幾何畫板 課件設(shè)計 圓錐曲線的形成和立體圖形的側(cè)面展開

1、幾何畫板課件設(shè)計圓錐曲線的形成和立體圖形的側(cè)面展開 #摘要幾何畫板是一個適用于幾何（平面幾何，解析幾何，射影幾何，立體幾何）、部分物理、天文教學的專業(yè)學科優(yōu)秀平臺軟件，它能輔助教師在教學中使用現(xiàn)代化教育技術(shù)并進行教學試驗，也可以幫助學生在實際操作中把握學科的內(nèi)在實質(zhì)，培養(yǎng)其觀察能力，問題解決能力，并發(fā)展思維能力。它代表了當代專業(yè)工具平臺類教學軟件的發(fā)展方向。在對幾何畫板進行系統(tǒng)的學習之后，我利用有關(guān)知識制作了兩大類綜合的數(shù)學課件。主要包括：用動態(tài)效果展示圓錐曲線及截面的形成和兩類立體圖形的側(cè)面展開過程。這兩類課件在教學上都有很重要的應(yīng)用。最新的普通中學數(shù)學課程標準中強調(diào)“教師應(yīng)向?qū)W生展示平面截

2、圓錐得到的橢圓的過程，使學生加深對圓錐曲線的理解，有條件的學校應(yīng)充分發(fā)揮現(xiàn)代教育技術(shù)的作用，利用計算機演示平面截圓錐所得的圓錐曲線。”這表明圓錐曲線的教學在以往的教學過程中存在著很大的困難，由于以往教育技術(shù)的落后，無法生動直觀的進行講解?，F(xiàn)在有了這個課件，我們就能達到既生動又直觀的教學效果。第二類立體圖形的側(cè)面展開問題在以往的課件制作中都有所涉及，但制作方法都很繁瑣。我所作課件的最大優(yōu)勢就在于利用了一個統(tǒng)一的方法進行課件制作，大大縮短了制作的時間，而且達到了很好的演示效果。全文由三部分組成：第一部分：幾何畫板課件制作的選題原則。第二部分：詳細介紹了我所選擇制作的數(shù)學課件及其制作過程。第三部分：

3、學習及應(yīng)用幾何畫板的體會。關(guān)鍵詞：幾何畫板，標記向量，橢圓，圓錐曲線，圓錐截面，軌跡，追蹤，側(cè)面展開圖，幾何畫板課件設(shè)計圓錐曲線的形成和立體圖形的側(cè)面展開 目錄TOC o 1-5 h z摘要1 HYPERLINK l bookmark4 Abstract3引言4 HYPERLINK l bookmark8 第一部分幾何畫板的選題原則4 HYPERLINK l bookmark10 第二部分課件設(shè)計與制作5第一類課件：圓錐曲線及圓錐截面的形成5 HYPERLINK l bookmark14 第一部分：圓錐曲線的構(gòu)造6 HYPERLINK l bookmark16 第二部分：圓錐截面的構(gòu)造8第二類

4、課件：立體圖形的側(cè)面展開9 HYPERLINK l bookmark24 第一部分：構(gòu)造圓柱展開10 HYPERLINK l bookmark26 第二部分：構(gòu)造棱柱展開10 HYPERLINK l bookmark28 第三部分：構(gòu)造圓錐、棱錐展開11 HYPERLINK l bookmark30 第四部分：構(gòu)造圓臺、棱臺展開11 HYPERLINK l bookmark36 第三部分學習幾何畫板的體會12致謝14 HYPERLINK l bookmark40 參考文獻15幾何畫板課件設(shè)計圓錐曲線的形成和立體圖形的側(cè)面展開AbstractTheGeometersSketchpadisanex

5、cellentplatformforteachingofgeometry(planegeometry,analyticgeometry,projectiongeometryandsolidgeometry).Italsoappliestoteachingofpartialphysicsandastronomy.Thisplatformnotonlycanhelpteachersusethemoderneducationtechnologyinthecourseofteaching,butalsocanhelpstudentsgrasptheinwardnessofscience,andcult

6、ivatetheirabilityofobservation,solvingquestion,andprogressingtheirideation.Itrepresentsthedevelopingdirectionoftheeducativetoolsoftware.AfterIlearntheGeometersSketchpad,Ihavemadetwokindsofcomprehensivemathematicscoursewares,mainlyincluding:Demonstratethedevelopmentofconecurveandsectionandthesidesoft

7、hetwokindsofsolidshapethecourseofspreadingout.Thesetwokindsofcoursewareshaveveryimportantapplicationonteaching.InThenewestordinarymiddleschoolmathematicscoursestandard,itisemphasizedthatteachershoulddemonstratetostudenttheplanesectionellipsethatconegets,makestudentdeepentheunderstandingforconecurve,

8、undercertainconditionschoolsshouldplaytheroleofmoderneducationaltechnologyfully,usingcomputertodemonstrationincomingofconecurvefromconebytheplane.Itshowsthattheteachingofconecurvehasgreatdifficultyinformerteachingcourse,justbecausethateducatingtechnologyfallbehindbefore,anditcannotbeactiveandvisualt

9、oexplain.Now,herearethesecoursewares,wecanreachactiveandvisualteachingeffect.Thesecondkindofsidespreadoutproblemisconcernedwithinformerlesson,butthemethodtoproduceisfussy.ThebiggestadvantageofmylessonliesinthemethodthatIhaveusedaunificationtocarryout,sothatthetimetoproduceisshortenedgreatly,andhasre

10、achedverygooddemonstrationeffect.Thepapertextiscomposedofthreeparts:Inthefirstpart:IwritesomefundamentalaboutwhatkindsofproblemwecanmakethecoursewaresintheGeometersSketchpad.Inthesecondpart:ThemathematicscoursewaresanditsproducecoursethatIselecttomakeareintroducedindetail.Inthelastpart:Irelatetheexp

11、eriencestudybyusingtheGeometersSketchpad.Keywords:TheGeometersSketchpad,markvector,ellipse,conecurve,conesection,locustracing,sidespreadoutpicture引言TheGeometersSketchpad是美國優(yōu)秀的教育軟件。由美國NicholasJackiw和ScottSteketee程序?qū)崿F(xiàn)，StevenRasmussen領(lǐng)導的KeyCurriculum出版社出版。它的中文名是幾何畫板一21世紀的動態(tài)幾何，以下簡稱幾何畫板。它小巧玲瓏，操作簡單，是數(shù)學學習的

12、有力助手。它可以說是我們的數(shù)學實驗室，因為它能夠有效地使數(shù)形結(jié)合，使我們在數(shù)學學習中既理解了數(shù)學結(jié)論，又得到了數(shù)學經(jīng)驗。眾所周知數(shù)學是訓練邏輯思維的，尤其幾何。通過教師的輔導，我們在自己的記憶中形成套邏輯思維體系。那么怎樣才能使我們更好地理解幾何知識、掌握邏輯思維方法呢？一個方法是多看、多想，增加我們的學習經(jīng)驗，另一個方法就是尋找良好的輔助工具，幫助我們在動態(tài)的幾何之中，去觀察，探索。幾何畫板就是一個適用于幾何（平面幾何，解析幾何，射影幾何，立體幾何）、部分物理、天文教學的專業(yè)學科優(yōu)秀平臺軟件，它能輔助教師在教學中使用現(xiàn)代化教育技術(shù)并進行教學試驗，也可以幫助學生在實際操作中把握學科的內(nèi)在實質(zhì)，

13、培養(yǎng)其觀察能力，問題解決能力，并發(fā)展思維能力。它代表了當代專業(yè)工具平臺類教學軟件的發(fā)展方向。在對幾何畫板進行系統(tǒng)的學習之后，我利用有關(guān)知識制作了兩大類綜合的數(shù)學課件，主要包括：用動態(tài)效果展示圓錐曲線及截面的形成和兩類立體圖形的側(cè)面展開過程。這兩類課件在教學上都有很重要的應(yīng)用。下面我就課件的選題、制作及使用幾何畫板的感受幾方面來展開我的論文。第一部分幾何畫板的選題原則在數(shù)學教學過程中，不論是代數(shù)教學還是幾何教學，遇到的最大困難就是：教師在教學過程重使用常規(guī)工具（如黑板，粉筆，圓規(guī)和直尺等）作圖或是演示都有一定的局限性，而且無法達到動態(tài)地、任意地展示的目的，更多的時候無法揭示事物變化過程中的規(guī)律。

14、幾何畫板一21世紀的動態(tài)幾何。顧名思義，幾何畫板就是一個可以很好的解決以上難題的輔助教學工具。幾何畫板在中學數(shù)學教學中有很多應(yīng)用，不論在代數(shù)教學還是在幾何教學中都顯示出它的超凡魅力。例如，在代數(shù)學教學中，它對函數(shù)、極限、復數(shù)和不等式等的教學起到了很大 幾何畫板課件設(shè)計圓錐曲線的形成和立體圖形的側(cè)面展開5的作用。在幾何學教學中，平面、立體和解析幾何更讓幾何畫板大顯身手。當然，并不是所有教學都要利用幾何畫板來完成，也并不是所有教學內(nèi)容都適合利用幾何畫板達到最好的效果，這就要遵循幾何畫板的選題原則：第一：幾何畫板可以動態(tài)地演示圖形的變化過程。例如：下面要展示的圓錐曲線及圓錐曲面的形成，圓錐、圓錐、圓

15、臺的側(cè)面展開等幾個課件都體現(xiàn)了動態(tài)的特點；第二：幾何畫板可以有效地使數(shù)形結(jié)合。例如：大量極值問題都可以通過幾何畫板來動態(tài)模擬。第三：幾何畫板可以精確畫出函數(shù)圖形并表現(xiàn)其全部情況。例如：函數(shù)教學中大量的繪圖工作可以輕而易舉地通過幾何畫板來完成。而且對于一類函數(shù)，幾何畫板可以通過改變系數(shù)及參數(shù)而達到表現(xiàn)其全部情況的目的。例如：三角函數(shù)中正弦函數(shù)y=Asin（ex+（p）+d的圖像可以通過調(diào)整A，3,，d的值得到不同的精確圖像。第四：幾何畫板最重要的是可以很好的表現(xiàn)圖形的任意性。例如：在讓學生掌握三角形重心，內(nèi)心，外心等概念時，在以往的教學過程中只能在黑板上畫出幾個三角形作代表，不能很好地說明三角形

16、的任意性，而利用幾何畫板就可以任意拖動三角形的頂點以達到任意三角形的目的?？傊?，在所做課件中我們能夠充分體現(xiàn)出幾何畫板的以上優(yōu)勢，并能夠恰當?shù)膽?yīng)用到教學實踐中，為教學服務(wù)。這就可以稱作是一個成功的課件設(shè)計。利用幾何畫板就是要充分利用它動態(tài)幾何的特點，把在傳統(tǒng)教學中比較難描述清楚的圖形，用動態(tài)效果展現(xiàn)給學生，從而達到更好得教學效果。第二部分課件設(shè)計與制作第一類課件：圓錐曲線及圓錐截面的形成選題：圓、橢圓、拋物線、雙曲線這四種曲線可以看作不同的平面截圓錐面所得到的截線，故它們統(tǒng)稱為圓錐曲線。在中學數(shù)學教學中，很難用實物教具演示圓錐曲線的形成過程。在學習之初，學生很難對圓錐曲線的形成有一個直觀的認識

17、?，F(xiàn)利用幾何畫板模擬不同的平面截圓錐面的過程，動態(tài)演示不同圓錐曲線及截面的形成，為高中解析幾何中的第二章圓錐曲線作引入。這樣設(shè)計使學生對抽象的圓錐曲線概念有一個更感性的認識，更便于學生理解圓錐曲線的實際意義。原理：圓錐面被一平面所截所得的曲線形有：圓、橢圓、拋物線、雙曲線。幾何畫板課件設(shè)計圓錐曲線的形成和立體圖形的側(cè)面展開制作過程：第一部分：圓錐曲線的構(gòu)造1造能夠控制截面作移動和傾斜變化的示意圖作小橢圓：利用同心圓法作橢圓，橢圓的長半軸為OA,短半軸為OB；過O作OA的垂線，在垂線的上方任取一點H,作線段HO并隱藏垂線。用線段連接黃色，如圖1所示。圖1注意：利用示意圖控制截面作移動和傾斜變化：

18、拖動點A或點B,可以改變橢圓的大??；拖動點C或點D,可以使截面EFFEz下移動或上下傾斜；拖動點E,可以使截面左右傾斜或翻轉(zhuǎn)。2構(gòu)造圓錐面被截面所截形成圓錐截面曲線的過程做大橢圓：利用同心圓法作橢圓，橢圓的長半軸OzA=2|OA|,短半軸OzB=2|OB|,橢圓中心為O；作圓截面：依次選定點O和點H并標記為向量，把點O按標記向量平移兩次得點H,使OH=2|OH|。在橢圓上任取一點P,用線段連接OP依次選定點P和點H并標記為向量，把點H按標記向量平移得點P,用線段連接PP和AH；作P軌跡，同時選定點P和點P,執(zhí)行作圖/軌跡選項，求得一個與圓橢圓關(guān)于H對稱的橢圓；作PP軌跡，再同時選定線段PP和點

19、P,執(zhí)行作圖/軌跡選項，作出圓錐面,并用淺顏色表示。作截面：依次選定點O和C并標記為向量，把點O按標記向量平移兩次得點C,使OC=2|OC|。過點C作平行于CD的直線a交HA于點D。在直線a上任取一點M,選定點M和C并標記為向量，把點C按標記向量平移得點M。過點M作EE平行線d,在d上任取一點N,選定點N和M并標記為向量，使點M按標記向量平移得點N。依次選定點M和M并標記為向量，使點N,N按標記向量平移得幾何畫板課件設(shè)計圓錐曲線的形成和立體圖形的側(cè)面展開7點Q和Q。隱藏直線d,用線段連接N、N、Q、Q得截面NNQfQ,并涂上淺黃色。作圓錐曲線：先求作截面NNQQ與棱HP的交點G。過點D作OA平

20、行線交OH于O點。分別過點O和D作線段OP和FF的平行線b和c,并交與點R。作直線RC,求得RC與PP的交點G,即為截面與棱PP的交點。隱藏除直線a外的所有直線。求點G的軌跡，同時選定點G和點P,執(zhí)行作圖/軌跡選項，求得截面與錐面相交的圓錐曲線。根據(jù)截面不同位置，點G的軌跡可分別形成橢圓、拋物線、雙曲線等，建立動畫按鈕控制截面的運動,改標簽為“圓錐曲線”。用同樣方法，可求得圓錐曲線在水平面上的投影，即過G點作AO的垂線與PO交于點G,求點G的軌跡即是。在控制圖上選取四個特殊點，此時所成圓錐曲線為雙曲線、拋物線、橢圓、圓。分別構(gòu)造到這幾個點的移動按鈕，并改名為“雙曲線”、“拋物線”、“橢圓”、“

21、圓”如圖2所示的夾角。將截面NNQQ的中心按一定長度平移，得新點。以該點為原點建立直角坐標系，在所截得的曲線上任取一點，按一定長度平移，得另一新點，將此新點按OD與水平方向的夾角度數(shù)旋轉(zhuǎn)得新點。選中此新點與曲線上的點作軌跡得此圓錐曲線在平面直角坐標系內(nèi)的直觀圖。此為該課件的亮點之一。如圖3所示幾何畫板課件設(shè)計圓錐曲線的形成和立體圖形的側(cè)面展開 第二部分：圓錐截面的構(gòu)造作法與圓錐曲線的構(gòu)造基本相同，不同之處：在2（5）步時將所得軌跡內(nèi)部涂上顏色，即得圓錐截面如圖4所示圖4幾何畫板課件設(shè)計圓錐曲線的形成和立體圖形的側(cè)面展開使用說明：利用示意圖控制截面作移動和傾斜變化，在示意圖中：拖動點A或點B,可

22、以改變橢圓的大??；拖動點C或點D,可以使截面EFFEz下移動或上下傾斜;拖動點E,可以使截面左右傾斜或翻轉(zhuǎn)。此外，可以利用操作按鈕圓錐曲線及圓錐面使截面EFFE以動畫方式翻轉(zhuǎn)，還可以利用快捷按鈕雙曲線、拋物線卜橢圓卜圓和雙曲面、拋物面面、圓面、圓錐面使截面直接到特殊位置，從而生成特殊曲線。教師指導同學觀察時可是具體情況選擇不同的操作按鈕進行演示。如結(jié)合“閃動”按鈕的使用更能夠強調(diào)重點,使之更加突出。課件應(yīng)用：本課件主要應(yīng)用于新教材高中二年級(下)第七章圓錐曲線的教學中，可在本章的引入部分使用，亦可在本章的教學中穿插使用。特別是將三維空間中截得的二維曲線投影到平面直角坐標系中，使得學生對圓錐曲線

23、的理解更近一步。第二類課件：立體圖形的側(cè)面展開選題：利用幾何畫板的作圖功能和移動功能，可以動態(tài)演示柱、錐、臺體側(cè)面的展開。但制作起來比較繁瑣，效果也不一定很好。以下就給出一個通用的，既簡便又實用的展開方法。原理：設(shè)立體圖形的底面中心為o半徑為r。利用變半徑圓上的一段弧線作為立體圖形的底面周長。變半徑圓的圓心有一個近點o和一個遠點B。當半徑逐漸變大時，即當O-B時R逐漸放大，弧長也逐漸伸展開，動態(tài)演示這段弧的“伸展/展開”過程；當oB距離愈大，展開的效果愈好。當半徑逐漸變小時，即當O-o時R-r,弧長卷成一個小圓(橢圓)，動態(tài)演示這段弧的“卷縮/還原”過程。制作過程：準備工作：確定與展開相關(guān)的參

24、數(shù)如圖5所示，以點A和o作射線，在該射線上取一個動點0和一個遠點B；標記線段Ao,將o按標記向量平移得D,以A為圓心，AD為半徑作圓;2.大圓上繪制所需弧線(1)以0為圓心，OA為半徑作動圓0與圓A交兩點A、A，過點A、A、A作弧(2)過點A作AO的垂線k,在圓弧AAA上任取一點F,過點F作直線k的垂線段FG,并取FG的中點H。同時選中點F、H作軌跡，得到相應(yīng)的橢圓??；V丿3.作“還原”和“展開”按鈕圖5將點0向上平移0.00001cm得o點(以保證橢圓弧的顯示)，作點O到點o的移動按鈕，改標簽為“還原”；作點O到點B的移動按鈕，改標簽為“展開”；只保留橢圓弧、點o、B和操作按鈕，隱藏不必要的

25、點、線、圓等。以該橢圓為基礎(chǔ)，構(gòu)造圓柱、錐、臺，棱柱、錐、臺的展開。拖動點o,改變橢圓弧的長短和方向，調(diào)節(jié)點B的位置，使展開具有較好的視覺效果。構(gòu)造展開：I劇矩諾曲展哥Y第一部分：構(gòu)造圓柱展開畫線段EF,并標記向量，用來控制圓柱母線的長短和方向；在橢圓弧上畫三點X、Y、Z,其中X為橢圓弧的左端點，Z為橢圓弧的右端點，Y為中間任一點；選中點X、Y、乙按標記向量平移，得到點X、Y、Z,并用線段連接XX、YY、ZZ；圖6選中點Y和點Y,作軌跡；選中線段YY和點Y,作軌跡，得到圓柱側(cè)面，如圖6所示按“展開”或“還原”按鈕，即可動態(tài)演示圓柱側(cè)面的展開。拖動點F改變母線長短和方向，拖動點o改變圓柱半徑。第

26、二部分：構(gòu)造棱柱展開(1)畫線段EF,并標記向量，用來控制棱柱母線的長短和方向;幾何畫板課件設(shè)計圓錐曲線的形成和立體圖形的側(cè)面展開11(2)在橢圓弧上多畫幾個點如：X、M、N、P、Q、Z,其中X為橢圓弧的左端點，Z為橢圓弧的右端點，其余為中間點，并隱藏橢圓弧。3)選中橢圓弧上各點，按標記向量平移，得到點X，、M、N、P、Q、Zz,并用線段連接XX、ZZ；選中四個相鄰點X、M、M、X,取內(nèi)部，著上顏色；用同樣方法給棱柱5個側(cè)面著上不同顏色，如圖7所示圖7按“展開”或“還原”按鈕，即可動態(tài)演示棱柱側(cè)面的展開。可以增加橢圓弧中間點的個數(shù)，再適當調(diào)整中間點和點F的位置?？梢缘玫讲煌睦庵w。圖8第三部

27、分：構(gòu)造圓錐、棱錐展開畫線段EF,并標記向量，用來控制圓錐母線的長短和方向；在橢圓弧上畫三點X、Y、Z,其中X為橢圓弧的左端點，Z為橢圓弧的右端點，Y為中間任一點；中點o按標記向量平移，得到點O,作為圓錐的頂點，用線段連接X0、Y0、ZO；|蠱樺諾前嚴研01中線段Y0和點Y,作軌跡，得到圓錐側(cè)面，如圖8所示構(gòu)造棱錐展開。在橢圓弧上多畫幾個點，利用構(gòu)造棱柱展開的方法構(gòu)造棱錐展開，如圖9所示按“展開”或“還原”按鈕，即可動態(tài)演示圓錐(棱錐)側(cè)面的展開。拖動E點改變母線長短和方向，拖動點o改變圓錐(棱錐)半徑。第四部分：構(gòu)造圓臺、棱臺展開(1)畫線段EF,并標記向量，用來控制圓臺母線的長短和方向;幾

28、何畫板課件設(shè)計圓錐曲線的形成和立體圖形的側(cè)面展開 幾何畫板課件設(shè)計圓錐曲線的形成和立體圖形的側(cè)面展開 在橢圓弧上畫三點X、Y、Z,其中X為橢圓弧的左端點，Z為橢圓弧的右端點，Y為中間任一點；中點o按標記向量平移，得到點O,讓點X、Y、Z以點O為中心，縮小2倍，得到點X、Y、Z，用線段連接XX、YY、ZZ；選中線段Y和點Y,作軌跡，作為圓臺上底；選中線段YY和點Y,作軌跡得到圓臺側(cè)面，如圖10所示構(gòu)造棱臺展開。隱藏圓臺得上底和側(cè)面，只保留長橢圓弧。在橢圓弧上多畫幾個點，利用構(gòu)造棱柱展開的方法構(gòu)造棱臺展開，如圖11所示I榭會諾梅朕即圖10圖11使用說明：1-拖動點o可改變橢圓弧的長短和方向；通過改

29、變EF的長短和方向，可改變立體圖形的母線長短和方向；3-調(diào)節(jié)點B的位置，可使展開具有較好的視覺效果；單擊|側(cè)面展開或側(cè)面還原按鈕，即可動態(tài)演示立體圖形的側(cè)面的展開。課件應(yīng)用：本課件設(shè)計的主要目標是想改變以往立體圖形展開圖作法過于復雜的問題。盡管本文呈現(xiàn)的這個課件在數(shù)形結(jié)合上還有待進一步的研究，但通過這個課件的制作，你一定能體會到幾何畫板課件制作的便捷與樂趣。這個課件可以在眾多情況下應(yīng)用。特別在講解立體圖形的側(cè)面展開問題時，更需要有一個直觀、立體的演示工具。這個課件就達到了這樣一個目的！第三部分學習幾何畫板的體會計算機在數(shù)學教學中有著它的獨特作用，在輔助學生認知的功能要勝過以往的任何技術(shù)手段。在

30、幫助學生系統(tǒng)地復習、運用知識方面也有著比傳統(tǒng)教學更先進的模式，特別它的表述的方式很靈活，可以以文字、圖形、動畫、電影、圖表等多種方式出現(xiàn)。再加入良好的教學軟件輔助更顯示出計算機輔助教學的強大優(yōu)勢。所以，當代教師應(yīng)該掌握計算機輔助教學，并達到對一兩種軟件的熟練使用。幾何畫板作為優(yōu)秀的教學軟件之一，是一個通用于數(shù)學，物理，天文的教學平臺。其豐富的功能使用戶可以隨心所欲的編寫所需的教學課件。該軟件提供了充分的技術(shù)手段幫助用戶實現(xiàn)其教學思想。用戶只要熟悉它的簡單使用技巧就可以自行設(shè)計和編寫應(yīng)用范例，無需學習任何編程語言。所做的課件所體現(xiàn)的并不是設(shè)計者的計算機軟件應(yīng)用水平，而是他具有的數(shù)學教學思想和實際教學水平。幾何畫板不僅能夠幫助教師擴展在傳統(tǒng)教學中的能力，而且還為新的教學方法提供了可能。在新的教學方法中，強調(diào)學生的主體參與，學生課堂的主體，通過學生的參與來幫助學生更好地學習。但是現(xiàn)在普通的課堂