現(xiàn)代控制理論：第2章 狀態(tài)空間表達(dá)式的解

1、第2章 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解課程結(jié)構(gòu)與內(nèi)容第2章 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解2.1 線性定常齊次狀態(tài)方程的解2.2 矩陣指數(shù)函數(shù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣2.3 線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解2.4 線性時(shí)變系統(tǒng)的解2.5 離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2.6 連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化本 章 簡(jiǎn) 介本章討論線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析。主要介紹連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)和計(jì)算概 述建立了系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述之后,接著而來(lái)的是對(duì)系統(tǒng)作定量和定性的分析。定量分析主要包括研究系統(tǒng)對(duì)給定輸入信號(hào)的響應(yīng)問(wèn)題,也就是對(duì)描述系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程的求解問(wèn)題。定性分析主要包括研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性質(zhì),如能控性、能觀性、穩(wěn)定

2、性等。本章先討論用狀態(tài)空間模型描述的線性系統(tǒng)的定量分析問(wèn)題,即狀態(tài)空間模型-狀態(tài)方程和輸出方程的求解問(wèn)題。根據(jù)常微分方程理論求解一個(gè)一階定常線性微分方程組,通常是很容易的?？墒乔蠼庖粋€(gè)時(shí)變的一階線性微分方程組卻非易事。狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的引入,從而使得定常系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)的求解公式具有一個(gè)統(tǒng)一的形式。為此,本章將重點(diǎn)討論狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義、性質(zhì)和計(jì)算方法,并在此基礎(chǔ)上導(dǎo)出狀態(tài)方程的求解公式。本章需解決的問(wèn)題:線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解理論基本概念: 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的性質(zhì)和計(jì)算2.1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解求解狀態(tài)方程是進(jìn)行動(dòng)態(tài)系統(tǒng)分析與綜合的基礎(chǔ),是進(jìn)行定量分

3、析的主要方法。本節(jié)講授的狀態(tài)方程求解理論是建立在狀態(tài)空間上,以矩陣代數(shù)運(yùn)算來(lái)描述的定系數(shù)常微分方程解理論。下面基于矩陣代數(shù)運(yùn)算的狀態(tài)方程解理論中,引入了狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣這一基本概念。該概念對(duì)我們深刻理解系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性、狀態(tài)的變遷(動(dòng)態(tài)演變)等都是非常有幫助的,對(duì)該概念必須準(zhǔn)確掌握和深入理解。在討論一般線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解之前,先討論線性定常齊次狀態(tài)方程的解,以引入矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣等概念。所謂齊次狀態(tài)方程就是指狀態(tài)方程中不考慮輸入項(xiàng)(u(t)=0)的作用,滿足方程解的齊次性。研究齊次狀態(tài)方程的解就是研究系統(tǒng)本身在無(wú)外力作用下的自由(自治)運(yùn)動(dòng)。所謂非齊次狀態(tài)方程就是指狀態(tài)方程中輸入

4、項(xiàng)的作用,狀態(tài)方程解對(duì)輸入具有非齊次性。研究非齊次狀態(tài)方程的解就是研究系統(tǒng)在外力作用下的強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)。2.1.1 線性定常齊次狀態(tài)方程的解什么是微分方程的齊次方程?齊次方程就是指滿足解的齊次性的方程，即若x是方程的解，則對(duì)任意非零的實(shí)數(shù)a,ax亦是該方程的解。所謂齊次狀態(tài)方程，即為下列不考慮輸入的自治方程x=Ax齊次狀態(tài)方程滿足初始狀態(tài)的解,也就是由初始時(shí)刻t0的初始狀態(tài)x(t0)所引起的無(wú)輸入強(qiáng)迫項(xiàng)(無(wú)外力)時(shí)的自由運(yùn)動(dòng)。對(duì)上述齊次狀態(tài)方程,常用的常微分方程求解方法有級(jí)數(shù)展開法和拉氏變換法 2種。 1. 級(jí)數(shù)展開法在求解齊次狀態(tài)方程式之前,首先觀察標(biāo)量常微分方程在初始時(shí)刻t0=0的解。該方程中x

5、(t)為標(biāo)量變量,a為常數(shù)。由常微分方程理論知,該方程的解連續(xù)可微。因此,該解經(jīng)泰勒展開可表征為無(wú)窮級(jí)數(shù),即有式中,qk(k=1,2,.)為待定級(jí)數(shù)展開系數(shù)。 將所設(shè)解代入該微分方程,可得 如果所設(shè)解是方程的真實(shí)解,則對(duì)任意t,上式均成立。因此,使t有相同冪次項(xiàng)的各項(xiàng)系數(shù)相等,即可求得令x(t)的解表達(dá)式中t=0,可確定q0=x(0)因此, x(t)的解表達(dá)式可寫為上述求解標(biāo)量微分方程的級(jí)數(shù)展開法,可推廣至求解向量狀態(tài)方程的解。為此,設(shè)其解為t的向量?jī)缂?jí)數(shù),即 x(t)=q0+q1t+q2t2+qktk+式中,qk(k=1,2,.)為待定級(jí)數(shù)展開系數(shù)向量。將所設(shè)解代入該向量狀態(tài)方程x=Ax,可

6、得q1+2q2t+3q3t2 +kqktk-1+=A(q0+q1t+q2t2 +qktk+)如果所設(shè)解是方程的真實(shí)解,則對(duì)任意t,上式均成立。因此,使t有相同冪次項(xiàng)的各項(xiàng)系數(shù)相等,即可求得若初始時(shí)刻t0=0,初始狀態(tài)x(0)=x0,則可確定q0=x(0)=x0因此, 狀態(tài)x(t)的解可寫為該方程右邊括號(hào)里的展開式是nn維矩陣函數(shù)。由于它類似于標(biāo)量指數(shù)函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)展開式,所以稱為矩陣指數(shù)函數(shù),且記為利用矩陣指數(shù)函數(shù)符號(hào),齊次狀態(tài)方程的解可寫為：x(t)=eAtx02拉氏變換法若將對(duì)標(biāo)量函數(shù)拉氏變換的定義擴(kuò)展到向量函數(shù)和矩陣函數(shù),定義對(duì)向量函數(shù)和矩陣函數(shù)的拉氏變換為分別對(duì)該向量函數(shù)和矩陣函數(shù)的各

7、個(gè)元素求相應(yīng)的拉氏變換,那么可利用拉氏變換及拉氏反變換的方法求解齊次狀態(tài)方程的解。對(duì)該齊次狀態(tài)方程x=Ax,設(shè)初始時(shí)刻t0=0且初始狀態(tài)x(t)=x0,對(duì)方程兩邊取拉氏變換,可得sX(s)-x0=AX(s)于是可求得該齊次狀態(tài)方程的解x(t)的拉氏變換為X(s)=(sI-A)-1x0對(duì)上式取拉氏反變換,即得齊次狀態(tài)方程的解為x(t)=L-1(sI-A)-1x0下面討論如何求解拉氏反變換L-1(sI-A)-1。主要思想為將標(biāo)量函數(shù)的拉氏變換與反變換平行推廣至矩陣函數(shù)中。對(duì)標(biāo)量函數(shù),我們有將上述關(guān)系式推廣到矩陣函數(shù)則有其中eAt稱為時(shí)間t的矩陣指數(shù)函數(shù)，并有因此,基于上述(sI-A)-1的拉氏反變

8、換,該齊次方程的解為x(t)=L-1(sI-A)-1x0 = eAt x0上述拉氏反變換法求解結(jié)果與前面的級(jí)數(shù)展開法求解結(jié)果一致。若初始時(shí)刻t00,對(duì)上述齊次狀態(tài)方程的解作坐標(biāo)變換,則可得解的另一種表述形式:狀態(tài)方程的解表達(dá)式說(shuō)明了齊次狀態(tài)方程的解實(shí)質(zhì)上是初始狀態(tài)x(t0)從初始時(shí)刻t0到時(shí)刻t系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移,其轉(zhuǎn)移特性和時(shí)刻t的狀態(tài)完全由矩陣指數(shù)函數(shù) 和初始狀態(tài)x(t0)所決定。為討論方便,引入能描述系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移特性的線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣如下:(t)=eAt因此,有如下關(guān)系式x(t)=(t)x0=(t-t0)x(t0)由上述狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣定義和齊次狀態(tài)方程的解,系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣有

9、如下關(guān)系(t)=L-1(sI-A)-1齊次狀態(tài)方程的解描述了線性定常連續(xù)系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)。由解的表達(dá)式可以看出,系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的軌線是由從初始時(shí)刻的初始狀態(tài)到t時(shí)刻的狀態(tài)的轉(zhuǎn)移刻劃的,如圖3-1所示。圖3-1 狀態(tài)轉(zhuǎn)移特性當(dāng)初始狀態(tài)給定以后,系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移特性就完全由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣所決定。所以,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣包含了系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的全部信息?？梢?jiàn),狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算是齊次狀態(tài)方程求解的關(guān)鍵。解 (1) 首先求出矩陣指數(shù)函數(shù)eAt,其計(jì)算過(guò)程為例2-1 試求如下?tīng)顟B(tài)方程在初始狀態(tài)x0下的解(3) 狀態(tài)方程的解為(2) 計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)eAt 。課程結(jié)構(gòu)與內(nèi)容第2章 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解2.1 線性定常

10、齊次狀態(tài)方程的解2.2 矩陣指數(shù)函數(shù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣2.3 線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解2.4 線性時(shí)變系統(tǒng)的解2.5 離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2.6 連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化2.2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣下面進(jìn)一步討論前面引入的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,主要內(nèi)容為:基本定義狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算1. 基本定義定義 對(duì)于線性定常連續(xù)系統(tǒng)x=Ax,當(dāng)初始時(shí)刻t0=0時(shí),滿足如下矩陣微分方程和初始條件:(t)=A(t), (t)|t=0=I 的解(t)為線性定常連續(xù)系統(tǒng)x=Ax的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。這里定義的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣與前面定義的是一致的。引入上述狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣新定義,主要是為了使?fàn)顟B(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的概念易于推廣到時(shí)

11、變系統(tǒng)、離散系統(tǒng)等,使得有可能對(duì)各種類型系統(tǒng)的狀態(tài)方程的解作統(tǒng)一描述，更好地刻劃系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律。2、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)性質(zhì)一 或這是組合性質(zhì)，它意味著從-轉(zhuǎn)移到0，再?gòu)?轉(zhuǎn)移到t的組合，即: 性質(zhì)二 上述二性質(zhì)可由定義得到證明。本性質(zhì)意味著狀態(tài)矢量從時(shí)刻t又轉(zhuǎn)移到時(shí)刻t ，顯然，狀態(tài)矢量是不變的。性質(zhì)三 或這個(gè)性質(zhì)是，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的逆意味著時(shí)間的逆轉(zhuǎn)；利用這個(gè)性質(zhì)，可以在已知x(t)的情況下，求出小于時(shí)刻t的x(t0),( t0t) 這個(gè)性質(zhì)說(shuō)明， 或eAT矩陣和A矩陣是可以交換的?？捎?得到A性質(zhì)四對(duì)于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，有 或 令 便可證明 該性質(zhì)表明 可分解為 與 的乘積，且 與 可交換相乘。 性質(zhì)五性質(zhì)六 證明：(1) (2) (3) 比較（1）、（3）式，有成立。根據(jù)這一性質(zhì)，可把一個(gè)轉(zhuǎn)移過(guò)程分為若干個(gè)小的轉(zhuǎn)移過(guò)程來(lái)研究。如下圖:性質(zhì)七性質(zhì)八若矩陣A，B可交換，即ABBA，那么 ，否則不成立。根據(jù)定義， 比較上述兩展開式t的各次冪的系數(shù)可知，當(dāng)ABBA式， 1）3、幾個(gè)特殊的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣2)3）若矩陣A為一約當(dāng)矩陣，即4）若矩陣A通過(guò)非奇異矩陣P化為對(duì)角線矩陣，即：,則：5) 若，則：【例】