亞波長(zhǎng)分形結(jié)構(gòu)光子帶隙的研究

1、 - 14 -亞波長(zhǎng)分形結(jié)構(gòu)光子帶隙的研究徐杰諶導(dǎo)師：周磊摘要：我主要重復(fù)了周老師在平面分形結(jié)構(gòu)的亞波長(zhǎng)光子帶隙的研究上的一些工作，從基礎(chǔ)的分形以及介質(zhì)理論入手，對(duì)比例定律和局部共振進(jìn)行了模擬和實(shí)驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上，將理論、模擬和實(shí)驗(yàn)結(jié)合，形成完成了一個(gè)比較完整的本科生近代物理實(shí)驗(yàn)。光子帶隙材料（PBG）可以在特定的頻率范圍內(nèi)內(nèi)反射以任意角度入射的電磁波。傳統(tǒng)的光子帶隙材料利用布拉格散射原理來(lái)產(chǎn)生禁帶（forbidden band gap），為了減小邊界效應(yīng)，材料的厚度和邊界尺度必須是波長(zhǎng)的幾倍。對(duì)于微波，幾倍就意味著材料尺度需要達(dá)到1m以上的數(shù)量級(jí)，這顯然不實(shí)用。選頻材料（FSS）利用一些金屬單

2、元周期性排列來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)于電磁波的反射，但相應(yīng)反射波長(zhǎng)仍然受到結(jié)構(gòu)元尺度的限制。分形結(jié)構(gòu)材料可以實(shí)現(xiàn)以亞波長(zhǎng)什么是亞波長(zhǎng)， 要介紹一下， 我們組里的人知道， 但是別人不一定了解的尺度來(lái)產(chǎn)生多重光子帶隙。幾何上，分形是指任意大小的子圖形與原圖形完全一樣的圖形。我們研究的結(jié)構(gòu)是一種工字型的分形，構(gòu)型在如圖1中：這里展示的是一個(gè)11級(jí)分形，。 分型結(jié)構(gòu)級(jí)數(shù)的定義如下： 中間縱向最長(zhǎng)的一根為分形第1級(jí)，長(zhǎng)度記為a；橫向最長(zhǎng)為第2級(jí)，長(zhǎng)度為a，有兩根；縱向次長(zhǎng)的四根為第3級(jí)，長(zhǎng)度a/2；依次類推，分形的第n級(jí)有根，長(zhǎng)度。實(shí)驗(yàn)上直接用平面電磁波（TEM）入射到分形板上來(lái)觀察透射系數(shù)（）以及相位，為了減小邊界效

3、應(yīng)，分形板應(yīng)該做得盡可能大（微波實(shí)驗(yàn)中一般使用500mm*500mm左右的板）。模擬只能針對(duì)有限的尺度進(jìn)行，涉及到S參數(shù)輸出一般采用波導(dǎo)，為了使波導(dǎo)支持TEM模式，可以將其平行于平面的邊界面設(shè)為，平行于平面的邊界面設(shè)為。整個(gè)模擬及實(shí)驗(yàn)過(guò)程中隱含了一條很重要的比例定律（Scaling Law），即某種結(jié)構(gòu)如果尺度擴(kuò)大一倍，那么相應(yīng)頻率需要縮小一倍。如圖2，（Lv為級(jí)數(shù)，a為分形第一級(jí)長(zhǎng)度）a=64mm分形相當(dāng)于把a(bǔ)=32mm分形的尺度擴(kuò)大了一倍，我們可以看到，相應(yīng)地，a=64mm分形在0,4GHz內(nèi)的反射率與a=32mm分形在0,8GHz內(nèi)的反射率一致反射率一致的說(shuō)法有點(diǎn)問(wèn)題， 應(yīng)該是反射率峰值

4、位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 。圖1. 工字型分形圖（11級(jí)）實(shí)驗(yàn)上，我們采用a=16mm的四級(jí)分形板與a=8mm的四級(jí)分形板來(lái)驗(yàn)證這一重要定律，為了做到完全地按比例擴(kuò)大，除了各級(jí)長(zhǎng)度以外，前者的介質(zhì)厚度、金屬條寬度都是后者的兩倍。如圖3，透射極小位置分別在3.16GHz（a=16mm）、1.596GHz（a=8mm），電場(chǎng)極化方向與分形第一級(jí)平行。我們首先通過(guò)模擬來(lái)研究7級(jí)分形的性質(zhì)，再推廣到實(shí)際情況（無(wú)窮級(jí)）。分別在第1、2、3個(gè)反射極大（從左往右依次2.4528GHz、6.308GHz、20.909GHz）處觀察表面電流（如圖4），我們發(fā)現(xiàn)，低頻時(shí)，極化電流集中在分形的低級(jí)區(qū)域，隨頻率增大，極化電流

5、會(huì)趨向于分布在更高級(jí)的區(qū)域中；并且在第1、2、3個(gè)反射極大時(shí)，電流正好集中在第1、3、5級(jí)區(qū)域中（注意到電場(chǎng)沿y方向極化，而分形的1、3、5級(jí)正是其在y方向的第1、2、3 圖2. 比例定律（Lv=4, a=32mm與Lv=4, a=64mm）圖3.1 Scaling Law（Lv=4, a=8mm）圖3.2 Scaling Law（Lv=4, a=16mm）圖4. 不同頻率下表面電流分布（從左往右依次2.4528GHz、6.308GHz、20.909GHz）級(jí)），這就暗示我們這種分形結(jié)構(gòu)的介電常數(shù)應(yīng)該有的形式。而實(shí)際上，對(duì)于有局部共振的色散介質(zhì)，是級(jí)的響應(yīng)頻率，是頻率，是常數(shù)。我們這里研究的是

6、各向異性介質(zhì)，矩陣元可以通過(guò)將整體當(dāng)做有效介質(zhì)模型處理后應(yīng)用轉(zhuǎn)移矩陣方法，利用與透射相位反解得到。在兩個(gè)響應(yīng)頻率之間，會(huì)有一個(gè)頻率處相鄰的兩個(gè)響應(yīng)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生同振幅但相差為的響應(yīng)，這時(shí)候響應(yīng)電流相互抵消，產(chǎn)生全透射。事實(shí)上，分形結(jié)構(gòu)不同級(jí)的局部共振正是其多重光子帶隙產(chǎn)生的原因。為了驗(yàn)證分形的不同級(jí)的結(jié)構(gòu)只對(duì)特定的頻率產(chǎn)生共振，我模擬了a=32mm的四級(jí)板和a=64mm的六級(jí)板，前者正是后者的一個(gè)亞結(jié)構(gòu)，如圖5：圖5. 分形的不同級(jí)對(duì)于不同頻率的響應(yīng)（Lv=4, a=32mm與Lv=6, a=64mm）正如前面所預(yù)見(jiàn)的，在低頻區(qū)域，6級(jí)比4級(jí)多了一個(gè)共振峰。這是因?yàn)?級(jí)比4級(jí)多出了長(zhǎng)度為16mm的第

7、1、2級(jí)，而6級(jí)分形的1、2級(jí)結(jié)構(gòu)共振產(chǎn)生了第一個(gè)反射峰。實(shí)驗(yàn)上，我們用a=8mm的四級(jí)分形板與a=16mm的六級(jí)分形板來(lái)觀察分形不同級(jí)的響應(yīng)情況（前者正是后者的子結(jié)構(gòu)），如圖6，在3.16GHz附近，透射極小位置幾乎重合；在1.169GHz處，六級(jí)分形多出了一個(gè)透射谷（deep）。另外有一些實(shí)驗(yàn)事實(shí)可以作為對(duì)以上理論的佐證。分別將四級(jí)分形板與六級(jí)分形板旋轉(zhuǎn)，由于喇叭的極化方向確定，這樣就相當(dāng)于把電磁波極化方向改變了。如圖7，我們可以看到，旋轉(zhuǎn)后，頻率上透射谷位置相對(duì)旋轉(zhuǎn)前乘了一個(gè)常數(shù)，頻率取過(guò)對(duì)數(shù)后，我們可以看到四個(gè)均勻分布的透射谷，從左到右正是由分形的第1、2、3、4級(jí)共振而產(chǎn)生。1、3級(jí)

8、前面已有解釋，而對(duì)于2、4級(jí)，正是由于旋轉(zhuǎn)后電場(chǎng)極化方向和分形的第2級(jí)平行，所以第一個(gè)透射谷會(huì)出現(xiàn)在分形的第二級(jí)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生共振的頻率處，第二個(gè)透射谷會(huì)出現(xiàn)在分形圖6. 分形的不同級(jí)的響應(yīng)情況（Lv=4, a=8mm與Lv=6, a=16mm）圖7. 旋轉(zhuǎn)后透射率與旋轉(zhuǎn)前的對(duì)比（Lv=6, a=16mm）的第四級(jí)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生共振的頻率處。Lv=4, a=8mm的四級(jí)分形板可以看到完全類似的現(xiàn)象，如圖8，實(shí)驗(yàn)測(cè)量范圍在1,10GHz，實(shí)際上更高頻率處還會(huì)有一個(gè)透射谷。圖8. 旋轉(zhuǎn)后透射率與旋轉(zhuǎn)前的對(duì)比（Lv=4, a=8mm）因此，模擬時(shí)，對(duì)于級(jí)數(shù)非常高的分形，可以采用拆分法。在低頻區(qū)域研究高級(jí)子結(jié)構(gòu)，

9、在高頻區(qū)域研究低級(jí)子結(jié)構(gòu)，中間區(qū)域的結(jié)果將與實(shí)際非常近似，這種方法僅在極低頻和極高頻區(qū)域會(huì)少一些峰值。（由于頻域上共振位置的值是指數(shù)增加的，所以如果我們關(guān)注的僅僅是一個(gè)特定的中間頻率范圍，極低頻和極高頻的這些誤差可以忽略。）為了得到一個(gè)15級(jí)分形的模擬結(jié)果，對(duì)于沿x方向極化的入射波我分別在0,3.5GHz、0,8GHz、0,40GHz范圍內(nèi)模擬了10、8、6級(jí)分形，如圖9；對(duì)于沿y方向極化的入射波我分別在0,1.5GHz、0,5GHz、0,40GHz范圍內(nèi)模擬了11、9、7級(jí)分形，如圖10。可以看到，在反射率、透射率極小處，反射相位、透射相位都有突變，實(shí)驗(yàn)上也看到了這種變化，見(jiàn)圖11，這不難理

10、解，因?yàn)殡姶挪ㄌ^(guò)了一個(gè)“隙”（gap）。此外，x極化電磁波與y極化電磁波的各個(gè)峰值位置相差一個(gè)固定的頻率（取對(duì)數(shù)后），這正是之前的理論所預(yù)言的。分形結(jié)構(gòu)材料還具有絕對(duì)禁帶，也即禁帶位置不隨入射角度而變化。我們可以從支持模式的波導(dǎo)中的TE波場(chǎng)一般形式出發(fā)：圖9. X極化入射波的反射率、透射率、透射相位、反射相位（0,3.5|10、0,8|8、0,40|6）圖10. Y極化入射波的反射率、透射率、透射相位、反射相位（0,1.5|11、0,5|9、0,40|7）圖11.透射率與透射相位（Lv=4, a=8mm）和是波導(dǎo)橫截面的長(zhǎng)與寬。上式可以寫(xiě)成四束平面電磁波的線性疊加，其中，透射波滿足，由邊界關(guān)

11、于xz平面與yz平面的對(duì)稱性可知，也即透射率與角度無(wú)關(guān)。模擬時(shí)我用三級(jí)分形作為單元結(jié)構(gòu)，變化x方向與y方向的單元個(gè)數(shù)（、），從而改變?nèi)肷浣牵粚⒁粔K板旋轉(zhuǎn)后與另一塊壘加（兩塊板中間保持1mm間距），以消除入射波取不同極化方向的影響；取某一個(gè)透射極小（23.5GHz），查看共振情況，如圖12；另外，在同一頻率下計(jì)算S波與P波的其他模式透射率，繪出透射率隨入射角變化情況，如圖13，透射谷的漲落在-60dB量級(jí)。圖12. 23.5GHz附近不同入射角情況下透射率另一方面，多層壘加可以增大禁帶寬度。我模擬了1、2、4層7級(jí)板壘加的情況，見(jiàn)圖14，盡管擾動(dòng)很大，但我們還是可以發(fā)現(xiàn)，隨著壘加層數(shù)增加，隙寬也

12、隨之增大。工字型分形結(jié)構(gòu)有局部共振性質(zhì)，并且不同級(jí)對(duì)應(yīng)不同的共振頻率，它可以在多個(gè)頻率范圍實(shí)現(xiàn)對(duì)電磁波的全反射和全透射。如果將一塊分形板旋轉(zhuǎn)后與另一塊壘加，還可以實(shí)現(xiàn)對(duì)任意入射角與極化方向電磁波的全反射與全透射，形成多重光子帶隙；多重壘加可以拓寬隙寬。此外，這種分形結(jié)構(gòu)在尺度上屬于亞波長(zhǎng)，具有很寬廣的應(yīng)用前景。關(guān)于實(shí)驗(yàn)的一些補(bǔ)充：圖13. 23.5GHz附近S波與P波的透射率 圖14. 多層七級(jí)板壘加的透射率1.網(wǎng)分校準(zhǔn)是操作上最為復(fù)雜的部分，但如果將出射振幅調(diào)至最低后直接將兩個(gè)喇叭對(duì)準(zhǔn)，采用內(nèi)置的程序?qū)⑦@種振幅作為基準(zhǔn)，可以簡(jiǎn)化校準(zhǔn)過(guò)程。2.從喇叭出射的電磁波的極化方向垂直于開(kāi)口的兩個(gè)平行面。3.為了確保電磁波垂直入射到分形板上，豎直方向有另外一木架固定平板。4.網(wǎng)分掃描頻率的起點(diǎn)不能為零。5.如果需要增加一些實(shí)驗(yàn)測(cè)量量，可以考慮用探針測(cè)量不同頻率下分形某一級(jí)兩端點(diǎn)之間的電勢(shì)差。參考文獻(xiàn)1 Lei Zhou, C T Chan and Ping Sheng, J. Phys. D: Appl. Phys. 37, 368 (2004).2 Weijia Wen, Lei Zhou, Jensen Li, Weikun Ge,