n項(xiàng)絕對值不等式的初等研究及公式推導(dǎo)

1、n 項(xiàng)絕對值不等式的初等研究及公式推導(dǎo)摘要：在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)研究過程中，不等式是其一大重要工具，而絕對值不等式又是其中較為復(fù)雜的一種。它的復(fù)雜原因不在于難度而在于過程較為繁瑣，尤其當(dāng)含絕對值的項(xiàng)數(shù)過多時(shí)，步驟將成倍增加。那么是否有簡單的公式可以代替這些繁雜的過程呢？從解兩絕對值相加的不等式開始，得到規(guī)律，并將其歸納推廣，得到解 n 項(xiàng)絕對值相加不等式的的計(jì)算公式：絕對值相加不等式計(jì)算公式正文：對于兩絕對值相加的不等式：1.當(dāng)絕對值內(nèi)代數(shù)式系數(shù)為 1 時(shí)：不等式可寫做： x-a+x-ba-b若ca-b 則無解)公式：(a+b-c)2xb在負(fù)無窮到 b 的范圍內(nèi)函數(shù)為減函數(shù)；在 b 到 a 的范圍內(nèi)函

2、數(shù)圖像為一條平行于x 軸的直線；在 a 到正無窮的范圍內(nèi)函數(shù)為增函數(shù)首先從特殊值分析，在中，函數(shù)值恒為 a-b，故當(dāng) ca-b 時(shí)，x無解在中，函數(shù)2式為 y=a+b-2xa+b-c 所以 x(a+b-c)同理：在中，函數(shù)x(a+b+c)2式為 y=2x-a-bc 可轉(zhuǎn)化為 2xa+b+c 所以綜上所述，x 的取值范圍為(a+b-c)2xc意實(shí)數(shù),若 c=a-b 則 xa 或 xa-b若c(a+b+c)2 或 xb在負(fù)無窮到 b 的范圍內(nèi)函數(shù)為減函數(shù)；在 b 到 a 的范圍內(nèi)函數(shù)圖像為一條平行于x 軸的直線；在 a 到正無窮的范圍內(nèi)函數(shù)為增函數(shù)首先從特殊值分析，在中，函數(shù)值恒為a-b，故當(dāng) c

3、a 或 xc 可轉(zhuǎn)化為 2xa+b-c 所以 x(a+b+c)2式為 y=2x-a-bc 可轉(zhuǎn)化為 2xa+b+c 所以綜上所述，x 的取值范圍為 x(a+b+c)2 或x(a+b-c)/22.由以上兩不等式的解法可推廣至絕對值內(nèi)代數(shù)式不定的情況不等式可寫做：mx-a+nx-bb公式： a/m x(a+b+c)/(m+n) 或(a+b-c)/(m+n)x b/n 或b/nxa/m 且(n-m)xcabx(a+b+c)/(m+n) 或(n-m)xb+c-ax(a+b-c)/(m+n) 或b/nxa/m且下面對于 n 項(xiàng)絕對值相加不等式的計(jì)算公式進(jìn)行猜想和證明：猜想：不妨設(shè)：Fn（x）=x-a1+

4、x-a2+x-a3+x-anx-a1+x-a2+x-a3+x-anbFn（a1+a2+an）n）b 時(shí)，（a1+a2+an-b）nx（a1+a2+an+b）nFn（a1+a2+an）n）b 時(shí)，無解該公式的猜想和理解同樣運(yùn)用了圖像法，由絕對值相加函數(shù)的軸對稱性（其對稱軸為 X=（a1+a2+an）n），不難看出其圖像為對稱折線形，對稱軸左邊單調(diào)遞減，右邊單調(diào)遞增，最低點(diǎn)為 Fn（a1+a2+an）n），其性質(zhì)與兩項(xiàng)絕對值相加函數(shù)相同。下面給出該公式的嚴(yán)格證明：證明：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法由n=1，2 時(shí)該公式成立假設(shè) n=k 時(shí)公式同樣成立，當(dāng)n=k+1 時(shí)，x-a1+x-a2+x-a3+x-ak+x-ak+1bx-a1+x-a2+x-a3+x-akb-x-ak+1不妨設(shè) ak+1aka1，（a1+a2+ak-b+x-ak+1）kx（a1+a2+an+b-x-ak+1）k將絕對值展開a1+a2+ak+1-b）（k+1）x（a1+a2+ak+1+b）（k+1）證畢值得一提的是，該不等式存在是否有解，而確定是否有解，再次利用絕對值相加函數(shù)的圖像，即對稱軸處 F（x）的值，進(jìn)行。該過程，由圖像可直出，在此不做贅述?？偨Y(jié)：經(jīng)過上述猜想及證明，得到以下結(jié)論不妨設(shè)：Fn（x）=x-a1+x-a2+x-a3+x-anx-a1+x-a