新高考數(shù)學(xué)模擬卷分類匯編四期專題04《立體幾何》(解析版)

1、專題04 立體幾何1（2021重慶市涪陵實(shí)驗(yàn)中學(xué)校高三期中）北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和，例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為，則四棱錐的總曲率為（ ）ABCD【答案】B【解析】由題意，四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點(diǎn)的曲率之和，因?yàn)樗睦忮F有5個(gè)頂點(diǎn)，5個(gè)面，其中4個(gè)三角形，1個(gè)四邊形

2、，所以四棱錐的表面內(nèi)角和由4個(gè)三角形和1個(gè)四邊形組成，所以面角和為，故總曲率為故選：B.2（2021重慶市第十一中學(xué)校高三月考）正四棱臺(tái)上、下底面邊長(zhǎng)分別為，側(cè)棱長(zhǎng)，則棱臺(tái)的側(cè)面積為（ ）ABCD【答案】D【解析】設(shè)，可得正四棱臺(tái)的斜高為，所以棱臺(tái)的側(cè)面積為故選：D3（2021福建福清西山學(xué)校高三期中）若一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為4，且其側(cè)面積為其軸截面面積的4倍，則該圓錐的高為（ ）ABCD1【答案】B【解析】如圖所示，設(shè)圓錐的高為h，底面半徑為r，則側(cè)面積為，軸截面為等腰三角形PAB，面積為，其側(cè)面積為其軸截面面積的4倍，所以，解得：故選：B4（2021山東省青島第十七中學(xué)高三期中）如圖，在斜三棱

3、柱ABCA1B1C1中，BAC=90，且BC1AC，過C1作C1H底面ABC，垂足為H，則點(diǎn)H在（ ）A直線AC上B直線AB上C直線BC上DABC內(nèi)部【答案】B【解析】連接AC1，如圖.BAC=90，ACAB，BC1AC，BC1AB=B，AC面ABC1，又AC在平面ABC內(nèi)，由面面垂直的判定知，面ABC面ABC1，由面面垂直的性質(zhì)知，在平面ABC1內(nèi)一點(diǎn)C1向平面ABC作垂線，垂足必落在交線AB上.故選：B.5（2021湖南永州一中高三月考）已知，是三個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，下列命題為真命題的是（ ）A若，則B若，則C若，則D若，則【答案】C【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：若，則與平行或相交，故選

4、項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若，則與 可平行、異面、或相交，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若，則，垂直于同一平面的兩個(gè)直線平行，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若，則與平行或相交，故選項(xiàng)D不正確.故選：C6（2021湖南郴州二中高三月考）已知圓錐的母線長(zhǎng)為2，側(cè)面展開圖扇形的面積為，那么該圓錐的體積是（ ）ABCD【答案】D【解析】設(shè)圓錐底面半徑為，高為，故選：D7（2021廣東龍崗一中高三期中）如圖，在中，為的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使得二面角為，則三棱錐的體積為（ ）AB4CD2【答案】A【解析】由，由旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角相等可得： ，又二面角為，即，故為等邊三角形，作中點(diǎn)，連接，可得，又，所以平面

5、，所以，即平面，結(jié)合幾何關(guān)系可得，故.故選：A8（2021廣東中山中學(xué)模擬）四個(gè)半徑為2的球剛好裝進(jìn)一個(gè)正四面體容器內(nèi)，此時(shí)正四面體各面與球相切，則這個(gè)正四面體外接球的表面積為（ ）ABCD【答案】A【解析】如圖1所示，正四面體ABCD中，AH底面BCD，E、F、G、K為四個(gè)球的球心，M為CD中點(diǎn)，連接BM，AM，易知B、H、M三點(diǎn)共線，直線AH交平面EFG于點(diǎn)，連接，交GF于點(diǎn)N，則N為GF的中點(diǎn)，因?yàn)閮?nèi)切球半徑為2，故EF=4，畫出截面ABM如圖2所示，正四棱錐EFGK外接球球心設(shè)為O，則正四面體ABCD的外接球球心與正四面體EFGK外接球球心重合，設(shè)正四面體ABCD的外接球半徑為R，正四

6、面體EFGK外接球半徑為r，在圖2中，EK=4，所以由，即，解得：所以過點(diǎn)E作EPBM于點(diǎn)P，則EP=2則BEP，解得：正四面體ABCD的外接球表面積故選：A9（2021廣東惠州一中高三月考）已知，為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（ ）A若，則B若，則C若，則D若，則【答案】D【解析】選項(xiàng)A：有可能出現(xiàn)的情況；選項(xiàng)B：和有可能異面；選項(xiàng)C：和有可能相交；選項(xiàng)D：由，得直線和平面沒有公共點(diǎn)，所以，故選：D10（2021江蘇海安高級(jí)中學(xué)高三月考）三棱錐中，的面積為，則此三棱錐外接球的表面積為（ ）ABCD【答案】A【解析】，又，則，取中點(diǎn)，連接，又由的面積為，可得的高，則可得

7、，在中，由余弦定理，解得，則，可得，根據(jù)球的性質(zhì)可得為三棱錐外接球的直徑，則半徑為1，故外接球的表面積為.故選：A.11（2021福建泉州科技中學(xué)高三月考）為弘揚(yáng)中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某學(xué)校組織了誦經(jīng)典，獲新知的演講比賽，本次比賽的冠軍獎(jiǎng)杯由一個(gè)銅球和一個(gè)托盤組成，如圖，已知球的體積為，托盤由邊長(zhǎng)為的正三角形銅片沿各邊中點(diǎn)的連線垂直向上折疊而成，如圖.則下列結(jié)論正確（ ）A經(jīng)過三個(gè)頂點(diǎn)的球的截面圓的面積為B異面直線與所成的角的余弦值為C多面體的體積為D球離球托底面的最小距離為【答案】BCD【解析】設(shè)球的半徑為，則，解得，A：經(jīng)過A、B、C的球的截面圓，如下圖即為等邊的外接圓，若其半徑為，則，所

8、以面積為，故錯(cuò)誤；B：如下圖，過作且，則為異面直線與所成角，且，為中點(diǎn)，故，故正確；C：將幾何體補(bǔ)全為直三棱柱，如下圖示，多面體的體積為直三棱柱體積減去三個(gè)相同的三棱錐，由下圖知：，故正確.D：如下圖為球體縱向軸截面，為球面上過A、B、C的截面圓直徑，則，球離球托底面的最小距離為，故正確.故選：BCD12（2021福建福州三中高三月考）如圖，已知圓錐的軸截面PAB為等腰直角三角形，底面圓O的直徑為2C是圓O上異于A，B的一點(diǎn)，D為弦AC的中點(diǎn)，E為線段PB上異于P，B的點(diǎn)，以下正確的結(jié)論有（ ）A直線平面PDOBCE與PD一定為異面直線C直線CE可能平行于平面PDOD若，則的最小值為【答案】A

9、BD【解析】對(duì)于A項(xiàng)：在中，D為AC中點(diǎn)，所以，又PO垂直于圓O所在的平面，所以，因?yàn)椋云矫鍼DO，故A正確對(duì)于B項(xiàng)：由于P，C，E共面，且D在平面PCE外，所以CE與PD異面，故B正確對(duì)于C項(xiàng)：因?yàn)榭傻闷矫鍼DO，若直線平面PDO，則有平面平面PDO，這與兩平面有公共點(diǎn)P矛盾，故C錯(cuò)對(duì)于D項(xiàng)：在三棱錐中，將側(cè)面PBC繞PB旋轉(zhuǎn)至平面，使之與平面PAB共面，如圖所示，則當(dāng)A，E，共線時(shí)，取得最小值，因?yàn)椋?，由余弦定理可得，即的最小值為，故D對(duì)故選：ABD13（2021山東煙臺(tái)一中高三月考）如圖，為圓錐的底面直徑，點(diǎn)是圓上異于，的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）A圓錐的側(cè)面積為B三棱錐體積

10、的最大值為C的取值范圍是D若，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為【答案】ABC【解析】在中，則圓錐的母線長(zhǎng)，半徑，對(duì)于選項(xiàng)A：圓錐的側(cè)面積為：，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，的面積最大，此時(shí)，則三棱錐體積的最大值為：，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，為最小角，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，達(dá)到最大值，又因?yàn)榕c不重合，則，又，可得，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由，得，又，則為等邊三角形，則， 將以為軸旋轉(zhuǎn)到與共面，得到，則為等邊三角形，如圖：則，因?yàn)?，則，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：ABC14（2021湖北武漢二中高三月考）為弘揚(yáng)中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某學(xué)校組織了誦經(jīng)典，獲新知的演講比賽，本次比賽的冠軍獎(jiǎng)杯由一個(gè)

11、銅球和一個(gè)托盤組成，如圖，已知球的體積為，托盤由邊長(zhǎng)為4的正三角形銅片沿各邊中點(diǎn)的連線向上折疊成直二面角而成，如圖.則下列結(jié)論正確的是（ ）A經(jīng)過三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C的球的截面圓的面積為B平面平面ADEC直線AD與平面DEF所成的角為D球面上的點(diǎn)離球托底面DEF的最小距離為【答案】ACD【解析】因?yàn)榕c全等且所在的面平行，所以截面圓就是的外接圓與的外接圓相同，由題意可知，的邊長(zhǎng)為1，其外接圓的半徑為，則經(jīng)過，三點(diǎn)的球的截面圓的面積為，故選項(xiàng)A正確；由圖形的形成，知，三點(diǎn)在底面上的射影分別是三邊中點(diǎn)，如圖，與全等且平行，又，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以與平面相交，故與平面相

12、交，所以平面平面錯(cuò)誤，故B錯(cuò)誤；由平面與平面垂直可知，在平面內(nèi)的射影是，所以為直線與平面所成的角，則，所以直線與平面所成的角為，故選項(xiàng)C正確；如圖3，所以球離球托底面的最小距離為，所以D正確故選：ACD15（2021湖南郴州一中高三月考）如圖，在直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）A直線，所成的角的大小隨點(diǎn)的位置變化而變化B三棱錐的體積是定值C直線與平面所成的角的余弦值是D三棱柱的外接球的表面積是【答案】BC【解析】對(duì)于A，在直三棱柱中，平面，平面，所以，因?yàn)椋?，是的中點(diǎn)，所以，又，所以平面，又平面，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以且，所以四邊形為平

13、行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，為定值，即三棱錐的高為定值，又的面積也為定值，即三棱錐的底面積為定值，所以三棱錐的體積是定值；對(duì)于C，因?yàn)槠矫?，所以即為直線與平面所成的角的平面角，在中，所以，即直線與平面所成的角的余弦值是，故C正確；對(duì)于D，在直三棱柱中，所以矩形的對(duì)角線即為三棱柱的外接球的直徑，矩形的對(duì)角線為，即三棱柱的外接球的半徑為，所以三棱柱的外接球的表面積是，故D錯(cuò)誤.故選：BC.16（2021廣東普寧市華僑中學(xué)高三期中）已知正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)分別棱的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（ ）A平面B四面體的體積等于C與平面所成角的正切值為D平面【答案】

14、ABC【解析】對(duì)于，正方體中，又，平面，平面，同理，又，平面，故正確；對(duì)于，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，0，0，設(shè)平面的法向量，則，取，得，1，到平面的距離，四面體的體積：故正確；對(duì)于，0，平面的法向量，0，設(shè)與平面所成角為，則，與平面所成角的正切值為，故正確；對(duì)于，0，設(shè)平面的法向量，則，取，得，1，與平面不平行，故錯(cuò)誤故選：ABC17（2021廣東福田一中高三月考）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，分別為，的中點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是（ ）A三棱錐的體積為2B平面C異面直線EF與AG所成的角的余弦值為D過點(diǎn)，作正方體的截面，所得截面的面積是【答案】BD【解析】對(duì)A，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，以為軸，

15、為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則平面，B正確；對(duì)C，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，作中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則正六邊形為對(duì)應(yīng)截面面積，正六邊形邊長(zhǎng)為，則截面面積為：，故D正確.故選：BD18（2021廣東順德一模）如圖，已知圓錐OP的底面半徑，側(cè)面積為，內(nèi)切球的球心為，外接球的球心為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）A外接球的表面積為B設(shè)內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則C過點(diǎn)P作平面截圓錐OP的截面面積的最大值為D設(shè)圓錐OP有一內(nèi)接長(zhǎng)方體，該長(zhǎng)方體的下底面在圓錐底面上，上底面的四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐的側(cè)面上，則該長(zhǎng)方體體積的最大值為【答案】AD【解析】由底面半徑，側(cè)面積為可得：，求得，即圓錐母線長(zhǎng)為2，則高，設(shè)

16、圓錐外接球半徑為，則對(duì)由勾股定理得，即，外接球面積為，故A正確；設(shè)內(nèi)切球的半徑為，垂直于交于點(diǎn)，則對(duì)，即，解得，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；過點(diǎn)P作平面截圓錐OP的截面面積的最大時(shí)，因?yàn)?，故恰好為等腰直角三角形時(shí)取到，點(diǎn)在圓錐底面上，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)圓錐OP有一內(nèi)接長(zhǎng)方體，其中一個(gè)上頂點(diǎn)為，上平面中心為，則，當(dāng)長(zhǎng)方形上平面為正方形時(shí)，上平面面積最大，長(zhǎng)方體體積為，當(dāng)時(shí)，,時(shí)，故，故D正確，故選：AD19（2021廣東金山中學(xué)高三期中）已知直三棱柱中，為的中點(diǎn)點(diǎn)滿足，其中，則（ ）A對(duì)時(shí)，都有B當(dāng)時(shí)，直線與所成的角是30C當(dāng)時(shí)，直線與平面所成的角的正切值D當(dāng)時(shí)，直線與相交于一點(diǎn)，則【答案】AD【解析】直三棱柱中，

17、以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA所在直線為x軸，BC所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)則，為的中點(diǎn)點(diǎn)滿足，其中，A選項(xiàng)：，則，對(duì)時(shí)，都有A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，.則 故直線與所成的角是不是30選項(xiàng)B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，設(shè)平面的法向量，直線與平面所成的角為則，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)， 則，則當(dāng)時(shí)，直線與相交于一點(diǎn)，則故選項(xiàng)D正確. 故選：AD20（2021廣東惠州一中高三月考）如圖所示，從一個(gè)半徑為（單位：）的圓形紙板中切割出一塊中間是正方形，四周是四個(gè)正三角形的紙板，以此為表面（舍棄陰影部分）折疊成一個(gè)正四棱錐，則以下說(shuō)法正確的是（ ）A四棱錐的體積是B四棱錐的外接球的表面積是C

18、異面直線與所成角的大小為D二面角所成角的余弦值為【答案】BCD【解析】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，則有，所以，解得，折疊而成正四棱錐如圖所示，其中為外接球的球心，四棱錐的高，所以四棱錐的體積，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；設(shè)四棱錐外接球的半徑為，球心到底面的距離為，則有，解得，所以四棱錐外接球表面積，因?yàn)椋援惷嬷本€與所成角為，取的中點(diǎn)，連接，如圖，因?yàn)?，均為等邊三角形，所以，所以為二面角所成角的平面角，在中，由余弦定理得，故正確答案為BCD.故選：BCD21（2021江蘇揚(yáng)州中學(xué)高三月考）已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為6，側(cè)棱長(zhǎng)為，則下列說(shuō)法中正確的有（ ）A側(cè)棱與底面所成的角為B側(cè)面與底面所成角的正切值為C正三棱錐外接

19、球的表面積為D正三棱錐內(nèi)切球的半徑為【答案】BC【解析】若分別是的中點(diǎn)，連接，易知為側(cè)棱與底面所成角，由題設(shè)，則，故A錯(cuò)誤；若是底面中心，易知：面，連接、，則側(cè)面與底面所成角為，又，則，故B正確.若外接球的半徑為，則，解得，正三棱錐外接球的表面積為，故C正確.由題設(shè)易知：，若內(nèi)切球的半徑為，則，又，則，故D錯(cuò)誤.故選：BC22（2021福建福清西山學(xué)校高三期中）如圖，已如平面四邊形ABCD，.沿直線AC將翻折成，則_；當(dāng)平面平面ABC時(shí)，則異面直線AC與所成角余弦值是_.【答案】2 【解析】由題可知，由幾何關(guān)系可知，故，則；設(shè)異面直線AC與所成角為，以中點(diǎn)為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，與平面垂直方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，作交直線于點(diǎn)，,，故，則故答案為：2；23（2021湖北武漢二中高三期中）如圖，已如平面四邊形ABCD，.沿直線AC將翻折成，則_；當(dāng)平面平面ABC時(shí)，則異面直線AC與所成角余弦值是_.【答案】2 【解析】因?yàn)?，由勾股定理得：，因?yàn)?，所以三角形ABC為等腰三角形取AC的中點(diǎn)O，則OBAC，以O(shè)為原點(diǎn)，OB所在直線為x軸，OA所在直線為y軸，垂直于平面ABC為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，則；當(dāng)平面平面ABC時(shí)，在yoz平面上，則，設(shè)異面直線AC與所成角為，則異