二階常系數(shù)非齊次線性微分方程課件

1、對應(yīng)齊次方程通解結(jié)構(gòu)常見類型有 難點：如何求特解？方法：待定系數(shù)法.二階常系數(shù)非齊次線性方程 和定理3第1頁，共26頁。設(shè)非齊方程特解為代入原方程一、 型代入原方程(2)整理得：猜想第2頁，共26頁。特解特解第3頁，共26頁。綜上討論第4頁，共26頁。例1求微分方程的一個特解.解：所對應(yīng)的齊次方程為其特征方程為特征根為由于不是特征方程的根，第5頁，共26頁。設(shè)特解為代入方程得比較系數(shù)得原方程特解為一次多項式第6頁，共26頁。二次多項式例2 . 求微分方程的通解.對應(yīng)齊次方程的通解為=0 是特征方程的單根，非齊次方程的特解為第7頁，共26頁。方程的通解為：代入方程得方程的特解為：第8頁，共26頁

2、。解：特征方程對應(yīng)齊次方程通解特征根例3第9頁，共26頁。代入方程, 得原方程通解為原方程的特解為第10頁，共26頁。方程（2）的特解為：（證略）二、 型第11頁，共26頁。例4 .求方程 y+y=xcos2x 的通解.解: 特征方程為 r2+1=0,其根為r1,2= i, 對應(yīng)齊次線性方程的通解為y = C1cosx + C2sinx.因 i=2i 不是特征方程的根, k=0，=0;y* = (ax+b)cos2x+(cx+d)sin2xy* = (4ax+4c4b)cos2x+(4cx4a4d)sin2xm=max0,1=1, 故方程的特解設(shè)為：第12頁，共26頁。代入原方程，整理得比較兩

3、端同類項的系數(shù)，得解之得：求得一個特解為方程的通解為第13頁，共26頁。例5. 設(shè)連續(xù)函數(shù) f (x) 滿足方程上式整理得：解：將方程寫為兩邊對 x 求導(dǎo)得：再求導(dǎo)得：第14頁，共26頁。設(shè) y = f (x), 問題可轉(zhuǎn)化為求解初值問題：特征方程 r2+1=0 的根為 r1,2=i，對應(yīng)齊次線性方程通解為第15頁，共26頁。而 i = i 是特征方程的根，代入原方程后解得：y*=x(acosx+bsinx).設(shè)非齊次方程特解為于是第16頁，共26頁。故原方程的通解為將初始條件代入上式，得 從而即，所求函數(shù)為：第17頁，共26頁。(待定系數(shù)法)三、小 結(jié)第18頁，共26頁。P348 習(xí)題 7-8:6第19頁，共26頁。 P347 習(xí)題 7-8 1. (8)；2.(3). 布 置 作 業(yè)第20頁，共26頁。P304-習(xí)題7-27.小船從河邊0出發(fā)駛向?qū)Π?解：設(shè)小船的航行路線C：0 xvyh水流第21頁，共26頁。第22頁，共26頁。P315-習(xí)題7-41.求下列微分方程的通解：P311公式（5）第23頁，共