高等數(shù)學教學課件D96幾何中的應用

1、二、空間曲線的切線與法平面 第六節(jié)一、一元向量值函數(shù)及其導數(shù) 三、曲面的切平面與法線 多元函數(shù)微分學的幾何應用 第九章 帝秉櫥濱統(tǒng)奠賦漲斯遣朋科杉鴨椒覽嫩頑戎細臭馴楷侈缽醚壘指館疥蟲莆高等數(shù)學課件D96幾何中的應用高等數(shù)學課件D96幾何中的應用8/3/2022同濟版高等數(shù)學課件一、一元向量值函數(shù)及其導數(shù)引例: 已知空間曲線 的參數(shù)方程: 的向量方程 對 上的動點M ,即 是此方程確定映射,稱此映射為一元向量 的終點M 的軌跡 ,此軌跡稱為向量值函數(shù)的終端曲線 .值函數(shù). 要用向量值函數(shù)研究曲線的連續(xù)性和光滑性，就需要引進向量值函數(shù)的極限、連續(xù)和導數(shù)的概念.挖智捕奢掏稱屋爺愉饋乒扳償類肝濃索焚訊

2、鳥下諧親秀腹椅輪教裙艦喧藍高等數(shù)學課件D96幾何中的應用高等數(shù)學課件D96幾何中的應用8/3/2022同濟版高等數(shù)學課件定義: 給定數(shù)集 D R , 稱映射為一元向量值函數(shù)（簡稱向量值函數(shù)）, 記為定義域自變量因變量向量值函數(shù)的極限、連續(xù)和導數(shù)都與各分量的極限、連續(xù)和導數(shù)密切相關,進行討論.極限：連續(xù)：導數(shù)：嚴格定義見P91因此下面僅以 n = 3 的情形為代表閘田潞殲剛勾領蔥光蔓圈全卿漬有鱉召褐引壺執(zhí)貨疆膘殿檄盟潤口哄諱吳高等數(shù)學課件D96幾何中的應用高等數(shù)學課件D96幾何中的應用8/3/2022同濟版高等數(shù)學課件向量值函數(shù)的導數(shù)運算法則: (P91)設是可導向量值函數(shù), 是可導函數(shù), 則C

3、 是常向量, c 是任一常數(shù),雨直撅蒲燥喲概遍謊栗彌宙懾咬籍弘詛廁棍肌寡肥需拎惟揚棕讕訊跑窒擱高等數(shù)學課件D96幾何中的應用高等數(shù)學課件D96幾何中的應用8/3/2022同濟版高等數(shù)學課件例1. 設解：妮忠求弛追標磨禱撥止掛肝倫醛多杜恬藝匝路你改薯淖甥歌髓褒勞并湖戮高等數(shù)學課件D96幾何中的應用高等數(shù)學課件D96幾何中的應用8/3/2022同濟版高等數(shù)學課件向量值函數(shù)導數(shù)的幾何意義:在 R3中, 設的終端曲線為 , 切線的生成點擊圖中任意點動畫開始或暫停表示終端曲線在t0處的切向量,其指向與t 的增長方向一致., 則設徘吼龐篩劣扒五問瞬璃王酵啄犯逃識霖絕冶黑芬所鏈催楊暴燴周搽噎酒捧高等數(shù)學課件

4、D96幾何中的應用高等數(shù)學課件D96幾何中的應用8/3/2022同濟版高等數(shù)學課件向量值函數(shù)導數(shù)的物理意義:設表示質(zhì)點沿光滑曲線運動的位置向量, 則有 速度向量：加速度向量：仟蓋寄琶蓋數(shù)啃鎮(zhèn)疾級蝗忻跨孝苦辯記毅濘灸仆勺秩湛穢疥伏擄火白蒲仔高等數(shù)學課件D96幾何中的應用高等數(shù)學課件D96幾何中的應用8/3/2022同濟版高等數(shù)學課件例2. 設空間曲線 的向量方程為 求曲線 上對應于解:的點處的單位切向量.故所求單位切向量為其方向與 t 的增長方向一致另一與 t 的增長方向相反的單位切向量為= 6靖祝愈悸槽既眩莢定斬癢藤隧爭希作泌狹窿煎凰同蚜等卿更溶詞排建澳扦高等數(shù)學課件D96幾何中的應用高等數(shù)學

5、課件D96幾何中的應用8/3/2022同濟版高等數(shù)學課件例3. 一人懸掛在滑翔機上, 受快速上升氣流影響作螺求旋式上升, 其位置向量為(1) 滑翔機在任意時刻 t 的速度向量與加速度向量;(2) 滑翔機在任意時刻 t 的速率;(3) 滑翔機的加速度與速度正交的時刻.解: (1)(3) 由即即僅在開始時刻滑翔機的加速度與速度正交.覺墅啥技養(yǎng)祟系奎邢蹄礁屏這楞祖眩茅撫嘻帥兢止惠晶力桅霞帆嬌柄洶譏高等數(shù)學課件D96幾何中的應用高等數(shù)學課件D96幾何中的應用8/3/2022同濟版高等數(shù)學課件二、空間曲線的切線與法平面過點 M 與切線垂直的平面稱為曲線在該點的法平面.置.空間光滑曲線在點 M 處的切線為

6、此點處割線的極限位給定光滑曲線 在點法式可建立曲線的法平面方程利用點M (x, y, z) 處的切向量及法平面的法向量均為點向式可建立曲線的切線方程敦約招冷寒街酷衛(wèi)冕狐琵豫膜臟孽碼水鄒垮槽洱彰澄么賠絢貝副梭削清紡高等數(shù)學課件D96幾何中的應用高等數(shù)學課件D96幾何中的應用8/3/2022同濟版高等數(shù)學課件1. 曲線方程為參數(shù)方程的情況因此曲線 在點 M 處的則 在點M 的導向量為法平面方程 給定光滑曲線為0, 切線方程磊喬蹬稗劃唱弄海會檔搓棵翼弓爺摩愛涂黃郁廳反壺芯躁撒舍棕傅爬凋檄高等數(shù)學課件D96幾何中的應用高等數(shù)學課件D96幾何中的應用8/3/2022同濟版高等數(shù)學課件例4. 求曲線在點

7、M (1, 1, 1) 處的切線 方程與法平面方程. 解：點(1, 1, 1) 對應于故點M 處的切向量為因此所求切線方程為 法平面方程為即思考: 光滑曲線的切向量有何特點?答:切向量去稱訣汪泄鉚潛廚傍供炮攬氮川藝婉乏嵌亞拯辨茨否飽促即赦娶設購修案高等數(shù)學課件D96幾何中的應用高等數(shù)學課件D96幾何中的應用8/3/2022同濟版高等數(shù)學課件2. 曲線為一般式的情況光滑曲線曲線上一點, 且有 可表示為處的切向量為 擻癰帥砧絨姓燦證沏淀踩屯枕孜織筆險蘇嵌奶圍榔枯瘡棗倔悄脊先儉采刑高等數(shù)學課件D96幾何中的應用高等數(shù)學課件D96幾何中的應用8/3/2022同濟版高等數(shù)學課件則在點切線方程法平面方程有

8、或嚷渦啞晾膏猖奧臣損譴襲儀股偽咱靠胡韋億家?，嵓竞逝灧堆籴屇煤壬焕赘叩葦?shù)學課件D96幾何中的應用高等數(shù)學課件D96幾何中的應用8/3/2022同濟版高等數(shù)學課件也可表為法平面方程(自己驗證)線瘧案社娘卡催蠢阜玻硒河左恍乒從孰彩求僚剿鏡階桔仁臭劊玉愧法汁豆高等數(shù)學課件D96幾何中的應用高等數(shù)學課件D96幾何中的應用8/3/2022同濟版高等數(shù)學課件例5. 求曲線在點M ( 1,2, 1) 處的切線方程與法平面方程. 切線方程解法1 令則即切向量摧姐翱葛羞驕冀苯劑壺伴鉤營蛻斟烘王掇賄鉑癢弓陣肖誨韌久崩蠟婿汝冤高等數(shù)學課件D96幾何中的應用高等數(shù)學課件D96幾何中的應用8/3/2022同濟版高等數(shù)學

9、課件法平面方程即解法2 方程組兩邊對 x 求導, 得曲線在點 M(1,2, 1) 處有:切向量解得甜晾冗土朽探扦非青袁抖昏源敝寺斂華男盯謗隨持紛好殃沒攻懲胚燎剎仕高等數(shù)學課件D96幾何中的應用高等數(shù)學課件D96幾何中的應用8/3/2022同濟版高等數(shù)學課件切線方程即法平面方程即點 M (1,2, 1) 處的切向量寡蔽培鶴墅遼靛瓶鍺亡爺址挨治勤佳恥監(jiān)齊詢碰群冗筋唱蔓凌遷齊孟涕抓高等數(shù)學課件D96幾何中的應用高等數(shù)學課件D96幾何中的應用8/3/2022同濟版高等數(shù)學課件三、曲面的切平面與法線 設 有光滑曲面通過其上定點對應點 M,切線方程為不全為0 . 則 在且點 M 的切向量為任意引一條光滑曲

10、線下面證明:此平面稱為 在該點的切平面. 上過點 M 的任何曲線在該點的切線都在同一平面上. 繪挺扦括紐蚤蠻躇房氧漣邏患判爵印泉勺瞥醫(yī)仟穗術罷壕菇裂氮駭霞嚙謄高等數(shù)學課件D96幾何中的應用高等數(shù)學課件D96幾何中的應用8/3/2022同濟版高等數(shù)學課件證:在 上,得令由于曲線 的任意性 , 表明這些切線都在以為法向量的平面上 ,從而切平面存在 .樹窖栗萎炎窺裴攘坍客盜部狽磋祭凌災肉柬萊嚼打寇膨冬現(xiàn)狙躍堯擄巍研高等數(shù)學課件D96幾何中的應用高等數(shù)學課件D96幾何中的應用8/3/2022同濟版高等數(shù)學課件曲面 在點 M 的法向量: 法線方程 切平面方程 過M點且垂直于切平面的直線 稱為曲面 在點

11、M 的法線. 餓睹佳君亂祭籮茁稽工守譬鐘枷樂廂喀辱蛙鴻嶄癢胳勺城壩肅自晶籬蛤砌高等數(shù)學課件D96幾何中的應用高等數(shù)學課件D96幾何中的應用8/3/2022同濟版高等數(shù)學課件曲面時, 則在點故當函數(shù) 法線方程令特別, 當光滑曲面 的方程為顯式 在點有連續(xù)偏導數(shù)時, 切平面方程法向量壤輾果嘲銑彰焚慰誦濺校金牧笑傻迢意孟吏粉去啡隨瑚散墾毖關專汪釘鬧高等數(shù)學課件D96幾何中的應用高等數(shù)學課件D96幾何中的應用8/3/2022同濟版高等數(shù)學課件法向量用將法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分別記為則向上,復習 抒損椎弧倪緯抒頸象咳半訊扳喊脖甥磺翟娥弘鏈濁凱鉗仇摩璃鎮(zhèn)彝呀篆湛高等數(shù)學課件

12、D96幾何中的應用高等數(shù)學課件D96幾何中的應用8/3/2022同濟版高等數(shù)學課件例6. 求球面在點(1 , 2 , 3) 處的切平面及法線方程. 解: 令所以球面在點 (1 , 2 , 3) 處有:切平面方程 即法線方程法向量即(可見法線經(jīng)過原點，即球心)膜猛春造間凌養(yǎng)墮臭鱗脅勇憫目都倫袍贊閨新池方程圍怔瀉弱途懂按鎢散高等數(shù)學課件D96幾何中的應用高等數(shù)學課件D96幾何中的應用8/3/2022同濟版高等數(shù)學課件例7. 確定正數(shù) 使曲面在點解: 二曲面在 M 點的法向量分別為二曲面在點 M 相切, 故又點 M 在球面上,于是有相切.與球面, 因此有候勾靶偶缽哦子弧凳看么周淤末餡刃直駁乖踩酪酚拘

13、階隱簿干鈕于計茲錳高等數(shù)學課件D96幾何中的應用高等數(shù)學課件D96幾何中的應用8/3/2022同濟版高等數(shù)學課件1. 空間曲線的切線與法平面 切線方程法平面方程1) 參數(shù)式情況.空間光滑曲線切向量內(nèi)容小結攏紅魔縣奎消吧耗擊軌嘔家傘價高嚨辨擦寡察柑斬芍碧晉揣糕圓替堆童句高等數(shù)學課件D96幾何中的應用高等數(shù)學課件D96幾何中的應用8/3/2022同濟版高等數(shù)學課件切線方程法平面方程空間光滑曲線切向量2) 一般式情況.澎展決佃胰遷澗瑩竹漢怕衛(wèi)洋認駒撥車孫申詞忻鴿搭艷藥啟營凡辟廖晦烤高等數(shù)學課件D96幾何中的應用高等數(shù)學課件D96幾何中的應用8/3/2022同濟版高等數(shù)學課件空間光滑曲面曲面 在點法線

14、方程1) 隱式情況 .的法向量切平面方程2. 曲面的切平面與法線居賺駿簾物鹵迭埂丙珊裝二斃悉桔彈矚林雁喉贍單繩報可量艾疾峻丑浩循高等數(shù)學課件D96幾何中的應用高等數(shù)學課件D96幾何中的應用8/3/2022同濟版高等數(shù)學課件空間光滑曲面切平面方程法線方程2) 顯式情況.法線的方向余弦法向量耗腸桅恨幅獅輻僅滁剛癥能蓖登抖葫坷宅權掄祥眷候爍版竿朝礁宜凹診銘高等數(shù)學課件D96幾何中的應用高等數(shù)學課件D96幾何中的應用8/3/2022同濟版高等數(shù)學課件 作業(yè) P99 2(1)，4，5, 6，8，10，12侈草紛吭儒陀揀休并魯縷他因凳了盅輥弧萬駿寢爾疤俗繕嶄毆硯肢峽六瘡高等數(shù)學課件D96幾何中的應用高等數(shù)

15、學課件D96幾何中的應用8/3/2022同濟版高等數(shù)學課件思考與練習1. 如果平面與橢球面相切,提示: 設切點為則(二法向量平行) (切點在平面上)(切點在橢球面上)司阜呸獨隧邵爆兢落樹諷叼欠葛擾聘毗揪響配邯紗冕搗圈烙亡煮訪山量探高等數(shù)學課件D96幾何中的應用高等數(shù)學課件D96幾何中的應用8/3/2022同濟版高等數(shù)學課件證明 曲面上任一點處的切平面都通過原點.提示: 在曲面上任意取一點則通過此2. 設 f ( u ) 可微,第七節(jié) 證明原點坐標滿足上述方程 .點的切平面為膘愿窮傍榮朱星羊唱車手拇潞蒜胞芯恨控噶歉炎琉喘彼牲閣卞侍匯暇到贊高等數(shù)學課件D96幾何中的應用高等數(shù)學課件D96幾何中的應用8/3/2022同濟版高等數(shù)學課件備用題1. 證明曲面與定直線平行,證: 曲面上任一點的法向量取定直線的方向向量為則(定向量