9.2.3 總體集中趨勢的估計(jì) 課件-人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊

1、人教2019 A版 必修 第二冊9.2.3 總體集中趨勢的估計(jì)第九章 統(tǒng) 計(jì)1.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的集中趨勢參數(shù)(眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù))2.會求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)3.理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.課程目標(biāo)溫故知新1、定義:一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100-p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.2、計(jì)算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟:第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).第2步，計(jì)算i=np%.第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j,則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i+1

2、)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).3、根據(jù)頻率分布直方圖（頻率分布表）計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的百分位數(shù)：首先要理解頻率分布直方圖中各組數(shù)據(jù)頻率的計(jì)算，其次估計(jì)百分位數(shù)在哪一組，再應(yīng)用方程的思想方法，設(shè)出百分位數(shù)，解方程可得眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù).中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）做一做（1）、1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，8，9，9眾數(shù)是：3和8（2）、1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，9，9眾數(shù)是：3（1）、1 ，2，3，3，3，4，6，8，8，8，9，9（2）1 ，2，3，3，3，4，8，8，8，9，9中位數(shù)是：5中位數(shù)是：42、求下

3、列各組數(shù)據(jù)的眾數(shù)3、求下列各組數(shù)據(jù)的中位數(shù)4.在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動會上，參加男子跳高的17名運(yùn)動員的成績?nèi)缦卤硭荆撼煽?米)150160165170175180185190人數(shù)23234111分別求這些運(yùn)動員成績的眾數(shù)，中位數(shù)與平均數(shù) 。解：在17個數(shù)據(jù)中，1.75出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75 上面表里的17個數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的順序排列的，其中第9個數(shù)據(jù)1.70是 最中間的一個數(shù)據(jù)，即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.70；答：17名運(yùn)動員成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次是1.75（米）、1.70（米）、1.69（米）。 這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是 為了了解總體的情況，前面我們研究

4、了如何通過樣本的分布規(guī)律估計(jì)總體的分布規(guī)律，但有時候，我們可能不太關(guān)心總體的分布規(guī)律，而更關(guān)注總體取值在某一方面的特征，例如，對于某縣今年小麥的收成情況，我們可能會更關(guān)注該縣今年小麥的總產(chǎn)量或平均每公頃的產(chǎn)量，而不是產(chǎn)量的分布；對于一個國家國民的身高情況，我們可能會更關(guān)注身高的平均數(shù)或中位數(shù)，而不是身高的分布；等等. 在初中的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)了解到，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢。 下面我們通過具體實(shí)例進(jìn)一步了解這些量的意義，探究它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，并根據(jù)樣本的集中趨勢估計(jì)總體的集中趨勢.問題與探究9.0 13.6 14.9 5.9 4.

5、0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.02.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.52.1 5.7 5.1 16.8 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.92.3 10.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.4 22.43.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.022.2 10.8 5.5 2.0 24.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.95.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.75.5 6.0 16.0 2.4 9.5 3

6、.7 17.0 3.8 4.1 2.35.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.87.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6例1. 利用下表中100戶居民用戶的月均用水量的調(diào)查數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并據(jù)此估計(jì)全市居民用戶月均用水量的平均數(shù)和中位數(shù).典例解析所以估計(jì)全市居民用戶的月均用水量約為8.79t，其中位數(shù)約為6.6t. 小明用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算了100戶居民用水量的平均數(shù)和中位數(shù)，但在錄入數(shù)據(jù)不小心把一個數(shù)據(jù)7.7錄成了77.請計(jì)算錄入數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù).思考:并與真實(shí)的樣本平均數(shù)和中位數(shù)作比較

7、。哪個量的值變化更大？你能解釋其中的原因嗎？ 平均數(shù)由原來的8.79t變?yōu)?.483t,中位數(shù)沒有變化.這是因?yàn)闃颖酒骄鶖?shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)有關(guān),樣本中的任何一個數(shù)據(jù)的改變會引起平均數(shù)的改變；但中位數(shù)只利用了樣本數(shù)據(jù)中間位置的一個或兩個值,并未利用其他數(shù)據(jù)，所以不是任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起中位數(shù)的改變,因此,與中位數(shù)較,平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中的更多信息,對樣本中的極端值更加敏感. 平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān).在下圖的三種頻率分布直方圖形態(tài)中，平均數(shù)和中位數(shù)的大小存在什么關(guān)系？歸納總結(jié)例2.某學(xué)校要定制高一年級的校服，學(xué)生根據(jù)廠家提供的參考身高選

8、擇校服規(guī)格，據(jù)統(tǒng)計(jì)，高一年級女生需要不同規(guī)格校服的頻數(shù)如下表所示，校服規(guī)格155160165170175合計(jì)頻數(shù)39641679026386如果用一個量來代表該校高一年級女生所需校服的規(guī)格，那么在中位數(shù)、平均數(shù)和數(shù)中，哪個量比較合適？試討論用上表中的數(shù)據(jù)估計(jì)全國高一年級女生校服規(guī)格的合理性.分析：雖然校服規(guī)格是用數(shù)字表示的，但它們事實(shí)上是幾種不同的類別，對于這樣的分類數(shù)據(jù)，用眾數(shù)作為這組數(shù)據(jù)的代表比較合適.典例解析解：為了更直觀地觀察數(shù)據(jù)的特征，我們用條形圖來表示表中的數(shù)據(jù)（下圖)可以發(fā)現(xiàn)，選擇校服規(guī)格為“165”的女生的頻數(shù)最高，所以用眾數(shù)165作為該校高一年級女生校服的規(guī)格比較合適.由于全

9、國各地的高一年級女生的身高存在一定的差異，所以用一個學(xué)校的數(shù)據(jù)估計(jì)全國高一年級女生的校服規(guī)格不合理.歸納總結(jié) 探究:樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)可以分別作為總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的估計(jì)，但在某些情況下我們無法獲知原始的樣本數(shù)據(jù)，例如，我們在報(bào)紙、網(wǎng)絡(luò)上獲得的往往是已經(jīng)整理好的統(tǒng)計(jì)表或統(tǒng)計(jì)圖，這時該如何估計(jì)樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)？ 在頻率分布直方圖中，損失了大量的原始數(shù)據(jù)，只知道分組和每組的頻率，我們無法知道每個組內(nèi)的數(shù)據(jù)是如何分布的，此時，通常假設(shè)它們在組內(nèi)均勻分布，這樣就可以獲得樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的近似估計(jì)，進(jìn)而估計(jì)總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).問題探究 你能以下圖居民用水的頻率

10、分布直方圖提供的信息，估計(jì)出樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)嗎? 因?yàn)闃颖酒骄鶖?shù)可以表示為數(shù)據(jù)與它的頻率的乘積之和，所以在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和近似代替.如圖所示，可以測出圖中每個小矩形的高度，于是平均數(shù)的近似值為這個結(jié)果與根據(jù)原始數(shù)據(jù)計(jì)算的樣本平均數(shù)8.79相差不大 根據(jù)中位數(shù)的意義，在樣本中，有50%的個體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個體大于或等于中位數(shù).因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等這個結(jié)果與根據(jù)原始數(shù)據(jù)求得的中位數(shù)6.6相差不大.由于0.0773=0.231,(0.077+0.107)3=0.5

11、52.因此中位數(shù)落在區(qū)間4.2,7.2)內(nèi).設(shè)中位數(shù)為x,由0.0773+0.107(x-4.2)=0.5得到x6.71.因此，中位數(shù)約為6.71,如圖所示. 在頻率分布直方圖中，月均用水量在區(qū)間4.2,7.2)內(nèi)的居民最多，可以將這個區(qū)間的中點(diǎn)5.7作為眾數(shù)的估計(jì)值，如圖所示，眾數(shù)常用在描述分類型數(shù)據(jù)中，在這個實(shí)際問題中，眾數(shù)“5.7”讓我們知道月均用水量在區(qū)間4.2,7.2)內(nèi)的居民用戶最多，這個信息具有實(shí)際意義。 在頻率分布直方圖中，我們無法知道每個組內(nèi)的數(shù)據(jù)是如何分布的，此時，通常假設(shè)它們在組內(nèi)均勻分布，這樣就可以獲得樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的近似估計(jì)，進(jìn)而估計(jì)總體的平均數(shù)、中位數(shù)和

12、眾數(shù).跟蹤訓(xùn)練解（1）由圖知眾數(shù)為(2)設(shè)中位數(shù)為x，由圖知前三個矩形面積之和為0.4，第四個矩形面積為0.30.30.40.5，因此中位數(shù)位于第四個矩形內(nèi)得:0.4+0.03(x70)=0.5，所以x73.3.（4）若例3條件不變，求80分以下的學(xué)生人數(shù)40,80)分的頻率為：(0.0050.0150.0200.030)100.7，所以80分以下的學(xué)生人數(shù)為800.756.根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，估計(jì)該市2019年全年空氣質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和第80百分位(注：已知該市屬于“嚴(yán)重污染”等級的空氣質(zhì)量指數(shù)不超過400)1.已知某市2019年全年空氣質(zhì)量等級如下表所示當(dāng)堂達(dá)標(biāo)2.某工廠人員及工資構(gòu)成

13、如下：人員經(jīng)理管理人員高級技工工人學(xué)徒合計(jì)日工資2200250220200100人數(shù)16510123合計(jì)22001500110020001006900（1）指出這個問題中日工資的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)（2）這個問題中，工資的平均數(shù)能客觀地反映該廠的工資水平嗎？為什么？ 分析：眾數(shù)為200，中位數(shù)為220，平均數(shù)為300。 因平均數(shù)為300，由表格中所列出的數(shù)據(jù)可見，只有經(jīng)理在平均數(shù)以上，其余的人都在平均數(shù)以下，故用平均數(shù)不能客觀真實(shí)地反映該工廠的工資水平。1.平均數(shù)： 平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù),特征:平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里的每個數(shù)均有關(guān)系，其中任何數(shù)據(jù)的變動都會相應(yīng)引起平均數(shù)的變動。2.中位數(shù)： 將一組數(shù)據(jù)從小到大(或從大到小)排列，中間的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。如果是奇數(shù)個數(shù)據(jù)，中間的數(shù)就為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果