀1平面向量：（考試要求）（1）理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念；（2）掌握向量加法與減法；（3）掌握實數(shù)與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件；（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量 的坐標(biāo)運算；（5）掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向

2、量的數(shù)量積可以處 理有關(guān)長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件；（6）掌握平面兩點間的距離公式，以及線段的定比分點和中點坐標(biāo)公式，并 且能熟練運用，掌握平移公式；2空間向量：（考試要求）（1）理解空間向量的概念，掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘法；（2）了解空間向量的基本定理，理解空間向量的坐標(biāo)的概念；掌握空間向量 的坐標(biāo)運算；（3）掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)；掌握用直角坐標(biāo)計算空間向量 數(shù)量積的公式；掌握空間兩點間距離公式；（4）理解直線的方向向量、平面的法向量、向量在平面內(nèi)的射影等概念；（5）掌握直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角、距離的概念，對 于異面直線的距離，只要求

3、會計算已給出公垂線或在坐標(biāo)表示下的距離。二、復(fù)習(xí)迎考策略1重視教材的基礎(chǔ)作用，加強基本知識復(fù)習(xí)，做到概念清楚， 運算準(zhǔn)確，書寫規(guī)范。2平面向量與空間向量的數(shù)量積的性質(zhì)和坐標(biāo)運算是備考的重點，復(fù)習(xí)中 要注意培養(yǎng)準(zhǔn)確的運算能力和熟練運用知識的能力。3空間向量，給傳統(tǒng)的立體幾何內(nèi)容注入了新的活力，為幾何推理運算化 開辟了新的途徑而空間向量的坐標(biāo)運算，更使得繁雜的立體幾何問題 解決變得 思路順暢，運算簡捷。重視基礎(chǔ)模型：直三棱柱正三棱柱、正 四棱錐、長方體；掌握基底法、坐標(biāo)法。4對向量與解析幾何、三角的綜合題主要體現(xiàn)在題目的新穎上，教師 要通過對一定例題的分析，使學(xué)生實現(xiàn) 以新化舊，以生化熟的轉(zhuǎn)化。

4、三、典型例題分析（1）注意平面向量與三角知識的聯(lián)系；（2）重視以平面向量為背景的解幾命題趨勢；（3）重視向量為工具處理立體幾何問題；（4）構(gòu)造向量，探索解題新思路。（1）注意平面向量與三角知識的聯(lián)系 由于平面向量的數(shù)量積 ，使得向量與三角函數(shù)之間有著不可割裂的聯(lián)系；另一方面，通過定義向量的坐標(biāo)運算，可將三角函數(shù)的內(nèi)容與向量內(nèi)容綜合。其中 為相互垂直的單位向量。例2 已知：的兩個內(nèi)角，是試求 的值。例3（2001年江西、山西、天津卷）設(shè)坐標(biāo)原點為，拋物線與過焦點的直線交于兩點，則（ ）（A）（B）（C）（D）（2）重視以平面向量為背景的解幾命題趨勢例4（2002年全國新課程卷）平面直角坐標(biāo)系中，

5、為坐標(biāo)原點，已知兩點若點 滿足則點 的軌跡方程為：例5（2003年） 是平面上一定點， 是平面上不共線的三個點，動點滿足 則點 的軌跡一定通過 的 ( )(A)外心 (B)內(nèi)心 (C)重心 (D)垂心 分析： 分別表示與 方向相同的單位向量,表示 的平分線為方向的向量。 則 點必在 的平分線上，即軌跡一定通過 的內(nèi)心，故選 B例6（200年上海卷）在以為原點的直角坐標(biāo)系中，點分析：本題依托向量，既考查向量的長度，數(shù)量積和坐標(biāo)等基礎(chǔ)知識，又考查直線與拋物線的位置關(guān)系問題，通過向量和解析幾何間的關(guān)系，陳題新組，考查基礎(chǔ)知識和基本方法。標(biāo)大于零。的直角頂點。已知且點的縱坐（）求向量的坐標(biāo)；對稱的兩個

6、點？若不存在，說明理由；若存在，求 的取值范圍；（）是否存在實數(shù) ，使拋物線上總有關(guān)于直線解：則解得：又故經(jīng)過原點 ，以以，其中例7(2003全國新課程卷）已知常數(shù)向量為方向向量的直線與經(jīng)過定點為方向向量的直線相交于。試問：是否存在兩個定點，使得為定值。若存在，求出 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。分析：本題以向量為背景，把解析幾何聯(lián)系起來，立意新，角度好，既考查向量的坐標(biāo)運算，又考查直線和圓錐曲線的方程，本題的關(guān)鍵是求出點 的軌跡方程。解：因此直線的方程分別為消去參數(shù)，得點 的軌跡方程為（3）重視向量為工具處理立體幾何問題例8 已知正三棱柱的各棱長都等于， 是底棱 的中點， 是側(cè)棱 上的點，且（

7、1）求異面直線 與 之間的距離；（2）求證：AA1B1C1BCMN123AA1B1C1BCMN123AA1B1C1BCMN方法小結(jié)：1）作、證、算2）設(shè)、求、證3）建、求、證橫坐標(biāo)取值范例9（2000年全國高考題）橢圓的焦點為 ，點 為橢圓上的動點，當(dāng) 為鈍角時，點圍是1）運用向量的數(shù)量積處理有關(guān)長度、角度、垂直等問題（4）構(gòu)造向量，探索解題新思路解：設(shè) 則 為鈍角 2）運用向量共線的充要條件處理有關(guān)平行、共線的問題 運用向量共線的條件處理有關(guān)平行或共線問題比用斜率研究這類問題簡捷的多，可免去對斜率是否存在的討論；而且思路清晰，近乎程序化。設(shè)，則 與 共線或平行的充分必要條件為存在唯一的實數(shù) ，使例10 已知常數(shù)，在矩形ABCD中為 的中點，點分別在移動，且為定點的距離和為定值？若存在，求出這兩點的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請說明理由。與交點（如圖），問：是否存在兩個定點，使點到這兩個分析：依據(jù)題設(shè)條件，求出點是否存在兩個定點，使得點 到兩個定點的距離之和為定值。的坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷OABCDFPGExy解：由題意得(1)(2)整