高中數(shù)學(xué)選修第一冊：第2章 2.1　坐標(biāo)法-【新教材】人教B版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊講義

1、2.1坐標(biāo)法學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1理解平面直角坐標(biāo)系中的基本公式(重點(diǎn))2理解坐標(biāo)法的數(shù)學(xué)思想并能掌握坐標(biāo)法的應(yīng)用(重點(diǎn)、難點(diǎn))1通過學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)2借助距離公式和坐標(biāo)法的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)小華以馬路上的電線桿為起點(diǎn)，先向東走了5 m，然后又向西走了8 m，那么小華現(xiàn)在的位置離電線桿多遠(yuǎn)？對于這類問題，我們可以建立一個直線坐標(biāo)系，確定出正、負(fù)方向，利用數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式來求解1平面直角坐標(biāo)系中的基本公式(1)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式如果數(shù)軸上點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)為x1(即A的坐標(biāo)為x1，記作A(x1)，且B(x2)，則向量eq o(

2、AB,sup7()的坐標(biāo)為x2x1，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式|AB|eq o(AB,sup7()|x2x1|如果M(x)是線段AB的中點(diǎn)，則eq o(AM,sup7()eq o(MB,sup7()數(shù)軸上的中點(diǎn)坐標(biāo)公式xeq f(x1x2,2)思考：數(shù)軸的概念是什么？數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)有怎樣的關(guān)系？提示給定了原點(diǎn)、單位長度和正方向的直線是數(shù)軸，數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對應(yīng)的(2)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離公式A(x1，y1)，B(x2，y2)，eq o(AB,sup7()(x2x1，y2y1)，|AB|eq o(AB,sup7()|eq r(x2x12y2y12)，若M(x，y)是線段AB的中點(diǎn)

3、，則eq o(AM,sup7()eq o(MB,sup7()，則直角坐標(biāo)系內(nèi)的中點(diǎn)坐標(biāo)公式xeq f(x1x2,2)，yeq f(y1y2,2)2坐標(biāo)法通過建立平面直角坐標(biāo)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，然后通過代數(shù)運(yùn)算等解決問題的方法稱為坐標(biāo)法1思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對應(yīng)()(2)數(shù)軸上起點(diǎn)相同的向量方向相同()(3)點(diǎn)M(x)位于點(diǎn)N(2x)的左側(cè)()(4)數(shù)軸上等長的向量是相等的向量()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)與有序?qū)崝?shù)對一一對應(yīng)(2)終點(diǎn)不一定相同(3)x與2x的大小無法確定(4)方向不一定相同2(教材P69習(xí)題21A改編

4、)已知數(shù)軸上A(3)，B(8)，則A，B兩點(diǎn)間的距離為()A3B8C11D5C|AB|8(3)|113已知A(1,2)，B(2,6)，則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為_eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，4)設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x，y)，則xeq f(12,2)eq f(3,2)，yeq f(26,2)4，中點(diǎn)坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，4)4已知A(2,4)，B(1,3)，則A，B兩點(diǎn)間的距離為_eq r(10)|AB|eq r(212432)eq r(10)數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)間的關(guān)系【例1】(1)若點(diǎn)P(x)位于點(diǎn)M(2)，N(3)之間，求x的取值范圍；

5、(2)試確定點(diǎn)A(a)，B(b)的位置關(guān)系解(1)由題意可知，點(diǎn)M(2)位于點(diǎn)N(3)的左側(cè)，且點(diǎn)P(x)位于點(diǎn)M(2)，N(3)之間，所以2xb時，點(diǎn)A(a)位于點(diǎn)B(b)的右側(cè)；當(dāng)a32，所以A(32)位于B(23)的左側(cè)(2)因?yàn)閙21meq blc(rc)(avs4alco1(mf(1,2)eq sup12(2)eq f(3,4)eq f(3,4)0，所以m21m，所以B(m21)位于A(m)的右側(cè)(3)當(dāng)a0時，|a|a，則A(|a|)和B(a)為同一個點(diǎn)當(dāng)aa，則A(|a|)位于B(a)的右側(cè)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離探究問題1如果兩點(diǎn)的位置不確定，如何求其距離？提示分類討論2向量的長度及

6、數(shù)量的區(qū)別與聯(lián)系提示|AB|d(A，B)|xBxA|，ABxBxA【例2】已知數(shù)軸上點(diǎn)A，B，P的坐標(biāo)分別為1,3，x當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B的距離是點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離的3倍時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)x思路探究數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離點(diǎn)與實(shí)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系數(shù)軸上的基本公式解由題意知|PB|3|PA|，即|x3|3|x1|，則3(x1)x3，或3(x1)(x3)解得x3；解得x0所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為3或01本例中若點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離都是2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)x，此時點(diǎn)P與線段AB有著怎樣的關(guān)系？解由題意知|PA|PB|2，即eq blcrc (avs4alco1(|x1|2，,|x3|2，)解得x1此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為1，顯然此時P為線段

7、AB的中點(diǎn)2本例中在線段AB上是否存在點(diǎn)P(x)，使得點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離都是3？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)x；若不存在，請說明理由解不存在這樣的點(diǎn)P(x)因?yàn)閐(A，B)|31|4，要使點(diǎn)P在線段AB上，且d(P，A)d(P，B)3，則d(A，B)d(P，A)d(P，B)，這是不可能的數(shù)軸上的基本公式應(yīng)用思路與方法(1)已知向量eq o(AB,sup7()，eq o(BC,sup7()，eq o(AC,sup7()中的兩個的坐標(biāo)，求另外一個的坐標(biāo)時，使用eq o(AC,sup7()eq o(AB,sup7()eq o(BC,sup7()求解(2)已知向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)，求向量坐標(biāo)，使用eq

8、 o(AB,sup7()xBxA求解(3)已知數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離時，使用d(A，B)|AB|xBxA|求解兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用【例3】已知ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)是A(3,1)，B(3，3)，C(1,7)(1)判斷ABC的形狀；(2)求ABC的面積思路探究(1)先根據(jù)已知條件，畫出草圖，判斷ABC的大致形狀，然后從邊著手或從角著手確定其形狀(2)結(jié)合三角形形狀求解解(1)|AB|eq r(332312)2eq r(13)，|AC|eq r(132712)2eq r(13)，又|BC|eq r(132732)2eq r(26)，|AB|2|AC|2|BC|2且|AB|AC|，ABC是等腰直角三角形(

9、2)ABC的面積SABCeq f(1,2)|AC|AB|eq f(1,2)2eq r(13)2eq r(13)26判斷三角形形狀的方法(1)采用數(shù)形結(jié)合的方法，大致明確三角形的形狀，以確定證明的方向(2)利用兩點(diǎn)間的距離公式，分別計(jì)算ABC三邊的長度，根據(jù)三角形邊的長度特征，主要考察邊是否相等或是否滿足勾股定理eq o(跟進(jìn)訓(xùn)練)2若等腰三角形ABC的頂點(diǎn)A是(3,0)，底邊BC的長為4，BC邊的中點(diǎn)為D(5,4)，求等腰ABC的腰長解因?yàn)閨AD|eq r(532402)2eq r(5)，在等腰ABD中，由勾股定理得，|AB|eq r(|AD|2|BD|2)eq r(204)2eq r(6)所

10、以等腰ABC的腰長為2eq r(6)坐標(biāo)法的應(yīng)用【例4】如圖所示，四邊形ABCD為等腰梯形，利用坐標(biāo)法證明梯形ABCD的對角線|AC|BD|證明建立如圖坐標(biāo)系，設(shè)A(0，0)，B(a,0)，C(b，c)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是(ab，c)|AC|eq r(b02c02)eq r(b2c2)，|BD|eq r(aba2c02)eq r(b2c2)，故|AC|BD|利用坐標(biāo)法解平面幾何問題常見的步驟(1)建立坐標(biāo)系，盡可能將有關(guān)元素放在坐標(biāo)軸上；(2)用坐標(biāo)表示有關(guān)的量；(3)將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算；(4)把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系eq o(跟進(jìn)訓(xùn)練)3已知ABC是直角三角形，斜邊BC的中點(diǎn)為M，

11、建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，證明：|AM|eq f(1,2)|BC|證明以RtABC的直角邊AB，AC所在直線為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系設(shè)B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(b,0)，(0，c)，斜邊BC的中點(diǎn)為M，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(0b,2)，f(0c,2)，即eq blc(rc)(avs4alco1(f(b,2)，f(c,2)由兩點(diǎn)間的距離公式得|BC|eq r(0b2c02)eq r(b2c2)，|AM|eq r(blc(rc)(avs4alco1(0f(b,2)eq sup12(2)blc(rc)(avs4alco1(0f(c,2)eq sup

12、12(2)eq f(1,2)eq r(b2c2)，故|AM|eq f(1,2)|BC|1坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，是解析幾何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意兩個已知點(diǎn)間的距離反過來，已知兩點(diǎn)間的距離也可以根據(jù)條件求其中一個點(diǎn)的坐標(biāo)2平面幾何中與線段長有關(guān)的定理和重要結(jié)論，可以用坐標(biāo)法來證明用坐標(biāo)法解題時，由于平面圖形的幾何性質(zhì)是不依賴于平面直角坐標(biāo)系的建立而改變的，但不同的平面直角坐標(biāo)系會使計(jì)算有繁簡之分，因此在建立直角坐標(biāo)系時必須“避繁就簡”3本節(jié)課要掌握的規(guī)律方法(1)數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間的關(guān)系(2)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離及平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式4本節(jié)課的易錯點(diǎn)是坐標(biāo)法的應(yīng)用，容易將坐標(biāo)寫錯1下列各組點(diǎn)中，點(diǎn)C位于點(diǎn)D的右側(cè)的是()AC(3)和D(4)BC(3)和D(4)CC(4)和D(3) DC(4)和D(3)A由數(shù)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)可知A正確2已知A(8，3)，B(5，3)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為()Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，2)Beq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，3)Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，3) Deq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，3)B由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可以求得3已知M(2,1)，N(1,5)，則|MN|等于_5|MN|eq