二階線性微分方程(一)課件

1、復(fù)習1.一階線性微分方程的三個類型：(1)可分離變量的微分方程(2)齊次型微分方程：解法：令解法：令(3)一階線性微分方程線性非齊次方程齊次方程的通解為：第1頁，共23頁。1常數(shù)變易法：線性非齊次方程通解為:令2.二階微分方程(1)可降階的有：方法：接連積分2次.方法：方法：(2)二階線性微分方程有什么樣的形式呢？令令第2頁，共23頁。26-4.1二階線性微分方程一.二階線性微分方程的定義它是二階線性齊次微分方程.它是二階線性非齊次微分方程.n階線性微分方程形如說明：1.定義：2.均為一次.當時，當時，叫自由項.均為已知函數(shù).的方程.第3頁，共23頁。3二、二階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)1.二階齊

2、次方程解的結(jié)構(gòu):證明解的線性組合定理1如果函數(shù)及是方程(1)的兩個解，那么對于任意常數(shù)仍然是(1)的解.由于是(1)的解，則將代入(1)的左邊，得第4頁，共23頁。4證畢問題:例如一定是通解嗎？的兩個特解為：而就不是通解.又知的兩個特解為：就是的通解.左邊=右邊第5頁，共23頁。5例如線性無關(guān).線性相關(guān).定義:設(shè)是定義在某區(qū)間上的兩個函數(shù).若(常數(shù))，則稱線性無關(guān).若(常數(shù))，則稱線性相關(guān).當時，常數(shù)，常數(shù)，第6頁，共23頁。6例如線性無關(guān).例如的特解，那么就是方程(1)的通解.如果與是方程(1)的兩個線性無關(guān)定理2的兩個特解為：常數(shù)，則就是的通解.的兩個特解為：且常數(shù)，與線性無關(guān).則是的通解

3、.第7頁，共23頁。72.二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu):證明定理3設(shè)是二階非齊次線性方程的一個特解，是與(2)對應(yīng)的齊次方程(1)通解，那么是二階非齊次線性微分方程(2)的通解.是(2)的解，是(1)的解，將代入(2)的左邊得：第8頁，共23頁。8證畢若求 的通解 說明:右邊.只須求它的一個特解和的兩個線性無關(guān)的特解則的通解為左邊=第9頁，共23頁。9解的疊加原理該定理的證明留給大家設(shè)非齊次方程(2)的右端是幾個函數(shù)之和，若而與分別是方程的特解，那么就是原方程的特解.定理4第10頁，共23頁。10一、定義1.二階常系數(shù)齊次線性方程的標準形式2.二階常系數(shù)非齊次線性方程的標準形式6-4.2 二階

4、常系數(shù)線性微分方程的解法(p,q為常數(shù))(p,q為常數(shù))通解為：通解為：其中線性無關(guān)，即常數(shù)，即第11頁，共23頁。11二、二階常系數(shù)齊次線性方程的解法將其代入上方程, 得故有特征方程特征根(p,q為常數(shù))則是方程的解.設(shè)第12頁，共23頁。12兩個線性無關(guān)的特解：得齊次方程的通解為 有兩個不相等的實根設(shè)特征根為如：特征方程為且常數(shù)則通解為第13頁，共23頁。13 有兩個相等的實根一特解為得齊次方程的通解為特征根為如特征方程為將代入原方程并化簡得知取則則通解為設(shè)另一特解為：第14頁，共23頁。14 有一對共軛復(fù)根重新組合得齊次方程的通解為設(shè)特征根為如特征方程為則通解為第15頁，共23頁。15定

5、義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其總之通解的表達式特征根情況實根實根復(fù)根通解的方法稱為特征方程法.第16頁，共23頁。16例1求的通解.解寫出特征方程為求出特征根解得寫出所求通解為特征方程為解得故所求通解為例2求的通解.解第17頁，共23頁。17解特征方程為解得故通解為解特征方程為解得故所求通解為例3求方程的通解.例4求方程下的特解.在由得故則所求的特解為第18頁，共23頁。18解得故所求特解為解特征方程為解得故所求通解為例5求方程滿足的特解.由得：第19頁，共23頁。19三、n階常系數(shù)齊次線性方程解法特征方程為特征方程的根通解中的對應(yīng)項若是k重根r若是k重共軛復(fù)根第20頁，共23頁。20特征根為故所求通解為解特征方程為例6求方程的通解.即第21頁，共23頁。21特征根為故所求通解為解特征方程為注意：n次代數(shù)方程有n個根, 且每一項各一個任意常數(shù)對應(yīng)著通解中的一項,而特征方程的每一個根都例6求方程的通解.第22頁，共23頁。22四、小結(jié)二階常系數(shù)齊次