壓軸講義立幾

1、幾何（12）高端視野:動(dòng)點(diǎn)問題在高題中，經(jīng)?？疾閹缀沃械膭?dòng)點(diǎn)問題，在幾何中常見的動(dòng)點(diǎn)問題大致可分為以下幾類：一是求動(dòng)點(diǎn)軌跡問題；二是求動(dòng)點(diǎn)與某點(diǎn)（或面）的距離問題；三是求直線與直線（或平面）垂直問題；四是求直線與直線（或平面）平行問題；五是平面與平面垂直問題。舉例說明這幾個(gè)問題的解法。一、 求動(dòng)點(diǎn)軌跡問題這類問題往往是先利用題中條件把立幾問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，再判斷動(dòng)點(diǎn)軌跡?！纠?】 如圖，定點(diǎn) A 和 B 都在平面 內(nèi)，定點(diǎn) P ， PB ，C 是 內(nèi)異于 A 和 B的動(dòng)點(diǎn)，且 PC AC 。那么，動(dòng)點(diǎn) C 在平面 內(nèi)的軌跡是（）A. 一條線段，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)B.一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)C.

2、 一個(gè)橢圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)】由三垂線定理的逆定理得D.半圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)【ACPC 且 PC 在 內(nèi)的射影為 BC，ACBC.ACB=900.C 點(diǎn)的軌跡為以 AB 為直徑圓，但除去 A、B 兩點(diǎn).二、 動(dòng)點(diǎn)與某點(diǎn)（面）的距離問題【例2】 正方體 ABCD A1B1C1D1 中，棱長為a，E 是 AA1的中點(diǎn)，AC例 1 題圖D1在對(duì)角面BB D D 上找一動(dòng)點(diǎn) M，使 AM+ME 最小.C1 11 AC BD, AC BB1, BD BB1 B, AC 面BB1D1D.【】AB11設(shè) ACBD=O，則 AO=CO 平面BB1D1D 是線段 AC 的垂直平分面，MEDCC 是 A 關(guān)于平面B

3、B D D 的對(duì)稱點(diǎn)。連 CE 交面BB D D 于 M ，1 11 1OA則 M 就是要求的點(diǎn)，這時(shí) AM+ME 最小。又 AM=CM,AM+ME 的最小值就是 CE 的長，而B例 2 題圖CE AC2 AE2 2a2 1 a2 = 3 a , 此時(shí) AM+ME 的最小值為3 a 422簡評(píng)：本題先證明平面 BB1D1D 是線段AC 的垂直平分面，然后利用C 是A關(guān)于平面BB1D1D的對(duì)稱點(diǎn)，所以 AM=CM, AM+ME 的最小值，即為 CM+ME 的最小值，即 CE 的長，所以 M 點(diǎn)為 CE 和平面BB1D1D 的交點(diǎn)。三、 直線與平面（或直線）垂直問題【例3】如圖，在四棱錐 PABC

4、D 中，底面 ABCD 為矩形，側(cè)棱 PA底面 ABCD，AB=BC=1，PA=2，E 為 PD 的中點(diǎn).3 ，（）求直線 AC 與 PB 所成角的余弦值；（）在側(cè)面 PAB 內(nèi)找一點(diǎn) N，使 NE面 PAC，并求出 N 點(diǎn)到 AB 和 AP 的距離.的空間直角坐標(biāo)系，則A、B、C、D、P、E 的坐標(biāo)為 A（0，【】（）建立動(dòng)點(diǎn)問題1 / 3BP10，0）、B（ 3 ，0，0）、C（ 3 ，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0， ，2 ( 3,1,0), PB ( 3,0,2).設(shè) AC與PB 的夾角為，則1），從而 ACAC PB3 3 7 ,cos 14z| AC | |

5、PB |2 7P3 7AC 與 PB 所成角的余弦值為.14（）由于 N 點(diǎn)在側(cè)面 PAB 內(nèi)，故可設(shè) N 點(diǎn)坐標(biāo)為（x，O，z），則NE (x, 1 ,1 z) ，由 NE面 PAC2，B例 3 題圖（1）1(x, ,1 z) (0,0,2) 0,36z 1 0,x NE AP 0,2 即化簡得1 3x 2 0.1NE AC 0.(x, ,1 z) ( 3,1,0) 0.z 12即 N 點(diǎn)的坐標(biāo)為( 3 ,0,1) ，從而 N 點(diǎn)到 AB、AP 的距離分別為 1，3 .66簡評(píng)：本題主要考查線面關(guān)系和四棱錐等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力. 由于N 點(diǎn)在側(cè)面 PAB 內(nèi)，故可設(shè)

6、N 點(diǎn)坐標(biāo)為（x，O，z），然后利用 NE面 PAC，NE AP 0,36有求得動(dòng)點(diǎn)N 的坐標(biāo)為(,0,1) .NE AC 0.四、 直線與平面（或直線）平行問題【例4】 如圖， 已知在底面是菱形的四棱錐 P-ABCD 中， ABC=600， PA=AC=a ，PB=PD=2 a 點(diǎn) E 在 PD 上，且 PE：ED=2：1.在棱 PC 上有一動(dòng)點(diǎn) F，當(dāng)動(dòng)點(diǎn) F移動(dòng)到何處時(shí)，使 BF平面 AEC？證明你的結(jié)論。【】由題意知 PA平面 ABCD，以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 AD、AP 分別為 y 軸、z 軸，過點(diǎn) A 垂直平面 PAD 的直線為 x 軸，建立空間直角坐標(biāo)系。則 A（0，0，0）、

7、B（ 3 a，213121-a，0）、C（a， a，0）、D（0，a，0）、P（0，0，a）、E（0， a， a），所22332213131以 AE =（0， a， a）， PC =（a， a，-a）， BP =（-a， a，a），zP332222（ 3 a， 1 a，0）， AP =（0，0，a），設(shè)點(diǎn) F 是棱 PC 上的點(diǎn)，E2FD2Ay13PF = PC =（a， 2 a，-a），其中 01,則 BF BP PFB2Cx例 4 題圖動(dòng)點(diǎn)問題AEyCDCNOAB例 3 題圖（2）xPED=（-3 a， 1 a，a）+（ 3 a， 1 a，-a）22223 a（-1）， 1 a（1+），a

8、（1-）.令 BF =1=（+2 AE ,223 a( 1) 3 a ,1221a 1 21131(1 )a1a2 , , 1 , 2 ,即 時(shí)，2322221則2a(1 ) a23BF 1 AC 3 AE.22此時(shí),F 為棱 PC 的中點(diǎn).又 BF 平面 AEC，所以當(dāng) F 是棱的中點(diǎn)時(shí)， BF平面 AEC .簡評(píng)：本題主要考查共面向量定理，令 BF =1+2 AE ,由題意得到BF 1 AC 3 AE. 又 BF 平面 AEC，說明 BF平面 AEC.此時(shí) F 為棱 PC 的中點(diǎn).22五、 平面與平面垂直問題【例5】 如圖，在正三棱錐 ABCD 中，DAC=30，AB=a,平行于 AD、BC 的截面 EFGH分別交 AB、BD、DC、CA 于點(diǎn) E、F、G、H. 設(shè) P 是棱 AD 上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) AP 為何值時(shí)，平面 PBC平面 EFGH，請(qǐng)給出證明.】作 CPAD 于 P 點(diǎn)，連結(jié) BP，ADBC，AD面 BCPHGAD，HG面 BCP，HG 面 EFGH.面 BCP面 EFGH，在 RtAPC 中，CAP