線(xiàn)性回歸方程培優(yōu)提升經(jīng)典練習(xí)

1、線(xiàn)性回歸方程培優(yōu)提升經(jīng)典練習(xí)1、某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對(duì)年銷(xiāo)售量y（單位：t）和年利潤(rùn)z（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)x和年銷(xiāo)售量yi（i=1, 2,，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值曬 .不出 刈 例,一x一y一w8一2i4 (Xix)8一21 (wi w)8 - -豳(xi X) (y y)8 - -3 (wi-w) (-yi-y)46.65636.8289.81.61 469108.834 36 38 初 1244 16 44150 52 54 Vt年宜傳尸元8士 4J- 1 L表中 Wi =4xi, w

2、= 8i11wi.根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a + bx與y=c+ d/哪一個(gè)適宜作為年銷(xiāo)售量 y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類(lèi)型（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）?（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程;（3）已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x, y的關(guān)系為z= 0.2y x.根據(jù)（2）的結(jié)果回答下列問(wèn)題:年宣傳費(fèi)x = 49時(shí)，年銷(xiāo)售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少?年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大?附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（Ui, Vi）,（U2, V2）,，（Un, Vn）,其回歸直線(xiàn)V= a+ U的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:、g ( Ui u) ( Vi - V)3二 匚一 1一 (uu

3、)i=1v = V U.解（1）由散點(diǎn)圖可以判斷,y=c+d血適宜作為年銷(xiāo)售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類(lèi)型.（2）令w=4x,先建立y關(guān)于w的線(xiàn)性回歸方程，由于8A 工(wi w) - (yi-y)108.8d =8= 16 = 68,E (ww) 21.6i = 1c=y dw= 563 68X6.8= 100.6,所以y關(guān)于w的線(xiàn)性回歸方程為y= 100.6+68w,因此y關(guān)于x的回歸方程為y= 100.6+ 68 x.(3)由(2)知，當(dāng)x=49時(shí)，年銷(xiāo)售量y的預(yù)報(bào)值 “ 一y= 100.6+ 68/= 576.6,年利潤(rùn) z 的預(yù)報(bào)值 Z= 576.6 0.2-49 = 66.32.

4、根據(jù)（2）的結(jié)果知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值Z= 0.2（100.6 + 68/） x= x+ 13.至+ 20.12.所以當(dāng) g 等=6.8,即x= 46.24時(shí)，Z取得最大值.故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大.2、近期，某公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車(chē)活動(dòng)，活動(dòng)設(shè)置了一段時(shí)間的推廣期，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引越來(lái)越多的人開(kāi)始使用掃碼支付，某線(xiàn)路公交車(chē)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次，用x表示活動(dòng)推出的天數(shù)，y表示每天使用掃碼支付的人次（單位：十人次），繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖：（I）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷在推廣期內(nèi)，y=a+bx與y = cdx （c, d為為

5、大于零的常數(shù)）哪一個(gè)適宜作為掃碼支付的人次 y關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù) x的回歸方程類(lèi)型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）（n）根據(jù)（I）的判斷結(jié)果求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次.參考數(shù)據(jù):xyv7Z xyi =17工xViiT7Z xi2i=1- -0.5410462154253550.121403.471其中 Vi =lg yi , V = Vi 7 i4附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（Ui,V, ）, “2,丫2 ）,，（UnM ）,其回歸直線(xiàn)。=9+ l?U的斜率和截距 n% uivi - nuv的最小二乘估計(jì)分別為：國(guó)=，e? = V-國(guó)U。_22% 5 -nu1答案及解析：（

6、I） y=cdx 適合（n）?=10.54短25,預(yù)測(cè)第 8 天人次 347.【詳解】（I）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=cdx適宜作為掃碼支付的人數(shù) y關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)x 的回歸方程類(lèi)型.（n）因?yàn)閥 =c-dx,兩邊取常用對(duì)數(shù)得：1gy=1g c dx =1gc igd x,設(shè) 1g y = v, . v = 1g c 1g d x7_2_x = 4,v =1.55,、xi =140,i 17、xivi -7x-lgd 二號(hào) x2 -7x2 i 150.12 7 4 1.54140 -7 42 = 0.25, 28把樣本數(shù)據(jù)中心點(diǎn)（4,1.54）代入v= lgc +lgd x得：lgc=0.54,。

7、=0.54 0.25x,則 1gy =0.54 0.25x所以y關(guān)于x的回歸方程為？=100.54+.25x,把x =8代入上式得：？ = 100.54%258 =347 ,故活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次為347.3、混凝土具有原材料豐富、抗壓強(qiáng)度高、耐久性好等特點(diǎn)，是目前使用量最大的土木建筑材料抗壓強(qiáng)度是混凝土質(zhì)量控制的重要技術(shù)參數(shù)，也是實(shí)際工程對(duì)混凝土要求的基本指標(biāo).為了解某型號(hào)某批次混凝土的抗壓強(qiáng)度(單位：MPa)隨齡期(單位:天)的發(fā)展規(guī)律，質(zhì)檢部門(mén)在標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)條件下記錄了10組混凝土試件在齡期 X(I =1-2,(11,10)分別為 2,3,4,5,7,9,12,14,17,21

8、時(shí)的抗壓強(qiáng)度 yi(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷y = a+bx與 y = c + dln x哪一個(gè)適宜作為抗壓強(qiáng)度 y關(guān)于齡期x的回 歸方程類(lèi)型？選擇其中的一個(gè)模型，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(2)工程中常把齡期為 28天的混凝土試件的抗壓強(qiáng)度f(wàn)28視作混凝土抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值.已知該型號(hào)混凝土設(shè)置的最低抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值為40MPa .(i )試預(yù)測(cè)該批次混凝土是否達(dá)標(biāo)？(ii )由于抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值需要較長(zhǎng)時(shí)間才能評(píng)定，早期預(yù)測(cè)在工程質(zhì)量控制中具有重要的意義.經(jīng)驗(yàn)表明，該型號(hào)混凝土第7天的抗壓強(qiáng)度f(wàn)7 ,與第28天的抗壓強(qiáng)度f(wàn)28具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系f28 = 1.2 f7+7 ,試估計(jì)在早期質(zhì)量

9、控制中，齡期為7天的試件需達(dá)到的抗壓強(qiáng)度.n x -x yi -y附：t?=,i? = y版，參考數(shù)據(jù)：ln2 *0.69,ln7 上 1.95.% x -x 2i 1答案及解析:【詳解】解：(1)由散點(diǎn)圖可以判斷，y=c+dlnx適宜作為抗壓強(qiáng)度 y關(guān)于齡期x的回歸方程類(lèi)型.令w=lnx,先建立y關(guān)于w的線(xiàn)性回歸方程. TOC o 1-5 h z 10_x (Wi -w)(yi - y)55由于 d =10 , HYPERLINK l bookmark46 o Current Document 5.5、(wi -w) i 1c = y-dw =29.7 -10 2 =9.7，所以y關(guān)于w的線(xiàn)

10、性回歸方程為 y=9.7+10w，因此y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程為 y= 9.7+101n x .(2)(i)由(1)知，當(dāng)齡期為28天，即x = 28時(shí)，抗壓強(qiáng)度 y 的預(yù)報(bào)值 y = 9.7+101n 28=9.7+10M(21n 2 + 1n7)= 43.因?yàn)?3 40,所以預(yù)測(cè)該批次混凝土達(dá)標(biāo).(ii)令 f28 =1.2f7+7 之40,得 f7 27.5.所以估計(jì)齡期為7天的混凝土試件需達(dá)到的抗壓強(qiáng)度為27.5MPa .4、某地級(jí)市共有200000中小學(xué)生，其中有7痔生在2017年享受了 “國(guó)家精準(zhǔn)扶貧”政策，在享受“國(guó)家精準(zhǔn)扶貧”政策的學(xué)生中困難程度分為三個(gè)等次：一般困難、很困難、特

11、別困 TOC o 1-5 h z 難，且人數(shù)之比為 5:3:2 ,為進(jìn)一步幫助這些學(xué)生，當(dāng)?shù)厥姓O(shè)立“專(zhuān)項(xiàng)教育基金”，對(duì)這三個(gè)等次的困難學(xué)生每年每人分別補(bǔ)助1000元、1500元、2000元。經(jīng)濟(jì)學(xué)家調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)厝司芍淠晔杖胼^上一年每增加n% 一般困難的學(xué)生中有 3n%人均可支紀(jì)年收入v萬(wàn)為會(huì)脫貧，脫貧后將不再享受“精準(zhǔn)扶貧”政策，很困難的學(xué)生中有2n%,轉(zhuǎn)為一般困難，特別困難的學(xué)生中有n%專(zhuān)為很困難?，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)了該地級(jí)市2013年到2017年共5年的人均可支配年收入， 對(duì)數(shù)據(jù)初步處理后得,到了如圖所示的散點(diǎn)圖和表中統(tǒng)計(jì)量的值，其中年份x取13時(shí)代表13 14 15 M *2013年，x與

12、y (萬(wàn)元)近似滿(mǎn)足關(guān)系式y(tǒng) = Ci -2C2 ,其中Ci,C2為常數(shù)。(2013年至2019 年該市中學(xué)生人數(shù)大致保持不變)VkX(yty)2JI工（為一刀乂贄y）&天-說(shuō)-后 112.31.23.14.6一11 5其中 ki =log2 y , k = ki5 p（I ）估計(jì)該市 2018年人均可支配年收入；（n）求該市2018年的“專(zhuān)項(xiàng)教育基金”的財(cái)政預(yù)算大約為多少？附：對(duì)于一組具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（U1，V1）,（U2，V2）,，（Un，Vn）,其回歸直線(xiàn)方程n、. (Ui -u)(Vi -v) _v = Pu +a的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為任=上9= o?=V-PU.” (

13、Ui -U)2i42。72-0.32。.1夕.72夕.90.60.81.13.23.53.731【解析】(I)因?yàn)閤=1(13+14+15+16+17)=15,所以5 TOC o 1-5 h z 5_一22222Z (x -X) =(2) +(1) +1 +2 =101分5_-(xi -x)(ki -k) i工5”(xi -x)2i 1所以C1 = 2垣3 =0.810i 1由 k =log2 y得 k =log2 C1 +C2x,所以 C21/c c10g2cl =k -C2x =1.215 =0.310 xy = 0.8X214 分當(dāng)x =18時(shí)，2018年人均可支配年收入 y =0.8乂

14、2 =0.8v3.5 = 2.8 （萬(wàn)）6分（n ）由題意知 2017年時(shí)該市享受“國(guó)家精準(zhǔn)扶貧”政策的學(xué)生共200000 X 7%=14000人一般困難、很困難、特別困難的中學(xué)生依次有 7000人、4200人、2800人，7分2018年人均可支配收入比 2017年增長(zhǎng)1 .81 .70.8 2 -0.8 21.70.8 2_ 01_=2 . 1 =0.1 =10%所以2018年該市特別困難的中學(xué)生有2800X (1-10%)=2520人,很困難的學(xué)生有 4200X (1-20%)+2800 X 10%=3640人10般困難的學(xué)生有 7000X (1-30%)+4200 X 20%=5740人

15、所以 2018 年的“專(zhuān)項(xiàng)教育基金的財(cái)政預(yù)算大約為125740X1000+3640X 1500+2520X 2000=1624 萬(wàn)5、如圖是某小區(qū)2017年1月到2018年1月當(dāng)月在售二手房均價(jià)(單位：萬(wàn)元/平方米)的散點(diǎn)圖.(圖中月份代碼1 13分別對(duì)應(yīng)2017年1月一2018年1月)0 54根據(jù)散點(diǎn)圖選擇 y=a十bJX和y=c+d1nx兩個(gè)模型進(jìn)行擬合，經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)處理得到兩個(gè)回歸方程分別為 ？ = 0.9369 +0.0285 JX和？ = 0.9554 +0.03061n x ,并得到以下一些統(tǒng)計(jì)量的值:0.9369+0.0285 JX? = 0.9554+ 0.03061n x132殘

16、差平方和 Hi ?) i 30.0005910.00016413 _ 2總偏差平方和 (yi y ) i=10.006050(1)請(qǐng)利用相關(guān)指數(shù) R2判斷哪個(gè)模型的擬合效果更好;（2）某位購(gòu)房者擬于2018年6月份購(gòu)買(mǎi)該小區(qū) m（7Cgm 160）平方米的二手房（欲購(gòu)房者為其家庭首套房）.若購(gòu)房時(shí)該小區(qū)所有住房的房產(chǎn)證均已滿(mǎn)2年但未滿(mǎn)5年，請(qǐng)你利用（1）中擬合效果更好的模型解決以下問(wèn)題：（i ）估算該購(gòu)房者應(yīng)支付的金額.（購(gòu)房金額=房款+稅費(fèi)；房屋均價(jià)精確到 0.001萬(wàn)元/平方米）（ii）若該購(gòu)房者擬用不超過(guò) 100萬(wàn)元的資金購(gòu)買(mǎi)該小區(qū)一套二手房，試估算其可購(gòu)買(mǎi)的最大面積.（精確到1平方米）

17、附注：根據(jù)相關(guān)規(guī)定，二手房交易需要繳納若干項(xiàng)稅費(fèi)，稅費(fèi)是房屋的計(jì)稅價(jià)格進(jìn)行征收.（計(jì)稅價(jià)格=房款）征收方式見(jiàn)下表：契稅（買(mǎi)方繳納）首套面積90平萬(wàn)米以?xún)?nèi)（含 90平萬(wàn)米）為1%;首套向積90平方米以上且 144平方米以?xún)?nèi)（含144平方米）為1.5%;面積144平方米以上或非首套為 3%增值稅（賣(mài)方繳納）房產(chǎn)證未滿(mǎn)2年或滿(mǎn)2年且面積在144平方米以上（不含144平方米）為5.6%;其他情況免征個(gè)人所得稅（賣(mài)方繳納）首套面積144平方米以?xún)?nèi)（含144平方米）為1%;面積144平方米以上或非首套均為1.5%；房產(chǎn)證滿(mǎn)5年且是家庭唯一住房的免征參考數(shù)據(jù)：In 2 立0.69, In 3 歸 1.10,

18、 ln17 定 2.83, ln19 定2.94 ,.2 1.41,.3 1.73,.17 ： 4.12,19 : 4.36 .n2、Yi - Yi參考公式：相關(guān)數(shù)據(jù) R2 -1 -墨工(Yi - y) i 1答案及解析：詳解：(1)設(shè)模型？ = 0.9369 +0.0285 JX和？ = 0.9554+0.03061nx的相關(guān)指數(shù)分別為 R22-2 / 0.000591 -2 , 0.00016422和 R2 ,則 R = 1 ，R = 1, R ：二 R2 ,0.006050.00605所以模型？ =0.9554 +0.03061nx擬合的效果好（2）由（1）知模型？ =0.9554 +0.03061nx擬合的效果好，利用該模型預(yù)測(cè)可得，這個(gè)小區(qū)在2018年6月份的在售二手房均價(jià)為? =0.9554+0.03061n18 = 0.9554+0.0306（1n2 +21n3