《概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)》59節(jié)(生物、心理、藥學(xué)、中藥)第2章隨機(jī)變量及其分布課件

1、2022/8/412022/8/412022/8/41 在實(shí)際問題中，可能遇到多個(gè)隨機(jī)變量的情形，如：1) 射擊問題中,對(duì)于彈著點(diǎn)往往需要橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)描述;2) 研究學(xué)齡前兒童的發(fā)育情況，觀察身高,體重等;3) 具體評(píng)價(jià)產(chǎn)品的質(zhì)量,可能有多個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)如尺寸,外形,外包裝等.二維隨機(jī)變量第1頁(yè)，共37頁(yè)。2022/8/422022/8/422022/8/421）定義：設(shè) E 是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是S=e，設(shè) X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定義在 S 上的隨機(jī)變量。由它們構(gòu)成的一個(gè)向量 (X, Y) ，叫做二維隨機(jī)向量，或二維隨機(jī)變量。SeX(e)Y(e)二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)第2

2、頁(yè)，共37頁(yè)。2022/8/432022/8/432022/8/43注 意 事 項(xiàng)第3頁(yè)，共37頁(yè)。2022/8/442022/8/442022/8/44 定義 若X, Y均為離散隨機(jī)變量，則 (X,Y ) 為二維離散隨機(jī)變量,且二維離散隨機(jī)變量1. 二維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為(X，Y)的分布律或聯(lián)合分布律.第4頁(yè)，共37頁(yè)。2022/8/452022/8/452022/8/45YX其中第5頁(yè)，共37頁(yè)。2022/8/462022/8/462022/8/46 例1 一枚硬幣一面刻有數(shù)字1，另一面刻有數(shù)字2.將硬幣拋兩次，以X表示第一次、第二次出現(xiàn)的數(shù)字之和.以Y表示第一次出現(xiàn)的數(shù)字減去第二

3、次出現(xiàn)的數(shù)字，求（X,Y）的分布律，P(X+Y2).解：所有樣本點(diǎn)(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)X Y-101201/4031/401/4401/40對(duì)應(yīng)的X取值為：2， 3，3，4 Y取值為：0，-1，1，0第6頁(yè)，共37頁(yè)。2022/8/47二維連續(xù)隨機(jī)變量1. 二維連續(xù)隨機(jī)變量 定義 設(shè)X, Y均為連續(xù)隨機(jī)變量，第7頁(yè)，共37頁(yè)。2022/8/48 聯(lián)合概率密度的性質(zhì)：這個(gè)公式非常重要！幾何解釋隨機(jī)事件的概率=曲頂柱體的體積 第8頁(yè)，共37頁(yè)。2022/8/49二維離散型R.v.的邊緣分布X的邊緣分布Y的邊緣分布第9頁(yè)，共37頁(yè)。2022/8/410設(shè)二維隨機(jī)變量（

4、X, Y）的聯(lián)合概率分布如下例1X Y0123010/506/504/501/5019/5010/503/50025/502/5000解：求隨機(jī)變量X與Y的邊緣概率函數(shù)。X Y0123pi .010/506/504/501/5021/5019/5010/503/50022/5025/502/50007/50p. j24/5018/507/501/501第10頁(yè)，共37頁(yè)。2022/8/411二維連續(xù)隨機(jī)變量的邊緣分布、Y的邊緣密度函數(shù)：則隨機(jī)變量X第11頁(yè)，共37頁(yè)。2022/8/412同理，由()yYPyFY=()-+-=ydvdxvxf，=P(-X+ ,Yy)第12頁(yè)，共37頁(yè)。2022/

5、8/413 特別，對(duì)于離散型和連續(xù)型的隨機(jī)變量，該定義分別等價(jià)于 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 定義 . 設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b(ab), c,d(cd), 有P(aXb, cY d)= P(aXb) P( cY d)則稱X，Y相互獨(dú)立。第13頁(yè)，共37頁(yè)。2022/8/414 在實(shí)際問題或應(yīng)用中，當(dāng)X的取值與Y的取值互不影響時(shí)，我們就認(rèn)為X與Y是相互獨(dú)立的，進(jìn)而把上述定義式當(dāng)公式運(yùn)用. 在X與Y是相互獨(dú)立的前提下，邊緣分布可確定聯(lián)合分布！實(shí)際意義補(bǔ)充說明第14頁(yè)，共37頁(yè)。2022/8/415例1X Y123p.j11/61/91/181/321/31/3+ +pi.1/21/9

6、+1/18+ 2/3+ +解：由聯(lián)合概率分布的性質(zhì)知0, 0, 且2/3+ +=1,即 +=1/3,由X,Y相互獨(dú)立,有第15頁(yè)，共37頁(yè)。2022/8/416 例3 某種保險(xiǎn)絲的壽命(以100小時(shí)計(jì))X服從參數(shù)為3的指數(shù)分布。（1）有兩根此種保險(xiǎn)絲，其壽命分別為X1, X2設(shè)X1, X2相互獨(dú)立，求X1, X2的聯(lián)合概率密度；（2）在(1)中一根保險(xiǎn)絲是原裝的，另一根是備用的，備用保險(xiǎn)絲只在原裝保險(xiǎn)絲熔斷時(shí)自動(dòng)投入工作，于是兩根保險(xiǎn)絲總的壽命為X1+X2，求概率P(X1+X21).解: X1, X2相互獨(dú)立, 故X1, X2的聯(lián)合概率密度:x2oDx1第16頁(yè)，共37頁(yè)。2022/8/417

7、隨機(jī)變量函數(shù)的分布X-2123pk0.30.20.10.4一、一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布求Y=X2-1的分布律例1 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律如下，解：Y的所有可能取值為0,3,8第17頁(yè)，共37頁(yè)。2022/8/418例2. 一提煉純糖的生產(chǎn)過程，一天可生產(chǎn)純糖1噸，但由于機(jī)器損壞和減速，一天實(shí)際產(chǎn)量X是一個(gè)隨機(jī)變量,設(shè)X的概率密度為解：分別記X，Y的分布函數(shù)為一天的利潤(rùn)Y=3X-1，Y也是隨機(jī)變量，求Y的概率密度。第18頁(yè)，共37頁(yè)。解: (1)因?yàn)閄在(0, 1)上取值，所以Y=eX 在(1，e)上取值。2022/8/419例3. 設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間(0,1)上服從均勻分布，(1)求隨機(jī)變量Y=e

8、X的概率密度;上式對(duì)y求導(dǎo)數(shù)，得Y的概率密度為第19頁(yè)，共37頁(yè)。例3. 設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間(0,1)上服從均勻分布， (2)求Y=-2lnX的概率密度。 解: (1)因?yàn)閄在(0, 1)上取值，所以Y=-2lnX 在(0，+)上取值。2022/8/420上式對(duì)y求導(dǎo)數(shù)，得Y的概率密度為第20頁(yè)，共37頁(yè)。2022/8/421習(xí)題二(P70)：13,14,17(1),22,23(寫出聯(lián)合概率密度)，24，27 作業(yè)第21頁(yè)，共37頁(yè)。2022/8/422思考題第22頁(yè)，共37頁(yè)。2022/8/423備用題1.解第23頁(yè)，共37頁(yè)。2022/8/424XY0 1 2 3130000第24頁(yè)，共3

9、7頁(yè)。2022/8/4252.解第25頁(yè)，共37頁(yè)。2022/8/426第26頁(yè)，共37頁(yè)。2022/8/427第27頁(yè)，共37頁(yè)。2022/8/4283.設(shè)隨機(jī)事件A,B滿足求(X,Y)的分布列.解第28頁(yè)，共37頁(yè)。2022/8/429所以(X,Y)的聯(lián)合分布列為第29頁(yè)，共37頁(yè)。2022/8/430所以(X,Y)的聯(lián)合分布列為第30頁(yè)，共37頁(yè)。2022/8/4314.在長(zhǎng)為a的線段的中點(diǎn)的兩邊隨機(jī)地各取獨(dú)立，它們的聯(lián)合密度函數(shù)為Y為線段中點(diǎn)右邊所取點(diǎn)到端點(diǎn)0的距離，一點(diǎn)，求兩點(diǎn)間的距離小于a/3的概率.記X為線段中點(diǎn)左邊所取點(diǎn)到端點(diǎn)0的距離，解OxaXY第31頁(yè)，共37頁(yè)。2022/8/432圖2.2的陰影部分，因此，所求概率為xyO圖2-2第32頁(yè)，共37頁(yè)。2022/8/4335.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為解故 k=1/8.第33頁(yè)，共37頁(yè)。2022/8/