新高考數(shù)學(xué)二輪專題《圓錐曲線》第25講 蝴蝶問(wèn)題（原卷版）

1、第25講 蝴蝶問(wèn)題一、解答題 1在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與半徑相交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線。(1)求曲線的方程；(2)若，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線分別交于點(diǎn)，其中，求證：直線必過(guò)軸上的一定點(diǎn)。(其坐標(biāo)與無(wú)關(guān))2已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，且，橢圓離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且斜率不為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，的交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在直線上.3已知橢圓C：1(ab0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，離心率為，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C(0，1)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，記直線AM的斜率為k1，直線B

2、N的斜率為k2，若k12k2，求直線l斜率的值4已知橢圓E：的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓E上.（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：5已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線與橢圓交于，證明：.6如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓（）的焦距等于其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，為橢圓的上、下頂點(diǎn)，且（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于異于的兩點(diǎn)，直線交于點(diǎn)求證：點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值37已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，

3、橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.（）求橢圓方程；（）設(shè)為橢圓右頂點(diǎn)，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（異于），直線，分別交直線于，兩點(diǎn). 求證：，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值.8已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱連接求證：存在實(shí)數(shù)，使得成立9已知點(diǎn)在橢圓：上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線：的斜率與直線的斜率乘積為（1）求橢圓的方程；（2）不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線：（且）與橢圓交于，兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為（與點(diǎn)不重合），直線，與軸分別交于兩點(diǎn)，求證：.10橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為，在橢圓上，的周長(zhǎng)為，面積的最大值為2.（1）求橢圓的方程；

4、（2）直線（）與橢圓交于，連接，并延長(zhǎng)交橢圓于，連接，探索與的斜率之比是否為定值并說(shuō)明理由.11已知橢圓的方程為，在橢圓上，橢圓的左頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，的面積是的面積的倍（1）求橢圓的方程；（2）直線（）與橢圓交于，連接，并延長(zhǎng)交橢圓于，連接，指出與之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由12已知橢圓C的方程為，在橢圓上，離心率，左、右焦點(diǎn)分別為、（1）求橢圓C的方程；（2）直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交橢圓C于D、E兩點(diǎn)，連接，求的值13如圖，B，A是橢圓的左、右頂點(diǎn)，P，Q是橢圓C上都不與A，B重合的兩點(diǎn)，記直線BQ，AQ，AP的斜率分別是，.（1）求證：；（2）若直線PQ過(guò)定點(diǎn)，求證：.14已知橢圓：的焦距為4，且點(diǎn)在橢圓上，直線經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，且其斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn).（1）求橢圓的方程； （2）設(shè)，延長(zhǎng)分別與橢圓交于兩點(diǎn)，直線的斜率為，求證：為定值.15已知橢圓的離心率為，半焦距為，且，經(jīng)過(guò)橢圓