中考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習16《特殊三角形》知識講解+鞏固練習（基礎(chǔ)版）（含答案）

1、PAGE 中考總復(fù)習：特殊三角形知識講解（基礎(chǔ)）【考綱要求】【高清課堂：等腰三角形與直角三角形 考綱要求】1.了解等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的概念，會識別這三種圖形；理解等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)和判定；2.能用等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)和判定解決簡單問題；3.會運用等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的知識解決有關(guān)問題【知識網(wǎng)絡(luò)】【考點梳理】考點一、等腰三角形1.等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.2.性質(zhì)：(1)具有三角形的一切性質(zhì).(2)兩底角相等(等邊對等角)(3)頂角的平分線，底邊中線，底邊上的高互相重合(三線合一)(4)等邊三角形的各角

2、都相等，且都等于60. 3.判定：(1)如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊)；(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形；(3)有一個角為60的等腰三角形是等邊三角形.要點詮釋：(1)腰、底、頂角、底角是等腰三角形特有的概念；(2)等邊三角形是特殊的等腰三角形. 考點二、直角三角形1.直角三角形：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形.2性質(zhì)：(1)直角三角形中兩銳角互余.(2)直角三角形中，30銳角所對的直角邊等于斜邊的一半.(3)在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30.(4)勾股定理：直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜

3、邊的平方.(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.(6)直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.3判定：(1)有兩內(nèi)角互余的三角形是直角三角形.(2)一條邊上的中線等于該邊的一半，則這條邊所對的角是直角，這個三角形是直角三角形.(3)如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個三角形是直角三角形，第三邊為斜邊.【典型例題】類型一、等腰三角形1如圖，等腰三角形一腰上的高與底邊所成的角等于( )A.頂角的2倍 B.頂角的一半 C.頂角 D.底角的一半【思路點撥】等角的余角相等.【答案】B.【解析】如圖，ABC中，AB=AC，BDAC于

4、D，所以ABC=C，BDC=90，所以DBC=90-C=90-(180-A)= A，【總結(jié)升華】本題適用于任何一種等腰三角形,可以試著證明在鈍角三角形中結(jié)論一樣成立；總結(jié)規(guī)律，等腰三角形一腰上的高與底邊所成的角等于頂角的一半.舉一反三： 【變式】如圖，在ABC中，ABAC，A36，BD、CE分別是ABC、BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有（ ）A5個 B4個 C3個 D2個【答案】A2（2015秋南通校級月考）如圖，在ABC中，AB=AC，D、E是ABC內(nèi)兩點，AD平分BAC，EBC=E=60，若BE=30cm，DE=2cm，則BC= cm【思路點撥】作出輔助線后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出B

5、E=30，DE=2，進而得出BEM為等邊三角形，EFD為等邊三角形，從而得出BN的長，進而求出答案【答案】32;【解析】解：延長ED交BC于M，延長AD交BC于N，作DFBC，AB=AC，AD平分BAC，ANBC，BN=CN，EBC=E=60，BEM為等邊三角形，EFD為等邊三角形，BE=30，DE=2，DM=28，BEM為等邊三角形，EMB=60，ANBC，DNM=90，NDM=30，NM=14，BN=16，BC=2BN=32，故答案為32【總結(jié)升華】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，能求出MN的長是解決問題的關(guān)鍵類型二、直角三角形3將一張矩形紙片如圖所示折疊，使頂點落在點.

6、已知，則折痕的長為( ) A. B. C. D. 【思路點撥】直角三角形是常見的幾何圖形，在習題中比較多的利用數(shù)形結(jié)合解決相應(yīng)的問題.常用的是兩銳角互余，三邊滿足勾股定理和直角三角形中，30角所對的邊等于斜邊的一半.【答案】C.【解析】由折疊可知，CED=CED =30，因為在矩形ABCD中，C等于90，CD=AB=2，所以在RtDCE中，DE=2CD=4.故選C.【總結(jié)升華】折疊題型一定要注意對應(yīng)的邊相等，對應(yīng)的角相等.【變式】 如圖，一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=4cm，BC=8cm，將ABC折疊，點B與點A重合，折痕為DE，則DE的長為( )A. B. C. D.5【答案】B. 解析

7、：由折疊可知，AD=BD，DEAB， BE=AB 設(shè)BD為x，則CD=8-x C=90，AC=4，BC=8，AC2+BC2=AB2 AB2=42+82=80，AB=，BE=在RtACD中，AC2+CD2=AD2 ，42+(8-x)2=x2，解得x=5在RtBDE中，BE2+DE2=BD2，即()2+DE2=52，DE=， 故選B.4已知：在直角ABC中，C=90，BD平分ABC且交AC于D.(1)若BAC=30，求證: AD=BD；(2)若AP平分BAC且交BD于P，求BPA的度數(shù). 圖1 圖2【思路點撥】(1)利用直角三角形兩銳角互余，求得ABD=A=30，得出AD=BD. (2)利用三角形

8、內(nèi)角和及角平分線定義或利用三角形外角性質(zhì).【答案與解析】(1)證明：BAC=30，C=90，ABC=60 又 BD平分ABC， ABD=30， BAC =ABD，BD=AD； (2)解法一： C=90，BAC+ABC=90=45 BD平分ABC，AP平分BAC BAP=，ABP=即BAP+ABP=45 APB=180-45=135解法二： C=90，BAC+ABC=90 =45 BD平分ABC，AP平分BACDBC=，PAC=DBC+PAD=45APB=PDA+PAD =DBC+C+PAD=DBC+PAD+C=45+90=135. 【總結(jié)升華】本題利用了：1、直角三角形的性質(zhì)，兩銳角互余，2、

9、角的平分線的性質(zhì)，3、三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系類型三、綜合運用5 . 已知ABC的兩邊AB、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5. （1）k為何值時，ABC是以BC為斜邊的直角三角形？ （2）k為何值時，ABC是等腰三角形？并求出ABC的周長?！舅悸伏c撥】ABC的兩邊的長是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，應(yīng)該想到一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系.【答案與解析】(1)AB、ACAB、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的兩個實數(shù)根, AB+AC=2k+3,ABAC= k2+3k+2 又ABC是以BC

10、為斜邊的直角三角形，BC=5 即 當k=-5時，方程為 解得（不合題意，舍去） 當k=2時，方程為 解得 當k=2時，ABC是以BC為斜邊的直角三角形.(2)當ABC是等腰三角形時，則有AB=AC,AB=BC,AB=BC三種情況：=10ABAC,故第一種情況不成立；當AB=BC或AC=BC時，5是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的根當k=3時，等腰三角形的邊長分別是5,5,4.周長為14；當k=4時，所以等腰三角形的邊長是5,5,6，周長是16.【總結(jié)升華】當三角形是等腰三角形并且未明確哪兩邊為腰時,要注意分類討論.【變式】已知等腰三角形三邊的長為a、b、c且a=c，若關(guān)于x的一元

11、二次方程ax2-bx+c=0的兩根之差為，則等腰三角形的一個底角是（ ）. A. 150 B. 300 C. 450 D. 600【答案】B.6（2015春威海期末）如圖，ABC中，BAC=90，AB=AC，ADBC，垂足是D，AE平分BAD，交BC于點E，EHAB，垂足是H在AB上取一點M，使BM=2DE，連接ME求證：MEBC【思路點撥】根據(jù)EHAB于H，得到BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，從而得到HEM是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可【答案與解析】解：BAC=90，AB=AC，B=C

12、=45，EHAB于H，BEH是等腰直角三角形，HE=BH，BEH=45，AE平分BAD，ADBC，DE=HE，DE=BH=HE，BM=2DE，HE=HM，HEM是等腰直角三角形，MEH=45，BEM=45+45=90，MEBC【總結(jié)升華】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并證明出等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵【高清課堂：等腰三角形與直角三角形 例6】【變式】如圖，在ABC中，AC=BC，ACB=90，AE平分BAC交BC于E，BDAE于D，DMAC交AC的延長線于M，連接CD，給出四個結(jié)論：ADC=45；BD=AE；AC+CE=AB； AB-BC=

13、2MC；其中正確的結(jié)論有( ) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】D.中考總復(fù)習：全等三角形鞏固練習（基礎(chǔ)）【鞏固練習】一、選擇題1已知等腰三角形的一個內(nèi)角為，則這個等腰三角形的頂角為（ ）AB C或 D或2如圖，在ABC中，ABAC，A36，BD、CE分別是ABC、BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有 （ ）A5個 B4個 C3個 D2個3如果線段a、b、c能組成直角三角形，則它們的比可以是( )A. 1：2：4 B. 1：3：5 C. 3：4：7 D. 5：12：134下列條件能確定ABC是直角三角形的條件有( )(1)A+B=C；(2)A:B:C=1:2:3；(3)A=90

14、-B；(4)A=B=C.A.1個 B.2個 C.3個 D.4個5. 已知：ABC中，AB=AC=，BC=6，則腰長的取值范圍是（ ）A. B. C. D.6.（2015泰安）如圖，AD是ABC的角平分線，DEAC，垂足為E，BFAC交ED的延長線于點F，若BC恰好平分ABF，AE=2BF給出下列四個結(jié)論：DE=DF；DB=DC；ADBC；AC=3BF，其中正確的結(jié)論共有（）A4個B3個C2個D1個二、填空題7如圖，一個直角三角形紙片，剪去直角后，得到一個四邊形，則_度8如圖，和都是邊長為2的等邊三角形，點在同一條直線上，連接，則的長為_. 9如圖，在等腰RtABC中，C=90，AC=BC，AD

15、平分BAC交BC于D，DEAB于D，若AB=10，則BDE的周長等于_.10等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于45，則這個三角形的頂角等于_.11. （2015春鄄城縣期中）如圖，AB=AC=AD=4cm，DB=DC，若ABC為60度，則BE為 ，ABD= 12. 已知等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分為15和6兩部分，則腰長與底邊的長分別為 三、解答題13. 如圖14-59，點O為等邊ABC內(nèi)一點，AOB=1100，BOC=1350，試問： （1）以O(shè)A、OB、OC為邊，能否構(gòu)成三角形？若能，請求出該三角形各內(nèi)角的度數(shù)；若不能，請說明理由； （2）如果AOB大小保持不變，那么當BO

16、C等于多少度時，以O(shè)A、OB、OC為邊的三角形是一個直角三角形？ 14.（2015秋淮安期中）如圖，在ABC中，BA=BC，D在邊CB上，且DB=DA=AC（1）如圖1，填空B= ，C= ；（2）若M為線段BC上的點，過M作直線MHAD于H，分別交直線AB、AC與點N、E，如圖2求證：ANE是等腰三角形；試寫出線段BN、CE、CD之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明15已知：如圖， AF平分BAC，BCAF， 垂足為E，點D與點A關(guān)于點E對稱，PB分別與線段CF， AF相交于P，M1）求證：ABCD；2）若BAC2MPC，請你判斷F與MCD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由 16.（1）如圖14-63，下列每個圖形

17、都是由若干個邊長為1的等邊三角形組成的等邊三角形，它們的邊長分別為1,2,3,，設(shè)邊長為n的等邊三角形由s個小等邊三角形組成，按此規(guī)律推斷s與n有怎樣的關(guān)系； （2）現(xiàn)有一個等角六邊形ABCDEF（六個內(nèi)角都相等的六邊形，如圖14-64），它的四條邊長分別是2、5、3、1，求這個等角六邊形的周長；（3）（2）中的等角六邊形能否用（1）中最小的等邊三角形無空隙拼合而成？如果能，請求出需要這種小等邊三角形的個數(shù).【答案與解析】一、選擇題1.【答案】C.【解析】提示：分類討論.2.【答案】A 3.【答案】D【解析】常見的一些勾股數(shù)如：3、4、5；5、12、13；7、24、25及倍數(shù)等，應(yīng)熟練掌握.D

18、中設(shè)三邊的比中每一份為k，則(5k)2+(12k)2=(13k) 2 ，所以該三角形是直角三角形.其它答案都不滿足，故選D.4.【答案】D.【解析】三角形中有一個角是90，就是直角三角形.題中四個關(guān)系式都可以解得ABC中C =90.故選D.5.【答案】B.6.【答案】A.【解析】BFAC，C=CBF，BC平分ABF，ABC=CBF，C=ABC，AB=AC，AD是ABC的角平分線，BD=CD，ADBC，故正確，在CDE與DBF中，CDEDBF，DE=DF，CE=BF，故正確；AE=2BF，AC=3BF，故正確故選A二、填空題7【答案】270.【解析】提示：根據(jù)鄰補角的性質(zhì)可得.8【答案】.【解析

19、】作DFBE,BC=CD，1=30，又為2的等邊三角形DF=，即BD=9【答案】10.10【答案】90.11【答案】2cm; 75【解析】AB=AC，ABC為60度，ABC為等邊三角形在ABD和ACD中，ABDACD，BAD=CAD，AE是BC邊的中垂線，BE=BC=2cm；故答案是：2cm；AB=AD（已知），ABD=ADB（等邊對等角），ABD=（180BAD）=（18030）=75故答案是：7512【答案】腰為10，底邊長為1.【解析】提示：注意此類題型要分類討論，最終結(jié)果要進行驗證.三、解答題13.【答案與解析】(1)將ABO繞A點旋轉(zhuǎn)60度，使B與C重合，O點轉(zhuǎn)動后的點為O，因為AO

20、=AO，AOO=60，所以AOO是等邊三角形。所以O(shè)O=OA轉(zhuǎn)動后OC=OB，所以O(shè)OC其實就是以O(shè)A、OB、OC為邊組成的三角形，COO=360-AOB-BOC-OOA=360-110-135-60=55，C OO=AOC-O OA=AOB-O OA=110-60=50，OCO=180-COO-C OO=180-55-50=75（2）從上面的角度計算我們可以看出來，當BOC可變時，C OO依舊為定值50.若三角形為直角三角形，則COO=90或OCO=90.若使COO=90，則360-AOB-BOC-OOA=90，可解出BOC=100若使OCO=90，則COO=40，可解出BOC=150.14.【答案與解析】解：（1）BA=BC，BCA=BAC，DA=DB，BAD=B，AD=AC，ADC=C=BAC=2B，DAC=B，DAC+AD