33-圓周角和圓心角的關系

1、九年級數(shù)學(下)第三章圓3.3 圓周角和圓心角的關系圓周角定理沈陽南昌中學九年數(shù)學組.OBCA特征： 角的頂點在圓上. 角的兩邊都與圓相交.圓周角定義: 頂點在圓上,并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角.練習：1.判別下列各圖形中的角是不是圓周角，并說明理由。不是不是是不是不是圖圖圖圖圖類比圓心角探知圓周角在同圓或等圓中,相等的弧所對的圓心角相等.在同圓或等圓中,相等的弧所對的圓周角有什么關系？ 為了解決這個問題,我們先探究一條弧所對的圓周角和圓心角之間有的關系.請同學們在圓上確定一條劣弧，畫出它所對的圓心角與圓周角。ACO圓周角和圓心角的關系如圖,觀察弧AC所對的圓周角ABC與圓心角AOC,它們的

2、大小有什么關系?說說你的想法,并與同伴交流.教師提示:注意圓心與圓周角的位置關系.OABCOABCOABC圓周角和圓心角的關系1.首先考慮一種特殊情況：當圓心(O)在圓周角(ABC)的一邊(BC)上時,圓周角ABC與圓心角AOC的大小關系AOC是ABO的外角，AOC=B+A.OA=OB，OABCA=B.AOC=2B.即 ABC = AOC.一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.圓周角和圓心角的關系2.當圓心(O)在圓周角(ABC)的內(nèi)部時,圓周角ABC與圓心角AOC的大小關系會怎樣?過點B作直徑BD.由1可得:O ABC = AOC.一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.ABCDA

3、BD = AOD,CBD = COD,ABD+CBD= AOD+COD,過點B作直徑BD.由1可得:O ABC = AOC.一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.DABD = AOD,CBD = COD,ABCABD -CBD = (AOD-COD),圓周角和圓心角的關系2.當圓心(O)在圓周角(ABC)的外部時,圓周角ABC與圓心角AOC的大小關系會怎樣?練習：2.如圖，圓心角AOB=100，則ACB=_。OABCBAO.70 x1.求圓中角X的度數(shù)AO.X120130AO.X120 C C D B如圖所示，ADB、ACB、AOB分別是什么角？它們有何共同點？ ADB與ACB有什么關系

4、？ 同弧 所對的圓周角相等.(等弧)思考: 相等的圓周角所對的弧相等嗎?在同圓或等圓中都等于這條弧所對的圓心角的一半.圓周角定理推論:BOADC1.相等的圓周角所對的弧相等.2.在同圓或等圓中,3.試找出下圖中所有相等的圓周角。 ABCD123456782=71=43=65=8習題訓練ABOC4、如圖,AB是直徑,則ACB=.903. 直徑所對的圓周角是直角;4. 90度的圓周角所對的弦是直徑。圓周角定理推論:習題訓練小結知識點回顧1.同弧或等弧所對的圓周角相等; 在同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧相等.2.直徑所對的圓周角是直角; 90的圓周角所對的弦是直徑.注意條件“同弧或等弧”改為“同

5、弦或等弦”,或刪去“同圓或等圓”的條件，結論都不成立了.圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.圓周角定理推論：5.如圖：OA、OB、OC都是O的半徑 AOB=2BOC.求證：ACB=2BAC.證明：ACB= AOB12BAC= BOC2AOB=2BOCAOBCACB=2BAC1 規(guī)律:解決圓周角和圓心角的計算和證明問題,要準確找出同弧所對的圓周角和圓心角,然后再靈活運用圓周角定理分析:AB所對圓周角是ACB, 圓心角是AOB. 則ACB= AOB. BC所對圓周角是 BAC , 圓心角是BOC, 則 BAC= BOC 21_21_習題訓練ODABC 6.如圖,AB是O的直徑，

6、BD是弦,延長BD到C,使AC=AB,BD與CD的大小有什么關系?為什么?習題訓練解：BD=CD.理由是：連接AD.AB是O的直徑ADB90即ADBD又ACABBDCD圓周角定理圓周角定理 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.OABCOABCOABC即 ABC = AOC.1.如圖，在O中，BAC=32，則BOC=_。2、如圖，O中，ACB = 130，則AOB=_。AOCBAOC64100練習:如圖,圓O中,AB是直徑,半徑COAB,D是CO的中點,DEAB,求ABE的度數(shù).ABEODC圓周角當球員在B,D,E處射門時,他所處的位置對球門AC分別形成三個張角ABC, ADC,AEC.

7、這三個角的大小有什么關系?OBACBACBACBACBACBACBACDEDE問題討論問題1、如圖1,在O中,B,D,E的大小有什么關系?為什么?圖1問題2、如圖2，BC是O的直徑，A是O上任一點，你能確定BAC的度數(shù)嗎?BAOC圖2問題3、如圖3，圓周角BAC =90，弦BC經(jīng)過圓心O嗎？為什么？B = D= EBAC =90OBACDEOBCA圖3問題解答1、圓周角定理的推論1：同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。2、圓周角定理的推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90的圓周角所對的弦是直徑。用于找相等的角用于找相等的弧用于判斷某個圓周

8、角是否是直角用于判斷某條線是否過圓心練一練ABCD(1)(2).O.OABCCD.O.OABCD(3) 1. 在o中,與BAC相等的角有( ).2.如圖,在O中,四邊形ABCD的對角線把四個內(nèi)角分 成的八個角中有( )對相等的角.3.如圖,在O中,直徑AB=10, BAC=30,則 AC=( ) .BDC四35例1已知：如圖，在ABC中，AB=AC,以AB為直徑的圓交BC于D,交AC于E,求證：BD=DE證明：連結AD.AB是圓的直徑ADB=90，ADBCAB=AC，AD平分BAC，即BAD=CAD， BD= DE（同圓或等圓中，相等的圓周角所對弧相等）。ABCDE做一做 船在航行過程中,船長

9、常常通過測定角度來確定是否會遇到暗礁,如圖,A,B表示燈塔,暗礁分布在經(jīng)過A,B兩點的一個圓形區(qū)域內(nèi),C表示一個危險臨界點, ACB就是”危險角”,當船與兩個燈塔的夾角大于”危險角”時,就有可能觸礁.(1)當船與兩個燈塔的夾角a大于”危險角”時,船位于哪個區(qū)域?為什么?(1)當船與兩個燈塔的夾角a小于”危險角”時,船位于哪個區(qū)域?為什么?PCABEOa練習：如圖，P是ABC的外接圓上的一點APC=CPB=60。求證：ABC是等邊三角形APBCO證明：ABC=APC=60(同弧所對的圓周角相等）BAC=CPB=60ABC等邊三角形。ABC= BAC= ACB= 601 如圖，以O的半徑OA為直徑作O1,O的弦AD交O1于C,則OC與AD的位置關系是_。2 在上題中,若AC = 2cm,則AD = _cm。ABCDOO1OC與BD的位置關系是_。例題精解例2、如圖，AD是ABC的高，AE是ABC的外接圓直徑。求證：AB AC = AE ADAOBCDE分析：要證AB AC = AE ADADC ABE或ACE ADB題后思：1、證明題的思路尋找方法；2、等積式的證明方法；3、輔助線的思考方法。討論與思考A