2021-2022學(xué)年福建省廈門市高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

1、2021-2022學(xué)年福建省廈門市高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）ABCDB【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可得答案.【詳解】,故的共軛復(fù)數(shù)為 ，故選：B2已知向量，則在上的投影向量為（）ABCDD【分析】由投影向量的定義代入公式求解即可.【詳解】由投影向量的定義知，在上的投影向量為.故選：D3某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的折線圖.根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期

2、大致在7，8月D各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)A【分析】觀察折線圖，結(jié)合選項(xiàng)逐一判斷即可【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由圖易知月接待游客量每年7，8月份明顯高于12月份，故A錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)B，觀察折線圖的變化趨勢(shì)可知年接待游客量逐年增加，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，觀察折線圖，各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，觀察折線圖，各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)，故D正確.故選：A4平面向量滿足，且，則（）AB13CD21A【分析】由得到，由向量數(shù)量積運(yùn)算法則求出，從而求出.【詳解】由得：，所以，其中，故.故選

3、：A5我國東漢末數(shù)學(xué)家趙夾在周髀算經(jīng)中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示在“趙爽弦圖”中，若，則=（）ABCDB【分析】根據(jù)給定圖形，利用平面向量的加法法則列式求解作答.【詳解】因“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，且，則，解得，所以.故選：B6在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，則（）AB或CD或C【分析】利用正弦定理、余弦定理化簡已知條件，求得的值，進(jìn)而求得.【詳解】依題意，由正弦定理得，即.由于，所以.故選：C7在中，角的對(duì)邊分別為，面積為，若，且，則（）ABCDC【分

4、析】根據(jù)正弦定理以及三角形的面積公式進(jìn)行求解即可【詳解】解：，由正弦定理得，即，由，得，即，即，則，故選：8在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為線段AB，BC的中點(diǎn)，連接DE，DF，EF，將 ADE，CDF，BEF分別沿DE，DF，EF折起，使三點(diǎn)重合，得到三棱錐O-DEF，則該三棱錐外接球的表面積為（）A3BC6D24C【分析】由三棱錐外接球即以O(shè)D，OE，OF為棱的長方體外接球求解.【詳解】解：在正方形ABCD中，折起后OD，OE，OF兩兩垂直，故該三棱錐外接球即以O(shè)D，OE，OF為棱的長方體外接球.因?yàn)镺D=2，OE=1，OF=1，所以=，所以，所以該三棱錐外接球的表面積為，故選：

5、C.二、多選題9用一個(gè)平面去截正方體，截面的形狀不可能是（）A直角三角形B等腰梯形C正五邊形D正六邊形AC【分析】根據(jù)正方體的幾何特征，我們可分別畫出用一個(gè)平面去截正方體得到的幾何體的圖形，然后逐一與四個(gè)答案中的圖形進(jìn)行比照，即可判斷選項(xiàng)【詳解】截面為六邊形時(shí)，可能出現(xiàn)正六邊形，當(dāng)截面為五邊形時(shí)，假若截面是正五邊形，則截面中的截線必然分別在5個(gè)面內(nèi)，由于正方體有6個(gè)面，分成兩兩平行的三對(duì)，故必然有一對(duì)平行面中有兩條截線，而根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可知這兩條截線互相平行，但正五邊形的邊中是不可能有平行的邊的，故截面的形狀不可能是正五邊形；截面為四邊形時(shí)，可能出現(xiàn)矩形，平行四邊形，等腰梯形，但不可

6、能出現(xiàn)直角梯形；當(dāng)截面為三角形時(shí)，可能出現(xiàn)正三角形，但不可能出現(xiàn)直角三角形；故選：AC10下列命題是真命題的有（）A有甲、乙、丙三種個(gè)體按的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的甲個(gè)體數(shù)為9，則樣本容量為30B數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)相同C若甲組數(shù)據(jù)的方差為5，乙組數(shù)據(jù)為5，6，9，10，5，則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是乙D一組數(shù)6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位數(shù)為5BCD根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)判斷A；計(jì)算出平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)判斷B；計(jì)算乙的方差判斷C；由百分位數(shù)的性質(zhì)判斷D.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，乙、丙抽取的個(gè)體數(shù)分別為，則樣本容量為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，平均數(shù)為，中位

7、數(shù)為，眾數(shù)為，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，乙的平均數(shù)為，方差為，則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是乙，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，將該組數(shù)據(jù)總小到大排列，由，則該組數(shù)據(jù)的85%分位數(shù)為5，故D正確；故選：BCD11設(shè)的內(nèi)角、所對(duì)邊的長分別為、，下列命題正確的是（）A若，則B若，則C若，則D若，則AC【分析】利用余弦定理及基本不等式一一判斷即可；【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，可以得出，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，假設(shè)，則，則，所以與矛盾，故C正確，對(duì)于D選項(xiàng)，取，滿足，此時(shí)，故D錯(cuò)誤；故選：AC.12如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)是側(cè)棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）A直三

8、棱柱側(cè)面積是B直三棱柱外接球的體積為C存在點(diǎn)，使得為鈍角D的最小值為ABD【分析】求出棱柱側(cè)面積判斷A；求出棱柱外接球體積判斷B；判斷以為直徑的圓的位置關(guān)系判斷C；利用對(duì)稱方法求出的最小值判斷D作答.【詳解】在直三棱柱中，的周長為，此三棱柱側(cè)面積是，A正確；依題意，線段AC是直三棱柱外接球被平面ABC所截得的小圓直徑，則球心到平行平面ABC與的距離相等，即球心到截面小圓ABC的距離為，因此，球半徑，球的體積為，B正確；如圖，在矩形內(nèi)，以為直徑作半圓，其半徑，圓心到直線的距離為1，即直線與以為直徑的半圓相切，則上的點(diǎn)除切點(diǎn)外均在此半圓弧外，即不存在點(diǎn)，使得為鈍角，C不正確；在矩形所在平面內(nèi)，延長

9、至F，使，連AF交于，對(duì)上任意點(diǎn)E，連接，如圖，因，則，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)取“=”，所以，D正確.故選：ABD關(guān)鍵點(diǎn)睛：幾何體的外接球的表面積、體積計(jì)算問題，借助球的截面小圓性質(zhì)確定出球心位置是解題的關(guān)鍵.三、填空題13已知i是虛數(shù)單位，當(dāng)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)_.根據(jù)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)列出式子計(jì)算即可.【詳解】復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，即，解得.故答案為.本題考查復(fù)數(shù)的分類及其計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.14抽樣調(diào)查某地區(qū)名教師的年齡和學(xué)歷狀況，情況如下餅圖：則估計(jì)該地區(qū)歲以下具有研究生學(xué)歷的教師人數(shù)為_.【分析】根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，分別求得本科學(xué)歷和研究生學(xué)歷的教師人數(shù)，再根據(jù)35歲以下的本科人數(shù)所占比例求解即可得答案.【詳解】

10、解：由圖可知本科學(xué)歷的教師共有人，故研究生學(xué)歷的有人.35歲以下的本科人數(shù)有人，35歲以下教師的比例為，所以35歲以下的本科和研究生學(xué)歷人數(shù)和為人，所以35歲以下的研究生學(xué)歷人數(shù)有人.故15如圖是用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖，則的面積是_.根據(jù)斜二測(cè)法，所得直觀圖中三角形的高為4，即有的高為8，而底邊為4不變，根據(jù)三角形面積公式即可求的面積.【詳解】由斜二測(cè)法畫圖原則：橫等縱半，的高為8，即，故答案為.本題考查了根據(jù)斜二測(cè)法所得直觀圖求原圖面積，屬于基礎(chǔ)題.16已知向量，若，則的最小值_.【分析】首先根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示得到，再根據(jù)“1”的變形，利用基本不等式求最值.【詳解】， ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)

11、，等號(hào)成立.故關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用“1”的妙用，變形，展開后，即可利用基本不等式求最值.四、解答題17如圖為正四棱錐P - ABCD，PO平面ABCD，BC = 3，PO = 2.(1)求正四棱錐P - ABCD的體積；(2)求正四棱錐P - ABCD的表面積.(1)6；(2)24.【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合錐體體積公式，即可求解；（2）根據(jù)題意，結(jié)合棱錐表面積求法，即可求解.【詳解】(1)根據(jù)題意，得.(2)如圖所示，作的中點(diǎn)，連接，則，故正四棱錐P - ABCD的表面積.18在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，已知，.(1)求的值；(2)求的面積.(1)(2)【分析】（1）直接利用余弦定理

12、即可求解；（2）先用同角三角函數(shù)關(guān)系式求出，再用三角形面積公式求解即可.【詳解】(1)由余弦定理可得，即，解得，(2)，且，,由得，,.故的面積為.19為了解學(xué)生的周末學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），高一年級(jí)某班班主任對(duì)本班名學(xué)生某周末的學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行了調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)整理繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)直方圖所提供的信息：（）求該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時(shí)間不少于小時(shí)的人數(shù)；（）估計(jì)這名同學(xué)周末學(xué)習(xí)時(shí)間的分位數(shù)；（）如果用該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時(shí)間作為樣本去推斷該校高一年級(jí)全體學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時(shí)間，這樣推斷是否合理？說明理由（）9；（）8.75；（）不合理，樣本的選取只選在高一某班，不具有代表性.（）首先求學(xué)習(xí)

13、時(shí)間不少于20小時(shí)的頻率，再根據(jù)樣本容量乘以頻率=人數(shù)，計(jì)算結(jié)果；（）首先估算學(xué)習(xí)時(shí)間在分位數(shù)所在的區(qū)間，再根據(jù)公式計(jì)算結(jié)果；（）根據(jù)樣本的代表性作出判斷.【詳解】（）由圖可知，該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時(shí)間不少于20小時(shí)的頻率為則名學(xué)生中周末的學(xué)習(xí)時(shí)間不少于20小時(shí)的人數(shù)為（）學(xué)習(xí)時(shí)間在小時(shí)以下的頻率為，學(xué)習(xí)時(shí)間在小時(shí)以下的頻率為，所以分位數(shù)在，則這名同學(xué)周末學(xué)習(xí)時(shí)間的分位數(shù)為（）不合理，樣本的選取只選在高一某班，不具有代表性20如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)(1)求證：平面；(2)求證：平面平面(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）連接交于點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)可得出，利用線面平行的判

14、定定理可證得結(jié)論成立；（2）證明出平面，利用面面平行的判定定理可證得結(jié)論成立.【詳解】(1)證明：連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，平面，平面，因此，平面.(2)證明：因?yàn)榍遥瑸榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，所以，四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以，平面，因?yàn)椋虼?，平面平?21已知，(1)求；(2)設(shè)，的夾角為，求的值；(3)若向量與互相垂直，求的值(1)；(2)；(3)【分析】（1）利用線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可求解；（2）利用向量夾角的坐標(biāo)表示即可求解；（3）求出向量與的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】(1)因?yàn)?，所?(2)因?yàn)椋?(3)由，可得，因?yàn)橄蛄颗c互相垂直，所以，即，解得.22如圖