6.3數(shù)學(xué)歸納法 (2)

1、湘教版選修2-26.3 數(shù)學(xué)歸納法重慶市江北中學(xué)校 田茜 從前，有個(gè)小孩叫萬(wàn)百千，他開(kāi)始上學(xué)識(shí)字。第一天先生教他個(gè)“一”字。第二天先生又教了個(gè)“二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并預(yù)先在紙上劃了三橫。果然這天教了個(gè)“三”字。于是他得了一個(gè)結(jié)論：“四”一定是四橫，“五”一定是五橫，以此類推， 從此，他不再去上學(xué)，家長(zhǎng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)他為何不去上學(xué)，他自豪地說(shuō)：“我都會(huì)了”。家長(zhǎng)要他寫(xiě)出自己的名字，“萬(wàn)百千”.（此處省略一萬(wàn)字) 萬(wàn)百千的笑話情境引入（一）已知數(shù)列 通過(guò)對(duì)n=1,2,3,4前4項(xiàng)的歸納得出猜想出:情境引入（二） 思路一：對(duì)遞推關(guān)系式取倒數(shù)，得到數(shù)列 思路二：采用特殊值探路，歸納猜想

2、，進(jìn)而考慮一般性.求通項(xiàng)是等差數(shù)列，易求通項(xiàng).不完全歸納法一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是：an= (n25n+5)2請(qǐng)算出a1= ，a2= ，a3= ，a4=猜測(cè)an?由于a525 1，所以猜測(cè)是不正確的所以由不完全歸納法得到的結(jié)論 不一定可靠 1111猜測(cè)是否正確呢？如何證明呢？思考：多米諾骨牌（domino）是一種用木制、骨制或塑料制成的長(zhǎng)方形骨牌。玩時(shí)將骨牌按一定間距排列成行，輕輕碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就會(huì)產(chǎn)生連鎖反應(yīng)，依次倒下。情境引入（三） 這個(gè)游戲中，能使所有多米諾骨牌全部倒下的條件是什么？ 思考：能否類比這種方法來(lái)解決不完全歸納法存在的問(wèn)題呢？1234kK+1第一塊骨牌倒下任意相鄰的兩

3、塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊骨牌倒下探究新知任意相鄰的兩塊牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊牌倒下第一項(xiàng)成立第k項(xiàng)成立，第k+1項(xiàng)成立第一塊骨牌倒下1234kK+1n=1時(shí)如果n=k時(shí)猜想成即：那么當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立即：探究新知遞推基礎(chǔ)遞推依據(jù)證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題步驟如下：(2) 假設(shè)當(dāng)nk (kN*, kn0 ) 時(shí)命題成立, 證明 當(dāng)nk1時(shí)命題也成立 完成這兩個(gè)步驟后, 就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù) n都成立(1) 證明當(dāng)n取第一個(gè)值n = n0 時(shí)命題成立這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法遞推基礎(chǔ)遞推依據(jù)知識(shí)提煉數(shù)學(xué)歸納法步驟，用框圖表示為： 驗(yàn)證n=n0時(shí)命題成立。假設(shè)n

4、 = k ( k n0 ) 時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。 命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有的正整數(shù)n都成立。遞推基礎(chǔ)遞推依據(jù) 注：兩個(gè)步驟,一個(gè)結(jié)論,缺一不可例1.觀察下列各等式，你發(fā)現(xiàn)了什么？歸納思考：你由不完全歸納法所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論正確嗎？若不正確，請(qǐng)舉一個(gè)反例;若正確，如何證明呢？講練結(jié)合證明 當(dāng)n=1時(shí)，左邊1 右邊,等式顯然成立。例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明：遞推基礎(chǔ)遞推依據(jù)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即那么,當(dāng)n=k+1時(shí)，有即當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立。綜上可知，對(duì)任何nN*等式都成立。湊結(jié)論從n=k到n=k+1有什么變化湊假設(shè)注意：遞推基礎(chǔ)不可少， 歸納假設(shè)要用到， 結(jié)論寫(xiě)明莫忘掉。例2

5、：甲同學(xué)猜想了， 用數(shù)學(xué)歸納法證明步驟如下：證明：假設(shè)當(dāng) 那么,即當(dāng) 時(shí)也成立所以對(duì)任何 等式都成立上述證法是正確的嗎？為什么？ .沒(méi)有遞推基礎(chǔ)例3.乙同學(xué)猜想了， 用數(shù)學(xué)歸納法證明步驟如下：證明：即當(dāng) 時(shí)也成立.根據(jù)（1）和（2），可知等式對(duì)任 何都成立.上述證法是正確的嗎？為什么？沒(méi)有遞推依據(jù)改為用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)命題的步驟是：（1）證明當(dāng) 取第一個(gè)值 時(shí)結(jié)論正確； （2）假設(shè)時(shí) 結(jié)論正確，證明 時(shí)結(jié)論也正確 遞推基礎(chǔ)遞推依據(jù)“找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)”“用上假設(shè)，遞推才真”“綜合（1）（2），”不可少！注意:數(shù)學(xué)歸納法使用要點(diǎn)： 兩步驟,一結(jié)論。思考： 步驟 (1) 中n取的第一個(gè)值n0一定是1嗎？為什么？ 舉例說(shuō)明：用數(shù)學(xué)歸納法證明 n邊形的對(duì)角線的條數(shù)是此時(shí)n取的第一值數(shù)學(xué)思想：遞推思想、類比思想、歸納思想由特殊到一般數(shù)學(xué)思想 數(shù)學(xué)方法：數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的命題數(shù)學(xué)知識(shí)：數(shù)學(xué)歸納法要