新高考數(shù)學(xué)二輪專題《立體幾何》第2講 空間向量和空間直角坐標(biāo)系（解析版）

1、第2講 空間向量和空間直角坐標(biāo)系一選擇題（共8小題） 1如圖，在直三棱柱中，若，則ABCD【解答】解：直三棱柱中，所以故選：2空間四邊形中，若向量，5，點(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)，則的坐標(biāo)為A，3，B，C，D，2，【解答】解：點(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)，故選：3已知直線的方向向量為，0，點(diǎn)，2，在上，則點(diǎn)，到的距離為AB4CD【解答】解：根據(jù)題意，得；，3，0，；又，點(diǎn)，到直線的距離為，故選：4同時(shí)垂直于，2，5，的單位向量是ABCD或【解答】解：設(shè)同時(shí)垂直于，2，5，的單位向量為，則，即，解得或故，或，故選：5已知正四面體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)、分別是、中點(diǎn)，則ABCD【解答】解：點(diǎn)、分別是、中點(diǎn)故選：6如

2、圖所示，已知空間四邊形，且，則，的值為AB0CD【解答】解：空間四邊形中，故選：7三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且滿足，當(dāng)直線與平面所成的角取最大值時(shí)，的值為ABCD【解答】解：如圖，以，分別為，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，平面的一個(gè)法向量為，0，當(dāng)時(shí)，此時(shí)角最大為故選：8點(diǎn)為底邊長(zhǎng)為，高為2的正三棱柱表面上的動(dòng)點(diǎn)，是該棱柱內(nèi)切球的一條直徑，則取值范圍是A，B，C，D，【解答】解：由題意，問(wèn)題等價(jià)于已知是邊長(zhǎng)為的正內(nèi)切圓的一條直徑，為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，是邊長(zhǎng)為的正內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的半徑正內(nèi)切圓的方程為，將之轉(zhuǎn)化成到內(nèi)切球球心的距離求解，當(dāng)位于底面

3、中心時(shí)，位于頂角時(shí)根號(hào)5，所以的取值范圍的取值范圍是，的取值范圍的取值范圍是，故選：二填空題（共6小題）9由空間向量基本定理可知，空間任意向量可由三個(gè)不共面的向量唯一確定地表示為，則稱，為基底下的廣義坐標(biāo)特別地，當(dāng)為單位正交基底時(shí)，為直角坐標(biāo)設(shè)分別為直角坐標(biāo)中，正方向上的單位向量，則空間直角坐標(biāo)，2，在基底下的廣義坐標(biāo)為【解答】解：根據(jù)平面向量基本定理，空間直角坐標(biāo)，2，對(duì)應(yīng)的向量為，由于，則空間直角坐標(biāo)，2，在基底下的廣義坐標(biāo)為故答案為：10在四棱錐中，設(shè)向量，則頂點(diǎn)到底面的距離為2【解答】解：四棱錐中，向量，設(shè)底面的法向量，則，取，得，4，頂點(diǎn)到底面的距離為：頂點(diǎn)到底面的距離為2故答案為：

4、211在空間直角坐標(biāo)系中，若原點(diǎn)到平面的距離等于，則的值為【解答】解：平面的法向量，原點(diǎn)到平面的距離等于，解得故答案為：12空間直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)，且一個(gè)法向量為的平面的方程為，過(guò)點(diǎn)，且方向向量為的直線的方程為，閱讀上面材料，并解決下面問(wèn)題：已知平面的方程為，直線是兩個(gè)平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為【解答】解：聯(lián)立，解得，可得直線與平面的交點(diǎn)，2，平面的方程為，變?yōu)椋?，可得平面的法向量，直線是兩個(gè)平面與的交線，可得直線的方程為：，可得直線的方向向量，1，直線與平面所成角的正弦值故答案為：13已知點(diǎn)是棱長(zhǎng)為1的正方體的底面上一點(diǎn)（包括邊界），則的取值范圍是【解答】解：如圖所示，建立空

5、間直角坐標(biāo)系，0，0，1，設(shè)，當(dāng)，時(shí)，取得最小值當(dāng)點(diǎn)取，0，0，1，1，取得最大值1故答案為：14將邊長(zhǎng)為1的正方形沿對(duì)角線折成直二面角，若點(diǎn)滿足，則的值為【解答】解：由題意，翻折后，則由，解得故答案為：三解答題（共10小題）15已知，且、不共面，若，求，的值【解答】解：，且是非零向量，即又向量，不共面，解之得，16已知向量，1，點(diǎn)，（1）求：；（2）在直線上，是否存在一點(diǎn)，使得？為原點(diǎn)）【解答】解：（1），1，；（2）假設(shè)存在點(diǎn)，滿足條件，則，且得，又，解得，在直線上，存在一點(diǎn)，使得17三棱錐中、分別是、的中點(diǎn)，是的重心，用基向量、表示，【解答】解：由題意，；18如圖所示，已知空間四邊形的各

6、邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)（1）求證：，；（2）求的長(zhǎng)【解答】（1）證明：如圖所示，連接，與是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，在中，同理可得：（2）解：由，19如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱的長(zhǎng)為3，且和、的夾角都是，是的中點(diǎn)，設(shè)，試以，為基向量表示出向量，并求的長(zhǎng)【解答】解：是的中點(diǎn)，設(shè)，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱的長(zhǎng)為3，且和、的夾角都是，即的長(zhǎng)為20如圖：為矩形，平面，、分別是、中點(diǎn)，請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系證明：平面【解答】證明：根據(jù)題意，分別以、為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示；則，0，0，1，1，0，；，0，1，即，且，又平面，平

7、面，平面21如圖，平行四邊形中，；將沿折起到的位置，使平面平面（1）求證：；（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角正弦值【解答】（）證明：為平行四邊形，且，由余弦定理，得，將沿折起到的位置，使平面平面，平面平面，平面，（）解：由（）知平面，故以為原點(diǎn)，以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，平行四邊形中，則，0，0，點(diǎn)為的中點(diǎn)，0，2，0，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，則直線與平面所成角正弦值為22如圖四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，垂足為，在上，且，是的中點(diǎn)（1）求異面直線與所成的角的余弦值；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）若點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且，求的值【解答】解：（1）以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，2，0，故，1，1，2，與所成的余弦值為（2）平面的單位法向量，點(diǎn)到平面的距離為（3）設(shè)，則，又，即，2，故，23如圖（1），等腰中，以邊上的中線為折痕，將沿折起，構(gòu)成二面角，在平面內(nèi)作，且，連，如圖（2）所示（1）求證：平面；（2）如果二面角為直二面角，求二面角的余弦值【解答】解：（1）證明：在平面中，平面，平面，平面（2）解：，是二面角的平面角，二面角為直二面角，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，0，0，設(shè)平面的法向量，則，取，得，1，設(shè)