概率論課堂照片教學課件第七章

1、7.1參數(shù)估計的概念是總體F(x,)中的未知參數(shù)Xn )統(tǒng)計量樣本估計量n )n )估計值1極大似然估計法點估計參數(shù)估計矩估計法區(qū)間估計第七章參數(shù)估計矩估計法和極大似然估計法估計量的評選原則 無偏性、二 有效性、三 一致性7.4 區(qū)間估計 區(qū)間估計的概念二 單個正態(tài)總體均值的區(qū)間估計 三 單個正態(tài)總體方差的區(qū)間估計四 單個正態(tài)總體的單側區(qū)間估計2第七章參數(shù)估計 矩估計法n1kk在 E一( X定程) 度 上) lim P(X1原理：大數(shù)定理，樣本矩近總體矩。inni 1E(Xj) =aj(1,k)總體的j階原點矩樣本的j階原點矩1nXj=Ajin i12 方法令求解方程組,得到解，, 作為參數(shù)

2、，, 的矩估計量.1k1k3aj(1,k) =Ajj=1,k總體X的分布函數(shù)F(x; 1, , k),其中1,k為待估參數(shù).(X1,Xn)為X的樣本(設X的k階矩存在), 則7.2 矩估計法和極大似然估計法設總體 X E(), X1, X2, Xn為總體的樣本求 的矩估計量.例X 1/ .令E(X ) 1/ ,解矩 1/ X.故EX X1 X令 解 EX 2n 1 1ni 1i 12i 2XX 221innn 1n 1 ( Xi X ) S2 2X ( X )222in ni 1i 1 X , S 2 . X121此結論對期望和方差存在的總體都適用，即注1E ( X ) X ,D ( X )

3、S 2 .n 1 估計 k E( X EX )k .注2可用( X X )kBkini 1估計不唯一，如對總體P()有 X , S 2 .注35例試求總體期望1=EX和方差2=DX的矩估計。設總體(a , a),試由樣本(X1,X2,Xn), 求例未知參數(shù)a的矩估計量。0 EX X解若令n 1n EX 2X 2令方法一：ii1nnn 1 4an n n i DX Xiiiii 2X令方法二：4a2 2S3126例 設總體XU (a,b), 試由樣本(X1,X2,Xn), 求未知參數(shù)a,b 的矩估計量。EX (a b) / 2 X 解令 SDX (b a)22/ 12a 3S 23S 2X X

4、b 7um Likelihood Estimate設隨機試驗有n種可能結果 A ,1原理n現(xiàn)做一次試驗，結果事件Ai 發(fā)生了，則認為事件 Ai 在這n種可能結果中出現(xiàn)的概率最大。極大似然估計法：在一次抽樣中，若得到樣本觀測值(x1,xn)，則選擇 為 的估計，使得此組觀測值出現(xiàn)的概率最大。82定義若總體X有密度函數(shù)f(x;) (X是D.R.V.時,f(x;)=P(X=x;) ), 其中=(1, k)為待估未知，(1 ,(1 ,參數(shù)為樣本的一組觀nn測值。稱(nx1 , xn ; ) f ( xi ; )i 1為樣本的似然函數(shù)。若 (n ),使得L() max L( )xn )為 的極大似然估計

5、值，n )為 的極大似然估計量。則稱 ( X , X193一般步驟選 使L 最大L (1) 寫出似然函數(shù)L i nL ) .0 0(2) 建立似然方程(組)或i(3) 解方程(組)得極大似然估計10解：設(x1, xn)為樣本的一組觀測值，n xi1xiinL e 似然函數(shù) nexi !i 11nnnln L n xii 1ln ln( xii 1!)nd ln L n 1 x 0似然方程dii 1n 1解方程x.x的極大似然估計為：ini 1比如，樣本觀測值為：10，13，65，18，79，42，65，77，88，123，n=10。則 x 58 11nxi 2 1n1n2 exi 2 i1解

6、2 222 2L(e (2i12n2 1nxi ln L ) 22ln(222i11n1 xi ln L 0n22i1 ln L nn2 2xi 2 0 242i 1i1n1n x ,( x x) s 2 2 2i121a b,x (b a)nn解nL(a, b) i 1f ( xi ;a, b) 0,其它 在a b下,na , b (b a) L(a, b) a min xi , b max xi ，L(a, b) max .1 i n1 i n即a,b的極大似然估計為 a X * , b X * .1n131 aax1x解nn i1nxi , a) (L(a,0其它在 a x1, x a下

7、nmax|即a的極大似然|n(, )|max1估計為max|,|1n14解：設第二次捕出的有記號的魚數(shù)是X,則X具有超幾何分布；k rL(N;) X k, k1,CSN11SSkkPN)SN) Nr)k ) PN1)N (SN Sr k故N的極大似然估計為154性質若為 的極大似然估計，u=u( )有反函數(shù)= (u) ，則 ()為u=u( )的極大似然估計。例設總體XN(, 2 )，求 的極大似然估計。 ,0 2有反函數(shù)。由上例， 2 S 2解n1 S ( Xi X )故2ni 1注 u=u( )為一般函數(shù)此性質也成立。16例 設(X1,Xn)是正態(tài)總體N(1,2)的樣本，求P(X0， 是 E

8、的無偏估計， 2 .E( )2 E( X 2 ) D( X ) E( X )2 E( X )220解由于樣本矩是總體矩的無偏估計量以及數(shù)學期望的線性性質,只要將未知參數(shù)表示成總體矩的線性函數(shù), 然后用樣本矩作為總體矩的估計量,的估計量即為無偏估計量.這樣得到的未知參數(shù)m 1X E nXi ) np 1222E(mE( X )(npp)i1m1故p222imi1m1)p2 miimi12i i 1 m2nn)211, X(X1, Xm) 是總體 X 的一個樣本 ,例設XP( ) m 1 , 求2的無偏估計量. X解令m1i12i22E(X)m 2m 1i1 2im22二 有效性設， 都是參數(shù)的無

9、偏估計量，若1定義12D( ) D( )12則稱 比 有效.21設 是參數(shù)的無偏估計量，若對的0任一無偏估計，有D( ) D()0則稱 是的最小方差無偏估計。023U 中求最小方差無偏估計。nn ci Xi i 1 cii 1 1解由Cauchy-Schwarz不等式ni 11nnD( ) D( X )(n2i22ic1( X )i1i1 11nni12)( X )in 1n是 的最小方差無偏估計。故 X)()而024三 一致性設是參數(shù)的估計量，若對任意 0, 有定義lim P(| | ) 1P即.n則稱為 一致估計量.lim P( X ) 1例由大數(shù)定律n知樣本均值X 是總體均值的一致估計。

10、25例 證明正態(tài)總體的樣本方差S2是2的一致估計。n 1S 2 2 (n 1)， E( S 2 ) 2，證 2 2 42 4(n 1) 2(n 1) 2 DS 2 D(S 2 ) S 2 ) D(.n 1(n 1)2(n 1)由切不等式 2 ) 1 2 4P( S 2.1.( n1) 2n26 區(qū)間估計的概念設總體X的分布函數(shù)為F(x; ),為未知參數(shù)， (X1,X2,Xn)為X的樣本。給定(01),若統(tǒng)計量 (1 ,)，滿足置信上限nP( ) 1 稱( , )為 的置信度(水平)為1 的置信區(qū)間。含義： 若1 =0.95，抽樣100次產(chǎn)生100個區(qū)間，其中約有95個區(qū)間包含.27二 單個正態(tài)

11、總體N(,2)均值的區(qū)間估計1 方差2已知2 方差未知三 單個正態(tài)總體N(2方差2的區(qū)間估計四 單側區(qū)間估計281 2已知X n u / 2 1 P X n P( X nu) 1 u / 2 / 2291.置信區(qū)間長度 l 2u注2/n給定， n越大，l越小給定n， 越小，l越大2.相同置信水平下，置信區(qū)間選取不唯一。同一置信水平下，l 越小，表示估計精度越高。30X 2 2未知 n N (0,1)(n 1)P(| t | t 2 (n 1) 1 SS(n 1) X (n 1) 1 P( X tt /2 /2 nn31例滾珠直徑XN(, 2)，從某天生產(chǎn)的滾珠中隨機抽取6個，測得直徑為(：mm

12、)1.461.511.491.481.521.51求下面兩種情況下的置信度為95%的置信區(qū)間。(1)2=0.0006時；(2) 2未知時。思考：這兩種情況下哪個置信區(qū)間的長度短？32(n 1)S 2 2未知 (n 1)2(n1)S22P(2 (n1) (n1) 12122未知時， 的置信度為1的置信區(qū)間呢？33 P( 2 ) 1 例從自動車床加工的一批零件中隨機的抽取16件，測得各零件長度為(：cm)2.152.132.102.112.122.142.102.132.142.122.112.132.152.102.132.14設零件長度服從正態(tài)分布，求零件長度標準差的置信度為95%的置信區(qū)間。

13、34小結理解區(qū)間估計和單側區(qū)間估計的概念熟記關于單個正態(tài)總體的期望和方差的區(qū)間估計35 e ( x ) , x ,1. (12)設總體X的密度函數(shù)為f ( x; ) x . 0,X的容量為n的樣本。(1)求的矩估計量 ；M(2)求的極大似然估計量；MLE(3) 是否為的無偏估計？為什么？M36練習2. (8)已知0.95，1.20，0.80，1.05是來自總體X的一組觀測值，X N ( ,1),設Y e X .(1)求的置信度為0.95的置信區(qū)間；(2)利用上述結果求b EY的置信度為0.95的置信區(qū)間. 1.65, u0.025 1.96)(u0.0537練習3. (12)(1)敘述極大似然

14、估計的定義。(2)某地質學家為了研究某湖的巖石成分，隨機從該地區(qū)取100個樣品，每個樣品有10塊石子。了每個樣品中屬于石灰石的石子數(shù)。設這100次觀測相互獨立,并認為每個樣品的石灰石的石子數(shù)X B(10, p), p為該地區(qū)一塊石子是石灰石的概率，數(shù)據(jù)如下：求p的極大似然估計值.38練習一個樣品中石灰石的石子數(shù)k012345678910恰有k個石灰石的樣品個數(shù)13004. (11)2010數(shù)一123X總體X的分布列為1 2P2其中 (0,1)為未知參數(shù)。以N i 表示來自總體X的簡單隨機樣本(樣本容量為n)中等于i的個數(shù)。求常數(shù)a1 , a2 , a3 , 使T ai Ni為的無偏估計。 i 1并求T的方差。339練習X N (12, 22 )的樣本,求1.(練習十五2) 設( 10) P(B)(1)