2022年《函數(shù)的變化率》教案 2

1、課題： 3.1 函數(shù)的變化率教學(xué)目標(biāo)：1、 學(xué)問目標(biāo)：通過生活實(shí)例使同學(xué)懂得函數(shù)增量、函數(shù)的平均變化率的概念；把握求簡潔函數(shù)平均變化率的方法,會(huì)求函數(shù)的平均變化率；懂得函數(shù)的平均變化率的含義,引出函數(shù)的瞬時(shí)變化率概念,簡潔應(yīng)用 為下一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)；2、 才能目標(biāo)：使同學(xué)在討論過程中熟識數(shù)學(xué)討論的途徑：背景數(shù)學(xué)表示應(yīng)用,培育同學(xué)獨(dú)立摸索,解決問題的才能和在生活中建立數(shù)學(xué)模型,用數(shù)學(xué)理 論說明生活問題、應(yīng)用數(shù)學(xué)的才能；3、 情感目標(biāo)：使同學(xué)通過學(xué)習(xí),明白簡潔的情形蘊(yùn)涵建立模型解決問題的一般思想方法,勉勵(lì)同學(xué)主動(dòng)探究、不懼困難, 勇于挑戰(zhàn)自我的思想品質(zhì)；并養(yǎng)成同學(xué)探究總結(jié)型的學(xué)習(xí)習(xí)慣；教

2、學(xué)重點(diǎn)： 函數(shù)自變量的增量、函數(shù)值的增量的懂得 函數(shù)平均變化率和瞬時(shí)變化率的懂得和簡潔應(yīng)用；教學(xué)難點(diǎn)： 函數(shù)平均變化率轉(zhuǎn)化為瞬時(shí)變化率的懂得；教學(xué)方法： 例舉分析歸納總結(jié)實(shí)際應(yīng)用 教學(xué)過程：一、引入：1、 情境設(shè)置：（圖片）雄偉的珠穆朗瑪峰、攀登珠峰的隊(duì)員兩幅陡峭程度不同的圖片 2、 問題：當(dāng)陡峭程度不同時(shí),登山隊(duì)員的感受是不一樣的,如何用數(shù)學(xué)來反映山勢的 陡峭程度,給我們的登山運(yùn)動(dòng)員一些有益的技術(shù)參考呢？3、 引入：讓我們用函數(shù)變化的觀點(diǎn)來研討這個(gè)問題；二、例舉分析：（一）登山問題例：如圖,是一座山的剖面示意圖:A 是登山者的動(dòng)身點(diǎn),H 是山頂 ,登山路線用y=fx表示y H D F D1

3、C 才O B X2 X3 Xk Xk+1 x A X0 X1 問題： 當(dāng)自變量 x 表示登山者的水平位置,函數(shù)值y 表示登山者所在高度時(shí),陡峭程度應(yīng)怎x 樣表示？y Bx 1 y1分析： 1、選取平直山路AB 放大討論如A x0,y0,Bx 1,y11y自變量 x 的轉(zhuǎn)變量：xx 1x0函數(shù)值 y 的轉(zhuǎn)變量：yy 1y0y0Ax 0y0 x 1直線 AB 的斜率：O x0ky 1y0yx 1x0 x 為定值）時(shí),x說明：當(dāng)?shù)巧秸咭苿?dòng)的水平距離變化量肯定（垂直距離變化量（y ）越大,就這段山路越陡峭；2、選取彎曲山路 CD 放大討論方法：可將其分成如干小段進(jìn)行分析：如 CD1 的陡峭程度可用直線

4、 CD1 的斜率表示； （圖略）結(jié)論：函數(shù)值變化量（y ）與自變量變化量 x 的比值 y 反映了山坡的陡峭程度；x各段的 y 不同反映了山坡的陡峭程度不同,也就是登山高度在這段山路上的平均變x化量不同；當(dāng) y 越大,說明山坡高度的平均變化量越大,所以山坡就越陡；當(dāng) yx x越小,說明山坡高度的平均變化量小,所以山坡就越緩；所以,y f x k 1 f x k 高度的平均變化成為度量山的陡峭程度的量,叫x x k 1 x k做函數(shù) fx的平均變化率；三、函數(shù)的平均變化率與應(yīng)用；xx0及其鄰近有定義,（一）定義 ：已知函數(shù)yfx在點(diǎn)令xxx0；fx0 xfx0；yyy0fxfx0就當(dāng)x0時(shí),比值f

5、x0 xfx 0yxx叫做函數(shù)yfx在x 到x0 x之間的 平均變化率 ；（二）函數(shù)平均變化率的應(yīng)用例1 （1）求yx2在0 x 到x 0 x之間的平均變化率；解：當(dāng)自變量從x 變到x 0 x時(shí),函數(shù)的平均變化率為fx0 x fx0 x0 x2x22x0 x0 xx當(dāng)x取定值,x 取不同數(shù)值時(shí),該函數(shù)的平均變化率也不一樣；可以由圖看出變化；（2）求y1在x 到x0 x之間的平均變化率；x解：當(dāng)自變量從fx 變到x01x時(shí),函數(shù)的平均變化率為fx0 x x0 x0 x1x 01xxx 0 x x0例 2.某市 20XX年 4 月 20 日最高氣溫為33.4 ,而此前的兩天, 4 月 19 日和

6、4 月 18 日最高氣溫分別為24.4 和 18.6 ,短短兩天時(shí)間,氣溫“ 陡增”14.8 ,悶熱中的人們無不感嘆：“ 天氣熱得太快了！ ” 但是,假如我們將該市20XX 年 3 月 18 日最高氣溫3.5 與 4 月 18 日最高氣溫18.6 進(jìn)行比較,我們發(fā)覺兩者溫差為 15.1 ,甚至超過了 14.8 而人們卻不會(huì)發(fā)出上述感嘆；這是什么緣由呢？原先前者變化得“ 太快” ,而后者變化得“ 緩慢”；C34, 33.4 T 30 20 B32, 18.6 10 2 A1, 3.5 20T 表示氣溫,記函數(shù)30 gt34 t天 0 2 10 問題：當(dāng)自變量t 表示由 3 月 18 日開頭運(yùn)算的

7、天數(shù),T表示溫度隨時(shí)間變化的函數(shù),那么氣溫變化的快慢情形應(yīng)當(dāng)怎樣表示？分析： 如圖：1、挑選該市 20XX年 3 月 18 日最高氣溫 3.5 與 4 月 18 日最高氣溫 18.6 進(jìn)行比較,t 30 , T 18 . 6 3 . 5 15 . 1 0 C,由此可知 T0 . 5033；t 2、挑選該市 20XX年 4 月 18 日最高氣溫 18.6 0C與 4 月 20 日 33.4 0C進(jìn)行比較,0 Tt 2 , T 33 4. 18 . 6 14 8. C,由此可知 .7 4t結(jié)論：函數(shù)值的平均變化率 T 反映了溫度變化的猛烈程度；t各段的 T 不同反映了溫度變化的猛烈程度不同,也就是

8、氣溫在這段時(shí)間內(nèi)的平均變t化量不同； 當(dāng) T 越大,說明氣溫的平均變化量越大,所以升溫就越快； 當(dāng) T 越小,t t說明氣溫的平均變化量小,所以升溫就越緩；（三）課堂練習(xí)：甲乙二人跑步路程與時(shí)間關(guān)系以及百米賽跑路程和時(shí)間的關(guān)系分別如圖（1）（ 2）所示,試問：（1）甲乙二人哪一個(gè)跑得快？（2）甲乙二人百米賽跑,快到終點(diǎn)時(shí),誰跑得比較快路程乙100m y 甲甲乙四、O t O 2 t 0 t 1 瞬時(shí)變化率以及應(yīng)用 : 例 3：已知函數(shù)fxx2,分別運(yùn)算函數(shù)在以下區(qū)間上的平均變化率；公x式為：y解：fxx2的平均變化率計(jì)算函數(shù)fx0 x平均變化率fx0 x 0 x2x22x 0 x0 xx變化區(qū)

9、間自變量轉(zhuǎn)變量x（1,1.1）0.1 2.1 （1, 1.01）0.01 2.01 1,1.001 0.001 2.001 1,1.0001 0.0001 2.0001 結(jié)論：當(dāng)時(shí)間間隔越來越?。▁趨于）時(shí),平均變化率趨于常數(shù)例 4：一個(gè)小球自由下落,它在下落3 秒時(shí)的速度是多少？.解：自由落體的運(yùn)動(dòng)公式是s1 gt 22（其中 g 是重力加速度）. 當(dāng) 時(shí)間增量t很小時(shí),從3 秒到（ 3t）秒這段時(shí)間內(nèi),小球下落的快慢變化不大因此,可以用這段時(shí)間內(nèi)的平均速度近似地反映小球在下落 從 3 秒到（ 3t ）秒這段時(shí)間內(nèi)位移的增量：3 秒時(shí)的速度 . 2 2 2s s 3 t s 3 4 . 9 3 t 4 . 9 3 29 . 4 t 4 . 9 t 從而,v s29 4. 4 . 9 t . t結(jié)論：t越小,s 越接近 29.4 米/ 秒t當(dāng) t 無限趨近于 0 時(shí),s 無限趨近于 29.4 米/ 秒. t（一）定義：設(shè)函數(shù) y f x 在 x 鄰近有定義,當(dāng)自變量在 x x 0 鄰近轉(zhuǎn)變 x 時(shí),函數(shù)值相應(yīng)地轉(zhuǎn)變 y f x 0 x f x 0 假如當(dāng)時(shí),平均變化率 f x 0 x f x 0 趨近于一個(gè)常數(shù) l,x就數(shù)稱為函數(shù) f x 在點(diǎn) x 處的瞬時(shí)變化率；（二）函數(shù)瞬時(shí)變化率的應(yīng)用：s tv 0t1at2,其中v 是初速度,時(shí)間單位為,例：設(shè)一個(gè)物體的運(yùn)