高中數(shù)學選修第一冊：1.4.2 空間向量的應用（二）（精講）（解析版）

1、 1.4.2 空間向量應用（二）思維導圖常見考法考點一 空間向量求線線角【例1】（2020全國高三一模（文）如圖，四棱錐中，底面是矩形，是等腰三角形，點是棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（ ）ABCD【答案】B【解析】因為，兩兩垂直，以為原點，分別為，軸建立空間直角坐標系.又因為，所以，因為是棱的中點，所以，所以，所以，故選：B.向量法求異面直線所成角的一般步驟(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標系；(2)確定異面直線上兩個點的坐標，從而確定異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對值【一隅三反】1（

2、2020河南高二）已知在正方體中，P為線段上的動點，則直線與直線所成角余弦值的范圍是（ ）ABCD【答案】A【解析】設正方體的棱長為1，如圖所示，以所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則有設，則，所以又因為，所以故選：A2.三棱柱ABCA1B1C1中，ABC為等邊三角形，AA1平面ABC，AA1AB，N，M分別是A1B1，A1C1的中點，則AM與BN所成角的余弦值為()A.eq f(1,10) B.eq f(3,5) C.eq f(7,10) D.eq f(4,5)【答案】C【解析】如圖所示，取AC的中點D，以D為原點，BD，DC，DM所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角

3、坐標系，不妨設AC2，則A(0，1，0)，M(0，0，2)，B(eq r(3)，0，0)，Neq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(1,2)，2)，所以eq o(AM,sup6()(0，1，2)，eq o(BN,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(1,2)，2)，所以coseq o(AM,sup6()，eq o(BN,sup6()eq f(o(AM,sup6()o(BN,sup6(),|o(AM,sup6()|o(BN,sup6()|)eq f(f(7,2),r(5)r(5)eq f(7,10)，故選C.3已知四棱錐SABCD

4、的底面是正方形且側棱長與底面邊長都相等，E是SB的中點，則AE，SD所成的角的余弦值為()Aeq f(1,3) Beq f(r(2),3)Ceq f(r(3),3)Deq f(2,3)【答案】C【解析】依題意，建立坐標系如圖所示，設四棱錐SABCD的棱長為eq r(2)，則A(0，1,0)，B(1,0,0)，S(0,0,1)，D(1,0,0)，E點坐標為eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，f(1,2)，eq o(AE,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1，f(1,2)，eq o(SD,sup7()(1,0，1)，coseq o(AE,s

5、up7()，eq o(SD,sup7()eq f(1,f(r(6),2)r(2)eq f(r(3),3)，故異面直線所成角的余弦值為eq f(r(3),3).故選C考點二 空間向量求線面角【例2】（2020全國高二）如圖所示，是四棱錐的高，四邊形為正方形，點是線段的中點，.（1）求證：；（2）若點是線段上靠近的四等分點，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】（1）因為，所以.因為為正方形，所以，又因為，所以.因為，所以.因為，故，而為線段的中點，所以，又因為，所以.而，故；（2）因為，以為坐標原點，分別以，的方向為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，設

6、正方形的邊長為2，則，設為平面的法向量，則所以取，則，而，故直線與平面所成角的正弦值為若直線l與平面的夾角為，直線l的方向向量l與平面的法向量n的夾角為，則eq f(,2)或eq f(,2)，故有sin |cos |eq f(|ln|,|l|n|).【一隅三反】1（2020浙江高三開學考試）如圖，四棱錐中， （1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）如下圖所示，取的中點，連接. ，為的中點，則，又，可得，四邊形為平行四邊形，且，則，平面，平面，因此，；（2）以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則點、，所以，.設

7、平面的法向量為，由，得，可得，令，可得，則，.因此，直線與平面所成角的正弦值為.2（2020天津河西.高三二模）在正四棱柱中，為的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）若為上的動點，使直線與平面所成角的正弦值是，求的長.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】如圖建立空間直角坐標系，(0，0，0)，(1，0，0)，(1，1，0)，(0，1，0)，(1，0，2)，(1，1，2)，(0，1，2)，(0，0，2)，(0，1，1)（1）證明：設平面的法向量(，)，(1，1，0)，(0，1，1)由，即，取，得(1，-1，1)，又(-1，1，2)，因為，所以，所以平面.（2）證明：

8、由（1）可知(1，-1，1)，(-1，1，-1)，所以，所以平面.（3）設點的坐標為(1，1，)，(0，1，)，設直線與平面所成角為，則，解得，所以點的坐標為(1，1，1)，(1，1，1)，所以的長為.3（2020江蘇）如圖，在三棱錐P-ABC中，ACBC，且，AC=BC=2，D，E分別為AB，PB中點，PD平面ABC，PD=3.(1)求直線CE與直線PA夾角的余弦值；(2)求直線PC與平面DEC夾角的正弦值.【答案】(1)；(2).【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，易知C(0，0，0)，A(2，0，0)，D(1，1，0)，E(，)，P(1，1，3)，設直線CE與直線PA夾角為，則整理得；

9、直線CE與直線PA夾角的余弦值；(2)設直線PC與平面DEC夾角為，設平面DEC的法向量為，因為，所以有取，解得，即面DEC的一個法向量為，.直線PC與平面DEC夾角的正弦值為.考點三 空間向量求二面角【例3】（2020河南高三其他（理）如圖，在三棱錐中，（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1），平面，平面，平面 又平面， 在中，即 又平面平面，平面 （2）據（1）求解知，兩兩互相垂直以分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系如圖，則， 設平面的一個法向量，則令，則， 又平面的一個法向量， 又分析知二面角的平面角為銳角，二面角的余弦值為利用向量法求

10、二面角的大小的關鍵是確定平面的法向量，求法向量的方法主要有兩種：求平面的垂線的方向向量；利用法向量與平面內兩個不共線向量的數(shù)量積為零，列方程組求解【一隅三反】1（2020全國）如圖，圓的直徑，為圓周上不與點、重合的點，垂直于圓所在平面，.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）如圖，連接，因為平面，所以.又因為在圓周上，為圓的直徑，所以，.故平面.（2）因為，直徑，所以，由（1）得，垂直于圓所在的平面，所以.因為，以點為坐標原點，以、為、軸建立如圖空間直角坐標系，則、，設平面的法向量，則，即，取，得.同理可求得平面的一個法向量.設與的夾角為，故

11、，又由圖知為銳二面角，二面角的余弦值為.2（2020全國）如圖，已知四棱錐中，是平行四邊形，平面平面，分別是，的中點.（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明：如圖，取的中點，連接，因為，分別為，的中點，所以，又因為，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以.因為平面，平面，所以平面.（2）因為平面平面，平面平面，平面，所以平面.因為平面，所以，又，所以平面.所以以為原點，以所在直線為軸，所在直線為軸，過點和平面垂直的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則軸在平面內.令，又，所以，設平面的一個法向量為，則所以令，則，所以.又平面，所以

12、是平面的一個法向量.所以.所以二面角的余弦值為.3（2020全國）如圖，在四棱錐中，底面，是直角梯形，是的中點.（1）求證：平面平面；（2）若二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）因為平面，平面，所以.因為，所以，所以，故.又，所以平面.因為平面，所以平面平面.（2）如圖，以為原點，分別為軸，軸，軸的正半軸，建立空間直角坐標系，設，則，則，易知為平面的一個法向量.設為平面的一個法向量，由，即，取，則，.依題意，解得.于是，.則.所以直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查證明面面垂直，考查用空間向量法求二面角，直線與平面所成的角，證明

13、垂直常用相應的判定定理或性質定理，求空間角常用空間向量法考點四 空間向量求距離【例4】（2020全國高二課時練習）如圖，棱長為1的正方體，是底面的中心，則到平面的距離是（ ） ABCD【答案】B【解析】 如圖建立空間直角坐標系，則： 由于平面平面，又，平面故平面的一個法向量為：到平面的距離為：故選：B求點到平面的距離的步驟可簡化為：求平面的法向量；求斜線段對應的向量在法向量上的投影的絕對值，即為點到平面的距離空間中其他距離問題一般都可轉化為點到平面的距離求解【一隅三反】1（2019湖南高二期末）已知平面的一個法向量為，點在平面內，則點到平面的距離為（ ）ABC1D【答案】A【解析】由題意，則，故選：A2（2020黑龍江道里 哈爾濱三中高三二模（理）已知四面體中，兩兩垂直，與平面所成角的正切值為，則點到平面的距離為（ ）ABCD【答案】D【解析】以為原點，分別為，軸建立空間直角坐標系，如圖所示：設，.，.設平面的法向量，則，令，得，故.因為直線與平面所成角的正切值為，所以直線與平面所成角的正弦值為.即，解得.所以平面的法向