新高考數(shù)學(xué)二輪專題《數(shù)列》第14講 數(shù)陣問題（數(shù)列群問題）（解析版）

1、第14講 數(shù)陣問題（數(shù)列群問題） 一選擇題（共7小題）1把正奇數(shù)數(shù)列依次按第一個(gè)括號一個(gè)數(shù)，第二個(gè)括號兩個(gè)數(shù)，第三個(gè)括號三個(gè)數(shù)，第四個(gè)括號一個(gè)數(shù)，依次循環(huán)的規(guī)律分為（1），9，21，則第50個(gè)括號內(nèi)各數(shù)之和為A98B197C390D392【解析】解：由題意可得，將三個(gè)括號作為一組，則由，第50個(gè)括號應(yīng)為第17組的第二個(gè)括號，即50個(gè)括號中應(yīng)有兩個(gè)數(shù)，因?yàn)槊拷M中有6個(gè)數(shù)，所以第48個(gè)括號的最后一個(gè)數(shù)為數(shù)列的第項(xiàng)，第50個(gè)括號的第一個(gè)數(shù)為數(shù)列的第項(xiàng)，即，第二個(gè)數(shù)是，所以第50個(gè)括號內(nèi)各數(shù)之和為，故選：2把數(shù)列依次按第一個(gè)括號一個(gè)數(shù)，第二個(gè)括號兩個(gè)數(shù)，第三個(gè)括號三個(gè)數(shù)，第四個(gè)括號四個(gè)數(shù)，第五個(gè)括號一

2、個(gè)數(shù)，循環(huán)分為：（3），11，17，19，31，37，39，則第60個(gè)括號內(nèi)各數(shù)之和為A1112B1168C1176D1192【解析】解：括號里的數(shù)有規(guī)律：即每四個(gè)一組，里面的數(shù)都是，所以到第60個(gè)括號時(shí)共有數(shù)個(gè)數(shù)，第150個(gè)數(shù)是所以第60個(gè)括號里的數(shù)之和為，故選：3幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案如圖是一個(gè)數(shù)表，第1行依次寫著從小到大的正整數(shù)，然后把每行相鄰的兩個(gè)數(shù)的和寫在這兩數(shù)正中間的下方，得到下一行，數(shù)表從上到下與從左到右均為無限項(xiàng)，求滿足如下條件的最小四位整數(shù)：第20

3、17行的第項(xiàng)為2的正整數(shù)冪已知，那么該款軟件的激活碼是A1040B1045C1060D1065【解析】解：由數(shù)表推得，每一行都是等差數(shù)列，第行的公差為，記第行的第個(gè)數(shù)為，則，算得，第2017行的第項(xiàng)為2的正整數(shù)冪，即，最小四位整數(shù)當(dāng)，滿足題意，故選：4幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件，為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動，這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一項(xiàng)是，接下來的兩項(xiàng)是，在接下來的三項(xiàng)式，依此類推，求滿足如下條件的最小整數(shù)且該數(shù)列的前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪那么該款軟

4、件的激活碼是A110B220C330D440【解析】由題意可知：，根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，求得每項(xiàng)和分別為：，每項(xiàng)含有的項(xiàng)數(shù)為：1，2，3，總共的項(xiàng)數(shù)為，所有項(xiàng)數(shù)的和為，由題意可知：為2的整數(shù)冪只需將消去即可，則，解得：，總共有，不滿足，解得：，總共有，不滿足，解得：，總共有，不滿足，解得：，總共有，滿足，該款軟件的激活碼440故選：5如圖所示的“數(shù)陣”的特點(diǎn)是：每行每列都成等差數(shù)列，則數(shù)字145在圖中出現(xiàn)的次數(shù)為A13B14C15D16【解析】解：第行第列的數(shù)記為，那么每一組與的組合就是表中的一個(gè)數(shù)，因?yàn)榈谝恍袛?shù)組成的數(shù)列是以2為首相，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以第列數(shù)組成的數(shù)列，2，是以

5、為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，所以，令，則，所以145出現(xiàn)的次數(shù)為故選：6設(shè)為最接近的整數(shù)，如（1），（2），（3），（4），（5），若正整數(shù)滿足，則ABCD【解析】解：第一組：，共2個(gè)，之和為2；第二組：，共4個(gè)，之和為2；第三組：，個(gè)，之和為2；第四組：，共8個(gè)，之和為2；第組：共個(gè)，之和為2；，故一共有2017組，則，故選：7如圖是從事網(wǎng)絡(luò)工作者經(jīng)常用來解釋網(wǎng)絡(luò)運(yùn)作的蛇形模型：數(shù)字1出現(xiàn)在第1行；數(shù)字2，3出現(xiàn)在第2行；數(shù)字6，5，4（從左至右）出現(xiàn)在第3行；數(shù)字7，8，9，10出現(xiàn)在第4行；依此類推若2013是第行從左至右算的第個(gè)數(shù)字，則為ABCD【解析】解：由每行的行號數(shù)和這一行的數(shù)字的

6、個(gè)數(shù)相同，奇數(shù)行的數(shù)字從左向右依次減小，偶數(shù)行的數(shù)字從左向右依次增大，可得第63行的數(shù)字從左向右依次減小，可求出第63行最左邊的一個(gè)數(shù)是，從左至右的第4個(gè)數(shù)應(yīng)是故2013在第63行，第4列，故選：二填空題（共8小題）8幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款面向中學(xué)生的應(yīng)用軟件為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)題的答案：記集合例如：，5，6，若將集合的各個(gè)元素之和設(shè)為該軟件的激活碼，則該激活碼應(yīng)為376；定義現(xiàn)指定，將集合，的元素從小到大排列組成數(shù)列，若將的各項(xiàng)之和設(shè)為該軟件的激活碼，則該激活碼應(yīng)為【解析】解：集合，當(dāng)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以

7、，17，18，共有16個(gè)元素，故激活碼為；結(jié)合二進(jìn)制表示，當(dāng)時(shí)，的各項(xiàng)可以看成首位為1的六位二進(jìn)制數(shù)，對于，符合條件的有8個(gè)數(shù)，同理，對于，時(shí)，符合條件的也分別有8個(gè)數(shù)，故激活碼為，故答案為376；7609如圖是網(wǎng)格工作者經(jīng)常用來解釋網(wǎng)絡(luò)運(yùn)作的蛇形模型：數(shù)字1出現(xiàn)在第1行：數(shù)字2，3出現(xiàn)在第2行，數(shù)字6，5，4（從左至右）出現(xiàn)在第3行；數(shù)字7，8，9，10出現(xiàn)在第4行，依此類推，則第20行從左到右第5個(gè)數(shù)字為195【解析】解：由題意可知：每行的行號數(shù)和這一行的數(shù)字的個(gè)數(shù)相同，奇數(shù)行的數(shù)字從左向右依次減小，偶數(shù)行的數(shù)字從左向右依次增大，故前行共有：個(gè)整數(shù)，故第行的第一個(gè)數(shù)為：，第20行的數(shù)字從左

8、向右依次增大，可求出第20行最左邊的一個(gè)數(shù)是191，第20行從左至右的第5個(gè)數(shù)字應(yīng)是195故答案為：19510“楊輝三角”是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的詳解九章算法一書中就有出現(xiàn)如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個(gè)數(shù)都是其“肩上”的兩個(gè)數(shù)之和，例如第4行的6為第3行中兩個(gè)3的和若在“楊輝三角”中從第二行右邊的1開始按“鋸齒形”排列的箭頭所指的數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列：1，2，3，3，6，4，10，5，則在該數(shù)列中，第35項(xiàng)是136【解析】解：奇數(shù)項(xiàng)是后一個(gè)數(shù)，每行2個(gè)數(shù)，則第35項(xiàng)在18行第3個(gè)數(shù)，從第3行開始斜行1，3，6，10，

9、即為，則18行第3個(gè)數(shù)為，故答案為：13611楊輝三角（如圖）是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列它是我國古代數(shù)學(xué)的杰出研究成果之一，將二項(xiàng)式系數(shù)圖形化，是一種離散型的數(shù)形結(jié)合楊輝三角蘊(yùn)含了許多有趣的規(guī)律，比如：除1以外，所有正整數(shù)在如圖中都出現(xiàn)有限次，如2出現(xiàn)1次，3和4都出現(xiàn)2次，試判斷數(shù)字120在圖形中共出現(xiàn)2次【解析】解：根據(jù)楊輝三角的排列規(guī)律： 1 11 2 1，1 21 35 35 21 11 22 56 70 56 22 11 23 78 126 126 78 23 11 24 101 204 252 204 101 24 1根據(jù)楊輝三角，120只出現(xiàn)的位置為兩邊的數(shù)，中間不可能

10、出現(xiàn)，由于對稱性的存在，所以120出現(xiàn)的次數(shù)為2故答案為：212“楊輝三角形”是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列在歐洲，這個(gè)表叫做帕斯卡三角形帕斯卡是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，比楊輝要遲393年“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)的杰出研究成果之一，它把二項(xiàng)式系數(shù)圖形化，把組合數(shù)內(nèi)在的一些代數(shù)性質(zhì)直觀地從圖形中體現(xiàn)出來下面數(shù)表類似“楊輝三角”，從上到下分別為第1行、第2行、第3行、第行、它滿足：第行首尾的數(shù)均為；第行除首尾的數(shù)外，每一個(gè)數(shù)都等于它肩上（即第行）兩個(gè)數(shù)之和記第行的第二個(gè)數(shù)為，則1771【解析】解：根據(jù)題意：（3）（2），（4）（3），（5）（4），以上個(gè)式子左右分別相加，得，所以，于是

11、故答案為：177113楊輝三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列在歐洲，這個(gè)表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的詳解九章算法一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，這是我國數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就如圖，在“楊輝三角”中，去除所有為1的項(xiàng)依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，則此數(shù)列前135項(xiàng)和為【解析】解：楊輝三角形中各行的數(shù)字和，第1行為，第2行為，第3行為，以此類推，即每一行數(shù)字和為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則楊輝三角形的前項(xiàng)和為，若去除所有的為1的項(xiàng)，則剩下的每一行的個(gè)數(shù)為1，2，3，4，可以看成構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等

12、差數(shù)列，則，可得當(dāng)，即楊輝三角形中的第17行，再加上第18行的前15項(xiàng)時(shí)，所有項(xiàng)的個(gè)數(shù)和為135，由于最右側(cè)為2，3，4，5，為個(gè)首項(xiàng)是2、公差為1的等差數(shù)列，則第18行的第17項(xiàng)為17，則楊輝三角形的前18項(xiàng)的和為，則此數(shù)列前135項(xiàng)的和為，故答案為：14分形是數(shù)學(xué)之美的體現(xiàn)，謝爾平斯基三角形就是其典型代表，其形式及構(gòu)造如圖所示，它與楊輝三角也有著密不可分的聯(lián)系，請根據(jù)圖示規(guī)律，用組合數(shù)表示楊輝三角第22行第9列203490（或；并判斷其奇偶性（選填“奇”或“偶” 【解析】解：觀察所給數(shù)據(jù)可得，第22行第9個(gè)數(shù)是的第9項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)，由二項(xiàng)式定理可知，的第9項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)為：這個(gè)數(shù)是偶數(shù)故答案為：203490（或；偶15我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的詳解九章算術(shù)一書中，用圖的數(shù)表列出了一些正整數(shù)在三角形中的一種幾何排列，俗稱“楊輝三角形”，該數(shù)表的規(guī)律是每行首尾數(shù)字均為1，從第三行開始，其余的數(shù)字是它“上方”左右兩個(gè)數(shù)字之和現(xiàn)將楊輝三角形中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到圖所示的由數(shù)字0和1組