高階方程的降階技巧竅門

1、高階方程的降階技巧 TOC o 1-5 h z 目錄 HYPERLINK l bookmark8 o Current Document .高階方程的引入及定義1 HYPERLINK l bookmark12 o Current Document .幾類常見的可降階的高階微分方程 2（一） y f （ x ） 型的微分方程2（二）yf（x, y） 型的微分方程3（三） yf （ y , y ）型的微分方程4 HYPERLINK l bookmark57 o Current Document （四）二階方程的哥級(jí)數(shù)解5 HYPERLINK l bookmark113 o Current Docum

2、ent .其他情況的高階微分方程7.總結(jié)1212-參考文獻(xiàn)高階方程的降階技巧摘要:對(duì)于高階方程的解法問題，降階是普遍的求解方法，利用變換把高階方程的求解問題化為較低階的方程的求解問題。 對(duì)于不同高階微分方程給出了相應(yīng)的 降階方法。關(guān)鍵詞:線性微分方程，降階，非零特解.高階方程的引入及定義所謂階，就是導(dǎo)數(shù)（或微分）的最高階數(shù).函數(shù)未知，但知道變量與函數(shù)的代數(shù)關(guān)系式，便組成了代數(shù)方程，通過求解代數(shù)方程解出未知函數(shù).同樣，如果知道自變量，未知函數(shù)及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）組成的關(guān)系式，得到的便是微分方程， 通過求解微分方程求出未知函數(shù)自變量只有一個(gè)的微分方程稱為常微分方程。自變量的個(gè)數(shù)為兩個(gè)或兩個(gè)以上的

3、微分方程稱為偏微分方程.而高階微分方程，即階數(shù)大于二或者等于二的方程.一般的高階微分方程沒有普遍的解法，處理問題 的基本原則是降階，利用變換把高階微分方程的求解問題化為較低階的方程來求 解。因?yàn)橐话銇碚f，低階微分方程的求解會(huì)比求高階的微分方程方便些。 特別地， 對(duì)于二階（變系數(shù)）齊次線性微分方程，如能知道它的一個(gè)非零特解，則可利用 降階法求得與它線性無關(guān)的另一個(gè)特解， 從而得到方程的通解，對(duì)于非齊次線性 微分方程，只需再運(yùn)用常數(shù)變易法求出它的一個(gè)特解，問題也就解決了。因此， 問題的關(guān)鍵就在于尋找齊次線性微分方程的一個(gè)非零特解。一些相關(guān)定義如果方程F(x, y,dy ,Ldxdxn(D的左端為y

4、及曳,L ,4的一次有理整式。則稱（1）為n階線性微分方程.不是 dx dx線性方程的方程稱為非線性微分方程如果函數(shù)y（x）代入方程（1）后，能使它變?yōu)楹愕仁?則稱函數(shù)y （x）為方程(1)的解.我們把含有n個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)Ci, c2 L cn的解y(q.c2L cn)稱為n階方程(1)的通解.所謂n階微分方程(1)的初值條件是指如下的n個(gè)條件: 當(dāng)x X0時(shí),dy (1). d n 1y (n 1)y % ay,Lky這里飛,外,乂1 y0n1)是給定的n+1個(gè)常數(shù)初值條件有時(shí)寫為/ dy(X0)y(X)y,kdn 1y(xo)y(n 1)dxn 1求微分方程滿足定解條件的解二.幾類常見的

5、可降階的高階微分方程二階微分方程的求解：(一)y f (x)型的微分方程特點(diǎn):等式右端不含y, y ,僅是x的函數(shù).解法：將y作為新的未知函數(shù)，然后對(duì)原方程降階，令z y y z,則有z f (x),方程兩邊同時(shí)積分得zf (x)dx g即yf (x) dx c1再積分得y f (x)dx dx gx c同理對(duì)于y(n)f(x)，令z y(n 1) z f(x)，積分得：y(n 1) f (x)dx ci則原方程變形為n-1階，對(duì)其繼續(xù)積分得y(n 2) f (x)dx c1dx c則方程變?yōu)閚-2階,如此連續(xù)積分n次即得原方程的含有n個(gè)任意常數(shù)的通解.例1解三階方程：ysin x cosx解

6、:：等式兩端同時(shí)積分y y dx (sin x cos x)dxcos x sin x g再積分y y dx ( cosx sinx q)dxsin x cosx c1x c2再積分y ydx ( sinx cosx c1x c2)dxc12-cosx sinx x c2x q這就是所給方程的通解.y f(x,y)型的微分方程特點(diǎn):右端不含y.解法:降階令y p y p代入原方程得：乎f(x,p)dx若f(x,p)為如下一些一些類型，可分別求得(2)降階式的解.i.ii.dy dx dy dxp(x)yp(x)yiii.iv.q(x)通解：y c q(x)ep(x)dxp (x)dxdxeq(

7、x)y,(n 0,i)通解:nC(1(方法兩邊同時(shí)除以dyydrg 7(i n) p(x)dxn)q(x)edx e(1n ) p(x)dxyn ,將y n拿到dy中，即dy1ux，則最dxdu x u ,即求出u與x的 dx關(guān)系，再將u代回，即得答案.dydxai xa2 xbi yb2 yCiC2若曳a?bib2bib2上求得的解為p分得(iy lxCiu a2 x解:C2氣，則令C2ai x bi y a2x b2 ydy dx(x,Ci).回代x2) y2xyi, y lx 0(iCiC2aix bi ya2x b2 yYg(7)Xdp dxdpp2pCi(ix )dyp /寸一 dx

8、(x,Ci)dx(x,Ci)變量可分離的一階方程，積C2,則方程變?yōu)?)dp dx因?yàn)閥 lx 0dx3y x 3x C2,因?yàn)?y |x 0 1 ,c2 1,所以所求特解為：y x3 3x 1.yf(y,y)型的微分方程特點(diǎn):右端不含x.解法:降階令y 曳dx史.由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得：dx dp dx蛆蟲p型dy dx dy代入原方程得：dpP dyf (y, p)這是一個(gè)關(guān)于y,p的一階方程，若以求得它的通解為y p (yc)變量可分離的一階方程，積分得：i dy x C2 (y, ci)即原方程得通解.例 3 求 yy 2( y )2 y 滿足 y(0)1, y (0)2 的特解解： 令

9、y p ,則y p曲,則方程變?yōu)椋篸yyp 孚 2( p2 p) dy即y 2( p 1) (Q p y 0)dy分離變量得：一dp-dy，等式兩端同時(shí)積分化簡得p 1y2代入上式得C1p 1Gy2,即 y cy2 1,把 y 1 時(shí)，y則方程化為分離變量得:積分得:dydxdy1dxarctan y x C2y tan( x c2)將y(0) 1代入解得C2,故原方程的特解為：y tan x二階線性方程的哥級(jí)數(shù)解對(duì)帶初值條件的二階齊次線性方程d2y dy嬴 p(x)最 q(x)y 0,y(0) y0,y(0)yo這里xo 0 ,否則可引進(jìn)新變量t x x0化為t 0 .有如下定理i.定理 若

10、方程中系數(shù)p(x),q(x)或xp(x), x2q(x)能展成收斂區(qū)間為x R的幕級(jí)數(shù),則二階齊次線性方程有收斂區(qū)間為R的幕級(jí)數(shù)特解這里為待定常數(shù).ii. n階貝塞爾方程anxnanxn 02 d2yx菽xdy(x2n2)y 0(n為非負(fù)常數(shù)),有特解yi(i)k xk 0 k ! (n k 1)2y2(1)ok! ( n k 1)J n(x).n階貝塞爾方程有通解y CiJn(x) C2J n(x)，其中G。為任意常數(shù).Jn(x)(或J n(x)是由貝塞爾方程所定義的特殊函數(shù)，成為n(或-n)階(第一類)貝塞爾函數(shù).i1(s)的止義:當(dāng)s 0時(shí)(s)0 x e dx；當(dāng)s 0時(shí)且非整數(shù) (s

11、) - (s 1).0s(s)有性質(zhì)：(s 1) s (s)；對(duì)正整數(shù)n,有 (n 1) n!般情況/)f (x, y( ),., y()型的微分方程特點(diǎn):不顯含未知函數(shù)y及y ,.,(k 1)y解法:令y(k) z,則(k 1)y(n) (n k)z , y zz(n k)f(x,z,.,z(n k 1)求得乙將y (k) z連續(xù)積分k次，可得通解.y(n)f(y,y(k),.,y(n 1)型的微分方程特點(diǎn):右端不顯含自變量x.解法:設(shè)yp(y),則 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark45 o Current Document dpdydp HYPERLIN

12、K l bookmark81 o Current Document yp - HYPERLINK l bookmark55 o Current Document dydxdydpdy2 d 2 pp 2-dy代入原方程得到新函數(shù)p(y)的n-1階方程，求得其解為:dy ,、，、p(y) (yc,., cn i)dx原方程通解為：dyX Cn(丫，5,., Cn i)(三)齊次方程特點(diǎn)：F (x,ty,ty ,., ty(n)k( n) t F (x, y, y ,., y )解法：可通過變換yzdxe 將其降階,得新未知函數(shù)z(x).zdx2 zdxQ y ze , y (z z )e(n)y

13、(z, z ,.,(n 1)z )ezdx代入原方程并消去ek zdx得新函數(shù)z(x)的n-1階方程f (x, z, z ,., z(n 1)0、一 22例4 求萬程x yy (y xy)的通解.7dx解： 設(shè)y e ，代入原方程，得z21一一 .-z七，解得其通解為xx原方程得通解為1C1(-J2-) dx x x 2c2 xeC1x注：解二階可降階微分方程初值問題需注意： 一般情況，邊解邊定常數(shù)計(jì)算簡便;遇到開平方時(shí)，要根據(jù)題意確定正負(fù)號(hào)三.其他情況的高階微分方程N(yùn)階微分方程一般地可寫為F (t, x, x ,., x(n)0下面討論幾類特殊方程的降階問題。i .方程不顯含未知函數(shù)x,或更

14、一般地，設(shè)方程不含X,x,.,X(k 1),即方程呈形狀F(t,x(k),x(k 1),.,x(n) 0,(1 k n)可降低k階令y x(k)，方程降為y的n-k階方程F(t,y,y,.,y(n k) 0.若求得上面所示方程的通解y(t,Ci，C2，., Cn k),即x(k)(t,G,C2,.,Cn k),再經(jīng)過k次積分得到x (t, Ci , C2 ,., Cn )其中Ci,C2,.,g為任意常數(shù).可以驗(yàn)證，這就是方程F(t,x,x,.,x)0的通解.例5解：求方程1 d 4xt dt40的解.令亡：y,則方程化為出dt 4dt、力八/日d4x方程積分后得yCt,即丁dt0，即方程化為一

15、階方程Ct-J32-x C1tC2tC3tC4tC5其中01,02,03,04, C5為任意常數(shù)，這就是原方程的通解ii .不顯含自變量t的方程F (x, x ,., x(n)0令y=x ,視x為新自變量，而視x為新自變量，則方程就可可降低一階，事實(shí)上，在所作的假定下，x y,xdy出步y(tǒng).,22yy2W.采用數(shù)學(xué)歸納法可以證明，x(k)可用dy y,dx,k 1J出(kn).將這些表達(dá)式代入原式可/日一 dy dn 1y 行F(x,y,.,)0.iii.齊次線性微分方程dnx dtnai(t)dn 1x dtn 1an(t)x0.其求解問題歸結(jié)為尋求方程的n個(gè)線性無關(guān)的特解，但如何求這些特接

16、呢？沒有普遍的方法可循.這是與常系數(shù)線性微分方程的極大差異之處.但是我們指出，如果 知道方程的一個(gè)非零特解，則利用變換，可將方程降低一階；或更一般地，若知道方 程的k個(gè)無關(guān)的特解，則可通過一系列同類型的變換，使方程降低k階.并且得到的 n-k階方程也是齊次線性的.設(shè)xi,&,.,，是上述方程的k個(gè)線性無關(guān)解，顯然為不包等于0(i=1,2,k),令xxky,直接計(jì)算可得xXkV，xjy,x xky 2xjy xjy,(n)(n)(n 1) n(n 1) (n 2)(n)x xkynxky2%、xk y, d ，一， dnx dn 1x,將這些關(guān)系式代入 二 ai(t)JS . an(t)x 0中

17、，可得 dtn dtnxky(n)nxk ai(t)xky(n 1). xkn)axkn 1). anxky 0,這是關(guān)于y的n階方程，且各項(xiàng)系數(shù)是t的已知函數(shù)，而y的系數(shù)包等于零，因?yàn)閤k是此方程的解.因此，如果引入新未知函數(shù)z y,并在xk0的區(qū)間上用xk除方程的各項(xiàng)，我們便得到形狀如Z”D(t)Z(n2). b(n 2)(t)Z b(ni)(t)Z 0的n-1階齊次線性微分方程.因有關(guān)系x xk zdt或z y .因此，對(duì)于上述方程我們就知道它的xkx：k-1個(gè)線性無關(guān)解Zi (i=1,2,，k-1).xk事實(shí)上，Z1,Z2,.,Zk1 是 Z(n1) h(t)Z(n2). b(n 2)

18、(t)Z b(n1)(t)Z 0的解,假設(shè)這k-1個(gè)解之間存在關(guān)系式ax1a?x2ak 1xk 1akxk0,x1& 一xkx2a2 一 xkxk 1ak 1ak ,xk其中a1,a2,.,ak1是常數(shù)，那么就有x1a1 一 xkx2a2xkx k 1a k 1a k ,xkrna?x2.為1%1 為人由于Xi,X2,.,Xk線性無關(guān),故必有a1a2 .ak0 .這就是說 Zi,Z2,., Zk 1是線性無關(guān)的.因此，若對(duì) Z(n1)b(t)Z(n2). b(n 2)(t)Z b(n i)(t)Z 0仿上做法，可進(jìn)一步令 z Zki udt，則可將方程化為關(guān)于u的n-2階齊次線性微分方程0,(

19、n 2)(n 3)u G(t)u . Cn 2(t)u并且還知道方程此方程的k-2個(gè)線性無關(guān)解ZiZk 1i 1,2,k 2利用k個(gè)線性無關(guān)特解當(dāng)中的一個(gè)解 Xk,可以把方程 TOC o 1-5 h z nn 1 HYPERLINK l bookmark133 o Current Document d xdxn-a1 (t) n 1.an(t)x HYPERLINK l bookmark107 o Current Document dtdt降低一階成為n-1階齊次線性微分方程Z(n1)b1(t)Z(n2).b(n 2)(t)Z b(n 1)(t)Z 0并且知道它的k-1個(gè)線性無關(guān)解；而利用兩個(gè)線性無關(guān)解Xk,Xk1,則又可以把方程 HYPERLINK l bookmark137 o Current Document ,n.n1d xdx-n-a(t)-nT .an (t)x 0dtdt降低兩階，成為n-2階齊次線性微分方程(n 2)(n 3) HYPERLINK l bookmark131 o Current Document u G(t)u . Cn 2(t)u0,同時(shí)