概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題答案 第1章

1、第一章概率論的基本概念1.寫(xiě)出以下隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間.(1)紀(jì)錄一個(gè)小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)(充以百分制記 分).解：S=g|z=0,l,.,100n,其中幾為小班人數(shù). n(2)同時(shí)擲三顆骰子，紀(jì)錄三顆骰子點(diǎn)數(shù)之和；解:S=3,4,，18.(3)生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品為止，紀(jì)錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件 數(shù)；解:5=10, 11, 12,.(4)對(duì)某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查，合格的記上“正品；不 合格的記上“次品; 如連續(xù)查出2個(gè)次品就停止檢查，或檢查4 個(gè)產(chǎn)品，停止檢查，紀(jì)錄檢查的結(jié)果.解:5= 00, 100, 0100, 0101, 1010, 0110,1100,0111, 1011, 11

2、01, 1110, 1111, 其中0表示次品，1表示正品.解:S= (X, y)*+y20, y0, z0, x+y+z=l,其中 x, y, z 分別表 示第一、二、三段的長(zhǎng)度.2.設(shè)4民。為三大事，用A,反。的運(yùn)算關(guān)系表示以下各 大事.(1必發(fā)生,3與。不發(fā)生；(1)p(A)=To+Tox9+Td98 io,。二果小衿蟲(chóng) i. (1)設(shè)甲袋中裝有只白球，加只紅球，乙袋中裝有N只 白球,M只紅球，今從甲袋中任取一只球放入乙袋中，再?gòu)囊掖?中任意取一只球，問(wèn)取到白球的概率是多少？解：用4表示“從甲袋中取得白球放入乙袋1 4表示“從甲 袋中取得紅球放入乙袋”.再記B表“再?gòu)囊掖腥〉冒浊颉?

3、由于 B=AiB+A2B且Ai,4 互斥， 所以P(B)=P(A 1 )P(B| AI )+P(A2)P(B| A2)k N+l , m y N n+m N+M+l n+m N+M+X _ (n+m)N+n (m+ri)(M+N+V). (2)第一只盒子裝有5只紅球，4只白球；其次只盒子裝 有4只紅球，5只白球.先從第一盒子中任取2只球放入其次盒 中去，然后從其次盒子中任取一只球，求取到白球的概率.解：記G為“從第一盒子中取得2只紅球”.。2為“從第一盒 子中取得2只白球”.Q為“從第一盒子中取得1只紅球，1只白 球”，D為“從其次盒子中取得白球、明顯G, C2, Q兩兩互斥, C2GdQ=S

4、,由全概率公式，有P(D)=P( Ci )P(D | Ci )+P( C2)P(D I C2)+P( C3)P(O IC3)二C； 5 16=53C； 11 C； 11 Cl 11 99,.某種產(chǎn)品的高標(biāo)為“MAXAM”，其中有2個(gè)字母已經(jīng)脫 落，有人撿起隨便放回，求放回后仍為“MAXAM”的概率.解：設(shè)A, A2,，Aio分別表示字母MA, MX, MA, MM, AX, AA, AM, XA, XM, AM脫落的大事,那么尸2,，10）, 用8表示放回后仍為“MAXAM”的大事，貝IJP（B|4）=N=1, 2, ,10）,尸04）=尸（bia）=i,所以由全概公式得P（小歲尸4）$x$8

5、+吊1+備1=|.男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者. 今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地選擇一人，恰好是色盲患者, 問(wèn)此人是男性的概率是多少？解A尸男人, 4=女人，/色盲,明顯4。42=5,Ai A2=0.由條件知尸（A）=P（4）=J,0（3|4）=5%,。（引4）=0.25%.由貝葉斯公式，有P（A 央B）=（4）P0A）5 P（B） P（A）P（3|4）+P（4）P（川 4）5=2 100=201 5 1 25 2T2 100 2 10000. 一同學(xué)接連參與同一課程的兩次考試.第一次及格的 概率為P,假設(shè)第一次及格那么其次次及格的概率也為P；假設(shè)第一次 不及格那么其次次及

6、格的概率為（1）假設(shè)至少一次及格那么他能取 得某種資格，求他取得該資格的概率.（2）假設(shè)他其次次已經(jīng) 及格，求他第一次及格的概率.解：A= 他第，次及格（，=1,2）.已4）=尸（A21Al）=p, P（4|&=p/2勺至少有一次及格）:啰月=兩次均不及格=AH，所以 p（B）=i-p（B）=i-p（4A）=i-m）Ml4） =i-1-p（4）1-p（AI4）= 1 （1一夕）（1P?.乙 乙乙（2）由乘法公式,有 P（A1A2）=P（A1）P（A2| A0=p2.由全概率公式，有_f（4）=f（4）f（4I4）+p（A）p（4IA）2 “、p P乙 P=PV+（1-P）齊勺+羊于是p（A 4

7、）=/=4.p p P+.將兩信息分別編碼為A和5傳遞出去，接收站收斂到 時(shí),A被誤收作B的概率為0.02,而B(niǎo)被誤收作A的概率為0.01, 信息A與信息B傳送的頻繁程度為2:1,假設(shè)收站收到的信息是 4問(wèn)原發(fā)信息是A的概率是多少？解：設(shè)即3 2分別表示發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號(hào)及“夕，又以4 有A2分別表示收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)7T及“歹.那么有P（4）=* P）q,P（Ai|S）=0.98,P（A2）=0.08,6（42）=0.01,尸（A2|&）=0.91, 從而由Beyes公式得p（4I4）=p（4I4）=p（4）p（4I4）p（4）p（4I4）+p）p（452）jx0.98?xO.98+ixO.Ol33

8、196197.有兩箱同種類(lèi)的零件，第一箱裝50只，其中10只一等 品；其次箱裝30只，其中18只一等品，今從兩箱中任挑出一箱 ,然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，作不放回抽樣.試 求第一次取到的零件是一等品的概率；（2）第一次取到的零件 是一等品的條件下，其次次取到的也是一等品的概率.解:記A尸在第，次中取到一等品（日,2）,氏挑到第，箱. 那么有=0.4.=0.4.p（A）=p（4）p（ $ | 4）+p（4）p（a I 理=/部乙 J 乙 J V/（2）尸（A4）=p（4）尸（4&4）+尸（與）尸（A4I 與）9 11,17 118 八皿”49 2 5 29 2 30=0.4856.=

9、0.4856.P（A 川=-44） = 0.19423（甸片）p（4）0.4到家時(shí)間.某人下午5:00下班，他所積累的資料說(shuō)明:5:355:39 5:405:44 5:455:49 5:505:54 5:54 之后乘地鐵到家的概率乘汽車(chē)到家的概率乘地鐵到家的概率乘汽車(chē)到家的概率0.100.300.250.350.450.200.150.100.050.05某日他拋一枚硬幣打算乘地鐵還是乘汽車(chē)，結(jié)果他是5:47到家 的，試求他是乘地鐵回家的概率.解：設(shè)4=乘地鐵，氏乘汽車(chē), C=在5:47到家,由題意 ,AB=0, AuB=S. P(A)=0.5, P(C|A)=0.45, P(C|B)=0.2

10、, P(5)=0.5,由貝葉斯公式有P(A|C)=P(C|A)P(A)P(O045x0,5=0.6923.P(C|A)P(A)P(C|A)P(A)+P(C|B)P(B).設(shè)有4個(gè)獨(dú)立工作的元件1,2, 3, 4.它們的牢靠性分 別為OM2,P3,小，將它們按圖1-3的方式聯(lián)接，求系統(tǒng)的牢靠性解：記4表示第i個(gè)元件正常工作gl, 2, 3, 4), A表示系統(tǒng) 正常.由于2A3+44兩種狀況不互斥，所以P(A)=P(4A2A3)+尸(AA)-尸(4A2A3 4)(加法公式) =P(A! )P(A2)P(A3)+P(A 1 )P(A4)-P(A! )P(A2)P(A3)P(A4) =p 1P2P3

11、+P1 P4-p 1P2P3P4(A 1, A2, A3,4 獨(dú)立).26.設(shè)有5獨(dú)立工作的元件1, 2, 3, 4, 5,它們的牢靠性均 為P,將它們按圖1-4的方式聯(lián)接，求系統(tǒng)的牢靠性.解：記A表示第i個(gè)元件正常工作(，=1, 2, 3, 4, 5), B表示系 統(tǒng)正常，那么P(B)=P(4A u A A AA u A A4)=p(A4)+p(AAA)+p(AA)+尸(AA4) -尸(44AA)-p(444A)-尸(44AA) 尸(AA4A)一尸(A4AAA)一尸(4AAA) +4P(A4A4A)-p(A4AAA)= 2p?+2p25p4+2p2.假如一危急狀況。發(fā)生時(shí)，一電路閉合并發(fā)出警

12、報(bào)，我 們可以借用兩個(gè)或多個(gè)開(kāi)關(guān)并聯(lián)以改善牢靠性.在C發(fā)生時(shí)這 些開(kāi)關(guān)每一個(gè)都應(yīng)閉合，且至少一個(gè)開(kāi)關(guān)閉合了，警報(bào)就發(fā)出, 假如兩個(gè)這樣開(kāi)關(guān)并聯(lián)接，它們每個(gè)具有。.95的牢靠性(即在狀 況C發(fā)生時(shí)閉合的概率).這時(shí)系統(tǒng)的牢靠性(即電路閉合的 概率)是多少？(2)假如需要有一個(gè)牢靠性至少為0.9999的系統(tǒng), 那么至少需要用多少只開(kāi)關(guān)并聯(lián)？這里各開(kāi)關(guān)閉合與否都是相互 獨(dú)立的.解：設(shè)4表示第i個(gè)開(kāi)關(guān)閉合，A表示電路閉合，于是 A=AdA2.由題意當(dāng)兩個(gè)開(kāi)關(guān)并聯(lián)時(shí)尸(A)=0. 96.再由Ai,4的 獨(dú)立性得P(A)=P(A 1 oA2)=P(A i )+P(A2)-P(A i A2) =P(A1)+

13、P(A2)-P(Ai)P(A2) =2x0.96-(0.96)2=0.9984.(2)設(shè)至少需要個(gè)開(kāi)關(guān)閉合，那么幾P(A)=P(ga)=lnlP(A)=l0.04420.9999,i=l即 0.040.00001,所以在端曙故至少需要4只開(kāi)關(guān)聯(lián).三個(gè)獨(dú)立地去破譯份密碼，各人能譯出的概率分 別為1/5, 1/3, 1/4,問(wèn)三個(gè)中至少有一個(gè)能將此密碼譯出的概率 是多少？解：設(shè)A,5。分別表示第一、二、三人獨(dú)立譯出密碼 表示密碼被譯出,那么P(D)=P(AuBuC)=l-P(AuBuC) =l-P(AnBnC)=l-P(A)P(B)P(C) _i 4 2 3_3-1 5X3X4-5-.設(shè)第一個(gè)盒子

14、裝有3只藍(lán)球,2只綠球,2只白球；其次 個(gè)盒子裝有2只藍(lán)球,3只綠球,4只白球.獨(dú)立地分別在兩只盒 子中各取一只球.(1)求至少有一只藍(lán)球的概率；(2)求有一只藍(lán)球一只白球的概率；(3)至少有一只藍(lán)球，求有一只藍(lán)球一只白球的概率.解：記A1, A2, A3分別表示是從第一只盒子中取到一只藍(lán)球, 一只綠球，一只白球,Bi, 4, 當(dāng)分別表示是從其次只盒子中取到 一只藍(lán)球，一只綠球，一只白球.那么4與8獨(dú)立gl, 2, 3).(1)所求概率為 (2)所求概率為p(A 鳥(niǎo) uA4)=p(A)p(四)+p(A)p(4)3x4+2x2=167 9 7 9 63.所求概率為P（AiB3jA3Bi| Aik

15、jBi）=P（AiB3| A i oB i ）+P（A3B 11 AioBi）二 PGWW） 尸（A4（w）p（2J p（W二尸（4員。44名）p（AA4uA4） PBJP（A。耳）二尸（4員）+尸（44）=16/63 = 16一PgBj_ 5/9 -35,. A,瓦。三人在同一辦公室工作，房間有三部 ，據(jù)統(tǒng) 計(jì)知，打給A, B, C的 的概率分別為2/5, 2/5, 1/5.他們?nèi)?常因工作外出，A, B, C三人外出的概率分別為1/2, 1/4, 1/4,設(shè) 三人的行動(dòng)相互獨(dú)立，求：(1)無(wú)人接 的概率；(2)被呼叫人在辦公室的概率；假設(shè)某一時(shí)間段打進(jìn)3個(gè) ，求：這3個(gè) 打給同一人的概率

16、；(4)這3個(gè) 打給不同人的概率；(5)這3個(gè) 都打給民而5卻都不在的概率.解：設(shè)4, Bi, Ci分別表示A, B, C三個(gè)人外出的大事,A, B, C分別表示打給三個(gè)人的 的大事.(1)P(無(wú)人接 )=P(43iC)=P(4)P(8i)P(G)4 4 32(2)用。表不被手叫在辦公室的大事，貝IJ D=AA+BJB+CC,p（d）=p（A a+他+Go=p（A）p（a）+p（耳）P（BP+P（Q 尸（C）_1 2,3x2,3xl_132 5 4 5 4 5 20(3)用石表示3個(gè) 打給同一個(gè)人的大事，Ei, &石3分別 表示3個(gè) 是打給A, B, C,那么E-E1+E2+E3,尸(為=玳耳

17、)+尸(與)+尸(耳)=。)3 + (1)3 + ()3二長(zhǎng).(4)用方表示3個(gè) 打給不同的人的大事，那么F由六種互 斥狀況組成，每種狀況為打給A, B,。的三個(gè) ，每種狀況的 概率為2X2X1. 4555 125于是P(F)=6x=丁尼 125 125,(5)由于是知道每次打 都給用其概率是1,所以每一次 打給3 而5不在的概率為:，且各次狀況相互獨(dú)立，于是P(3個(gè) 都打給B, B都不在的概率)=4)3=：.46431.袋中裝有機(jī)只正品硬幣,只次品硬幣(次品硬幣的兩面 均印有國(guó)徽).在袋中任取一只，將它投擲r次，每次都得 到國(guó)徽.問(wèn)這只硬幣是正品的概率為多少？解：用A表示消失次國(guó)徽的大事,3

18、表示任取一只是正品 的大事，那么P(A) = P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)=口口)+,m+n 2 m+nP(BA)=mm+n-2f32.設(shè)一枚深炸彈擊沉一潛水艇的概率為1/3,擊傷的概率 為1/2,擊不中的概率為1/6,并設(shè)擊傷兩次也會(huì)導(dǎo)致潛水艇下 沉，求施放4枚深炸能擊沉潛水艇的概率.解：用A表示施放4枚深炸擊沉潛水艇的大事，那么P（A）=l-P（A）=l-（1）4+q（1）3xl=l-.o o 2 o33.設(shè)依據(jù)以往紀(jì)錄的數(shù)據(jù)分析，某船只運(yùn)輸某種物品損 壞的狀況共有三種：損壞2%（這一大事記為A）,損壞10%（大事 A2）,損壞 90%（大事 4）,且知尸（Ai）=0.8,P

19、（A2）=0.15,尸（A3）=0.05, 現(xiàn)在從已被運(yùn)輸?shù)奈锲分须S機(jī)地取3件，覺(jué)察這3件都是好的 （這一大事記為5）,試分別求P（Ai，尸（這里設(shè)物 品件數(shù)許多，取出一件后不影響后一件是否是好品的概率）.解：由于5表取得三件好物品.B=AiB+A2B+A3B,且三種狀況互斥, 由全概率公式，有P 1 )P(B A i )+P(A2)P(B I A2)+P(A3)P(B IA 3)=0.8x(0.98)3+0.15x(0.9)3+0.05x(0.1)3=0.8624,p（&5）=p(43); P(A)P(3| A)= 0.8x(0.98)3P(B) P(B)0.8624=0.8731,p（4I

20、3）二P(&B)= P(4)P(5| 4)= 0.15x(0.9fP(B) - P(B) 0.8624=0.1268,P(43) _ P(A)尸(8| A) _ 0.05x(0.1)3P的P(B)0.8624=0.0001.解：表示為:ABC 或 A-(AB+AC)或 A-(5uC).(2)4 5都發(fā)生，而。不發(fā)生；解：表示為:A麻或AB-ABC或AB-C.(3)A, B, C中至少有一個(gè)發(fā)生；解表示為:A+3+C(4)4,氏C都發(fā)生；解：表示為:A3C(5)A,且。都不發(fā)生；解：表示為：入所 或S- (A+5+O或AuBuC(6)A,民C中不多于一個(gè)發(fā)生；解：即A,民。中至少有兩個(gè)同時(shí)不發(fā)生

21、相當(dāng)于AB, BC, AC中至少有一個(gè)發(fā)生.故表示為：AB+BC+AC.4B,C中不多于三個(gè)發(fā)生；解：相當(dāng)于：X瓦。中至少有一個(gè)發(fā)生.故表示為：或(8)A, B,C中至少有二個(gè)發(fā)生.解：相當(dāng)于:A氏5cAe中至少有一個(gè)發(fā)生.故表示為:AB+BC+AG3.設(shè)是兩大事且P(A)=0.6,P(B)=0.7.問(wèn)：(1)在什么條 件下P(A3)取得最大值，最大值是多少？(2)在什么條件下P(A5) 取得最小值，最小值是多少？解:由于 P(A5)=P(A)+P(5)-P(Au5),且 P(A)P(B)6產(chǎn)1, 2, 3, 4, 5, 6)并且滿意x+y=7,那么樣本空間為S=(x, y) (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3), 每種結(jié)果(羽 丁)等可能.A=擲二骰子，點(diǎn)數(shù)和為7時(shí)，其中有一顆為1點(diǎn),故 %A)=* .6 3解法二：用公式P(A|3)=4.S=(x, y)| x=L 2, 3, 4, 5, 6; y=l, 2, 3, 4, 5, 6), 每種結(jié)果均可能.A=擲兩顆骰子,中有一個(gè)為1點(diǎn)”，3=擲兩顆骰子,x+y=