高中數(shù)學(xué)選修第一冊：拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、PAGE 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（45分鐘 100分）一、選擇題(每小題6分,共30分)1.(2013大理高二檢測)已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(0,-2),則它的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.y2=8xB.y2=-8xC.x2=8yD.x2=-8y2.如果拋物線y2=ax的準(zhǔn)線是直線x=1,那么它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(-1,0)3.(2013遵義高二檢測)以坐標(biāo)軸為對稱軸,以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過圓x2+y2-2x+6y+9=0的圓心的拋物線的方程是()A.y=3x2或y=-3x2B.y=3x2C.y2=-9x或y=3x2D.y=-3x2或y2=9x4.拋物線y2=12x上與焦

2、點(diǎn)的距離等于8的點(diǎn)的橫坐標(biāo)是()A.5B.4C.3D.25.(2013汝陽高二檢測)一個動圓的圓心在拋物線y2=8x上,且動圓恒與直線x+2=0相切,則動圓必過定點(diǎn)()A.(0,2)B.(0,-2)C.(2,0)D.(4,0)二、填空題(每小題8分,共24分)6.(2013安陽高二檢測)拋物線y=4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1,則點(diǎn)M的 縱坐標(biāo)是.7.已知拋物線y2=2px的準(zhǔn)線與圓(x-3)2+y2=16相切,則p的值為.8.(2012陜西高考)如圖是拋物線形拱橋,當(dāng)水面在l時,拱頂離水面2米,水面寬4米,水位下降1米后,水面寬米.三、解答題(9題,10題14分,11題18分)9.(201

3、3宜春高二檢測)已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),它的準(zhǔn)線過x2a2-y2b2=1的左焦點(diǎn),而且與x軸垂直,又拋物線與此雙曲線交于點(diǎn)(32,6),求拋物線和雙曲線的方程.10.平面上動點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1,求動點(diǎn)P的軌跡方程.11.(能力挑戰(zhàn)題)已知拋物線的方程為x2=8y,F是焦點(diǎn),點(diǎn)A(-2,4),在此拋物線上求一點(diǎn)P,使|PF|+|PA|的值最小.答案解析1.【解析】選D.由條件可知,拋物線的焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上,且p2=2,p=4,所以它的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-8y.【舉一反三】把題中條件改為“準(zhǔn)線方程為x=-7”,它的標(biāo)準(zhǔn)方程如何?【解析】由條件可知p2=7,即p=14.準(zhǔn)

4、線方程為x=-7,焦點(diǎn)是x軸正半軸上的(7,0)點(diǎn),故方程為y2=28x.2.【解析】選D.由y2=ax的準(zhǔn)線方程為x=-a4得,-a4=1,a=-4,從而拋物線方程為y2=-4x,其焦點(diǎn)為(-1,0).3.【解析】選D.圓x2+y2-2x+6y+9=0的圓心為(1,-3),設(shè)拋物線方程為y2=ax或x2=by,把(1,-3)代入并解得a=9,b=-13,方程為y2=9x或y=-3x2.4.【解析】選A.由題知拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-3,設(shè)P(x,y),則x+3=8,x=5.5.【解題指南】利用拋物線的定義求解.【解析】選C.y2=8x的準(zhǔn)線方程為x=-2,且動圓的圓心在拋物線上.根據(jù)拋物線的

5、定義,動圓圓心到直線x=-2的距離等于到焦點(diǎn)的距離,動圓必過定點(diǎn)即焦點(diǎn)(2,0).【變式備選】若動點(diǎn)P到定點(diǎn)(1,1)的距離與到直線2x+y-1=0的距離相等,則P點(diǎn)的軌跡是()A.拋物線B.線段C.直線D.射線【解析】選A.因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)不在直線2x+y-1=0上,故點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)(1,1)為焦點(diǎn),以直線2x+y-1=0為準(zhǔn)線的拋物線,故選A.6.【解題指南】運(yùn)用方程的思想,列方程組求解.【解析】拋物線y=4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,116),設(shè)M(x0,y0),則y0=4x02,x02+(y0-116)2=1,解得y0=1516.答案:15167.【解析】拋物線方程為y2=2px,其焦點(diǎn)在x

6、軸上,又圓(x-3)2+y2=16與x軸的交點(diǎn)為(-1,0)和(7,0),由題意知準(zhǔn)線方程為x=-1或x=7,即焦點(diǎn)為(1,0)或(-7,0),p2=1或-7,解得p=2或-14.答案:2或-148.【解題指南】建立平面直角坐標(biāo)系,求出拋物線方程,根據(jù)方程求解.【解析】建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,如圖所示,設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p0),則點(diǎn)(2,-2)在此拋物線上,代入可求出拋物線的方程是x2=-2y,當(dāng)y=-3時,x2=-2(-3)=6,所以x=6,水面寬是26米.答案:269.【解析】設(shè)拋物線方程為:y2=2px(p0),將點(diǎn)(32,6)代入方程得p=2,所以拋物線方程為:y2=4x.準(zhǔn)線方

7、程為:x=-1,由此知道雙曲線方程中:c=1;焦點(diǎn)為(-1,0),(1,0),點(diǎn)(32,6)到兩焦點(diǎn)距離之差為2a=1,雙曲線的方程為:x214-y234=1.10.【解題指南】可以利用直接法求出動點(diǎn)P的軌跡方程,也可以用定義法求軌跡方程.【解析】方法一:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則有(x-1)2+y2=|x|+1.兩邊平方并化簡,得y2=2x+2|x|,所以y2=4x,x0,0,x0,即點(diǎn)P的軌跡方程為y2=4x,x0,0,x0.方法二:由題意,動點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1,由于點(diǎn)F(1,0)到y(tǒng)軸的距離為1,故當(dāng)x0時,直線y=0(x0)上的點(diǎn)適合條件;當(dāng)x0時,可以看

8、作是點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)與到直線x=-1的距離相等,故點(diǎn)P在以點(diǎn)F為焦點(diǎn),x=-1為準(zhǔn)線的拋物線上,其軌跡方程為y2=4x(x0).綜上,點(diǎn)P的軌跡方程為y2=4x,x0,0,x0.【誤區(qū)警示】解答本題時,方法一中,距離很容易因忘加絕對值號而出錯,方法二也很容易因思考不全面而漏掉x0的情況.11.【解題指南】根據(jù)拋物線的定義把|PF|轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離,畫出草圖,通過觀察圖形,利用“數(shù)形結(jié)合”的思想即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).【解析】(-2)284,點(diǎn)A(-2,4)在拋物線x2=8y的內(nèi)部.如圖,設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l,過點(diǎn)P作PQl于點(diǎn)Q,過點(diǎn)A作ABl于點(diǎn)B,由拋物線的定義可知:|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|AQ|AB|,當(dāng)且僅當(dāng)P,Q,A三點(diǎn)共