高中數(shù)學(xué)選修第一冊(cè)：第2課時(shí) 分層演練 綜合提升四套

1、A級(jí)基礎(chǔ)鞏固1.如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()A.15B.25C.35D.45解析:以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系(圖略).設(shè)AB=1,則B(1,1,0),A1(1,0,2),A(1,0,0),D1(0,0,2),所以A1B=(0,1,-2),AD1=(-1,0,2),cos=A1BAD1|A1B|AD1|=-455=-45,所以異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為45.答案:D2.若平面的一個(gè)法向量為n=(4,1,1),直線l的一個(gè)方向向量a=(-2,-3,3)

2、,則l與所成角的余弦值為()A.-1111 B.1111C.-11011 D.91333解析:設(shè)與l所成的角為,則sin =|cos|=|(-2,-3,3)(4,1,1)|4+9+916+1+1=-82218=41133,故直線l與所成角的余弦值為1-411332=91333.答案:D3.如圖,正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)P,PA平面ABCD,若PA=AB,則平面PAB與平面PCD的夾角為()A.30 B.45 C.60 D.90解析:如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)PA=AB=1,則A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),所以AD=(0,1,0).取PD中點(diǎn)為E,則E0,12,

3、12.所以AE=0,12,12.易知AD是平面PAB的一個(gè)法向量,AE是平面PCD的一個(gè)法向量,所以cos =ADAE|AD|AE|=22,所以平面PAB與平面PCD的夾角為45.答案:B4.如圖所示,在四面體ABCD中,O是BD的中點(diǎn),CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=2.(1)求證:AO平面BCD;(2)求異面直線AB與CD所成角的余弦值.(1)證明:如圖,連接OC.由題意,知BO=DO,AB=AD,所以AOBD.因?yàn)锽O=DO,BC=CD,所以COBD.在AOC中,由已知可得AO=1,CO=3,因?yàn)镃A=2,所以AO2+CO2=CA2,所以AOC=90,即AOCO.因?yàn)锽DCO=O

4、,所以AO平面BCD.(2)解:如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0, 3,0),A(0,0,1),所以BA=(-1,0,1),CD=(-1,-3,0),所以cos=BACD|BA|CD|=24.所以異面直線AB與CD所成角的余弦值為24.5.如圖,四棱錐P-ABCD的底面是正方形,PD底面ABCD,點(diǎn)E在棱PB上.(1)求證:平面AEC平面PDB;(2)當(dāng)PD=2AB,且E為PB的中點(diǎn)時(shí),求直線AE與平面PDB所成角的大小.(1)證明:如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=a,PD=h,則A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,

5、a,0),D(0,0,0),P(0,0,h).所以AC=(-a,a,0),DP=(0,0,h),DB=(a,a,0),所以ACDP=0,ACDB=0,所以ACDP,ACDB.因?yàn)镈PDB=D,所以AC平面PDB.又因?yàn)锳C平面AEC,所以平面AEC平面PDB.(2)解:當(dāng)PD=2AB,且E為PB的中點(diǎn)時(shí),P(0,0,2a),E12a,12a,22a,O12a,12a,0.如圖,連接OE,由(1)知AC平面PDB于點(diǎn)O,所以AEO為直線AE與平面PDB所成的角.因?yàn)镋A=12a,-12a,-22a,EO=0,0,-22a,所以cosAEO=EAEO|EA|EO|=22,所以AEO=45,即直線A

6、E與平面PDB所成角的大小為45.B級(jí)拓展提高6.如圖,已知在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是側(cè)棱BB1的中點(diǎn),則直線AE與平面A1ED1所成角的大小為()A.60 B.90C.45 D.以上都不對(duì)解析:以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.由題意知,A1(1,0,2),E(1,1,1),D1(0,0,2),A(1,0,0),所以A1E=(0,1,-1),D1E=(1,1,-1),EA=(0,-1,-1).設(shè)平面A1ED1的法向量為n=(x,y,z),則nA1E=0,nD1E=0,得y-z=0,x+y-z

7、=0.令z=1,得y=1,x=0,所以n=(0,1,1)是平面A1ED1的一個(gè)法向量.因?yàn)閏os=nEA|n|EA|=-222=-1.所以=180.所以直線AE與平面A1ED1所成的角為90.答案:B7.如圖,在空間直角坐標(biāo)系Dxyz中,四棱柱ABCD-A1B1C1D1為長(zhǎng)方體,AA1=AB=2AD,E為C1D1的中點(diǎn),則平面A1B1B與平面A1BE夾角的余弦值為() A.-33 B.-32 C.33 D.32解析:設(shè)AD=1,則A1(1,0,2),B(1,2,0).因?yàn)镋為C1D1的中點(diǎn),所以E(0,1,2),所以A1E=(-1,1,0),A1B=(0,2,-2).設(shè)m=(x,y,z)是平面

8、A1BE的法向量,則A1Em=0,A1Bm=0,所以-x+y=0,2y-2z=0,所以x=y,z=y.取y=1,則x=1,z=1,所以平面A1BE的一個(gè)法向量為m=(1,1,1).由題意可知,DA平面A1B1B,所以DA=(1,0,0)是平面A1B1B的一個(gè)法向量,所以cos=mDA|m|DA|=13=33.所以平面A1B1B與平面A1BE的夾角的余弦值為33,故選C.答案:C8.在空間直角坐標(biāo)系中,若A(1,-2,0),B(2,1,6),則向量AB與平面Oxz的法向量的夾角的正弦值為74.解析:設(shè)平面Oxz的法向量為n=(0,t,0)(t0).由題意知AB=(1,3, 6),所以cos=nA

9、B|n|AB|=3t4|t|.因?yàn)?,所以sin=1-3t4|t|2=74.9.如圖,已知點(diǎn)E,F分別在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,若B1E=2EB,CF=2FC1,則平面AEF與平面ABC的夾角的正切值等于23.解析:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則A(1,0,0),E1,1,13,F0,1,23,所以AE=0,1,13,EF=-1,0,13.由題意,知平面ABC的一個(gè)法向量為n1=(0,0,1).設(shè)平面AEF的法向量為n2=(x,y,z),則n2AE=0,n2EF=0,即y+13z=0,-x+13z=0.取z=3,則x=1,y=-1.故n2=(1,

10、-1,3)是平面AEF的一個(gè)法向量.所以cos=n1n2|n1|n2|=31111.所以平面AEF與平面ABC的夾角滿足cos =31111,sin =2211,所以tan =23.10.如圖,已知矩形ABCD與ABEF全等,D-AB-E為直二面角,M為AB的中點(diǎn),直線FM與BD所成的角為,若cos =39,則線段AB與BC的長(zhǎng)度之比為22.解析:設(shè)AB=a,BC=b,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AF,AB,AD所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則F(b,0,0),M0,a2,0,B(0,a,0),D(0,0,b).所以FM=-b,a2,0,BD=(0,-a,b),所以|FM|

11、=b2+a24,|BD|=a2+b2,FMBD=-a22.因?yàn)閨cos|=-a22b2+a24a2+b2=39,整理,得4b4a4+5b2a2-26=0,解得b2a2=2或b2a2=-134(舍去),所以ABBC=ab=22.11.如圖,在五面體ABCDEF中,FA平面ABCD,ADBCFE,ABAD,M為EC的中點(diǎn),AF=AB=BC=FE=12AD.(1)求異面直線BF與DE所成角的大小;(2)證明:平面AMD平面CDE;(3)求平面ACD與平面CDE的夾角的余弦值.(1)解:如圖所示,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AF所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB=1,依題意得B

12、(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1),M12,1,12,A(0,0,0).則BF=(-1,0,1),DE=(0,-1,1),所以cos=BFDE|BF|DE|=0+0+122=12.所以異面直線BF與DE所成角的大小為60.(2)證明:易知AM=12,1,12,CE=(-1,0,1),AD=(0,2,0),所以CEAM=0,CEAD=0.所以CEAM,CEAD.又因?yàn)锳MAD=A,AM平面AMD,AD平面AMD,所以CE平面AMD.又因?yàn)镃E平面CDE,所以平面AMD平面CDE.(3)解:設(shè)平面CDE的法向量為u=(x,y,z),則uCE=0,

13、uDE=0,即-x+z=0,-y+z=0,令z=1,則x=1,y=1,所以u(píng)=(1,1,1)是平面CDE的一個(gè)法向量.又由題意,知平面ACD的一個(gè)法向量為v=(0,0,1).所以cos=uv|u|v|=0+0+131=33.所以平面ACD與平面CDE的夾角的余弦值為33. C級(jí)挑戰(zhàn)創(chuàng)新12.多空題如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,BAA1=60.異面直線AB與A1C所成角的大小為2;若平面ABC平面AA1B1B,AB=CB=2,則直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值為105.解析:如圖,取AB中點(diǎn)O,連接CO,A1B,A1O.因?yàn)锳B=AA1,BAA1=6

14、0,所以BAA1是正三角形,所以A1OAB.因?yàn)镃A=CB,所以COAB.因?yàn)镃OA1O=O,所以AB平面COA1,所以ABA1C.所以異面直線AB與A1C所成角的度數(shù)為2.由上可知,OCAB,OA1AB,因?yàn)槠矫鍭BC平面AA1B1B,平面ABC平面AA1B1B=AB,所以O(shè)C平面AA1B1B,所以O(shè)COA1,所以O(shè)A,OC,OA1兩兩相互垂直.如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OA1,OC所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.由題設(shè)知A(1,0,0),A1(0,3,0),C(0,0,3),B(-1,0,0),則BC=(1,0,3),BB1=AA1=(-1,3,0),A1C=(0,-

15、3,3).設(shè)n=(x,y,z)是平面BB1C1C的法向量,則nBC=0,nBB1=0,即x+3z=0,-x+3y=0,令x=3,得y=1,z=-1.所以平面BB1C1C的一個(gè)法向量是n=(3,1,-1),所以cos=nA1C|n|A1C|=-105,所以直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為105. 13.開(kāi)放性問(wèn)題如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,PA=AD=CD=2,BC=3,PC=23,E為PB的中點(diǎn),.試證明四邊形ABCD是直角梯形,并求直線AE與平面PCD所成角的正弦值.從下列兩個(gè)條件中選一個(gè),補(bǔ)充在上面問(wèn)題中,并完成解答.CDBC;BC平面PAD.解:選擇條件.

16、因?yàn)镻A平面ABCD,所以PAAD,PACD.因?yàn)镻A=AD=CD=2,所以PD=22.又因?yàn)镻C=23,所以CD2+PD2=PC2,得CDPD.因?yàn)镻APD=P,所以CD平面PAD,則CDAD.又因?yàn)镃DBC,所以ADBC.所以四邊形ABCD是直角梯形.如圖,過(guò)點(diǎn)A作AD的垂線,交BC于點(diǎn)M.因?yàn)镻A平面ABCD,所以PAAM,PAAD.如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),B(2,-1,0).所以PC=(2,2,-2),PD=(0,2,-2).因?yàn)镋為PB的中點(diǎn),所以E1,-12,1.所以AE=1,-12,1.設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),則nPC=2x+2y-2z=0,nPD=2y-2z=0,令y=1,