《圓的基本性質(zhì)》復(fù)習(xí)寶典課件

1、圓的基本性質(zhì)復(fù)習(xí) 第1頁，共57頁。一、知識系統(tǒng)圓的定義有關(guān)概念圓的基本性質(zhì)圓心、半徑、直徑弧、弦、弦心距等圓、同心圓圓心角、圓周角（補充圓內(nèi)角、圓外角）三角形外接圓、圓的內(nèi)接三角形、四邊形的外接圓、圓的內(nèi)接四邊形點和圓的位置關(guān)系不在同一直線上的三點確定一個圓圓的中心對稱性和旋轉(zhuǎn)不變性圓的軸對稱性垂徑定理圓心角定理圓周角定理圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)第2頁，共57頁。1.本課時重點是垂徑定理及其推論，圓心角、圓周角、弦心距、弧之間的關(guān)系.2.圓的定義(1)是通過旋轉(zhuǎn).(2)是到定點的距離等于定長的點的集合.3.點和圓的位置關(guān)系(圓心到點的距離為d)(1)點在圓上d=r.(2)點在圓內(nèi)dr.(3)點在圓

2、外dr.二、要點、考點第3頁，共57頁。4.與圓有關(guān)的概念(1)弦：連結(jié)圓上任意兩點的線段.(2)直徑：經(jīng)過圓心的弦.(3)?。簣A上任意兩點間的部分.(4)優(yōu)?。毫踊?、半圓.(5)等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠完全重合的孤.(6)圓心角：頂點在圓心，角的兩邊與圓相交.(7)圓周角：頂點在圓上，角的兩邊與圓相交.(8)三角形外心及性質(zhì).二、要點、考點第4頁，共57頁。垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦 所對的兩條弧.推論1：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且 平分弦所對的兩條弧.推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦 所對的兩條弧.推論3：平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分 弦，并平

3、分弦所對的另一條弧.5.有關(guān)定理及推論(1)定理：不在同一直線上的三個點確定一個圓.(2)垂徑定理及其推論. 二、要點、考點第5頁，共57頁。(4)圓周角定理：一條弧所對圓周角等于它所對的圓心角的一半. 推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓 中，相等的圓周角所對的弧也相等.推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90的圓 周角所對的弦是直徑.推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半， 那么這個三角形是直角三角形.定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧 相等，所對的弦相等，所對弦的弦心距相等. (3)圓心角、弧、弦、弦心距. 二、要點、考點第6頁，共57頁。(5)圓內(nèi)接四邊形

4、性質(zhì)定理：圓內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角. 二、要點、考點第7頁，共57頁。定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角。CBADOEFDB180AC180EABBCDFCBBAD對角外角內(nèi)對角第8頁，共57頁?；A(chǔ)知識A-點與圓的位置關(guān)系點與圓的位置關(guān)系 ：設(shè)O的半徑為r，點到圓心的距離為d，則 點A在O上，等價于dr； 點A在O內(nèi)，等價于dr 1、爆破時，導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.9cm，點導(dǎo)火索的人需要跑到離爆破點120m以外的安全區(qū)域，這個導(dǎo)火索的長度為18cm，那么點導(dǎo)火索的人每秒跑6.5m是否安全？第9頁，共57頁。2、找圓心:有一塊破

5、損的圓面 ,你能復(fù)原，并找到它的圓心嗎?基礎(chǔ)知識B-圓的確定圓的確定：不在同一直線上的三點可以確定一個圓。經(jīng)過三角形的三個頂點可以確定一個圓，這個圓稱為三角形的外接圓。三角形是圓的內(nèi)接三角形。 外接圓的圓心就是三角形三邊的垂直平分線的交點。3、O是ABC的內(nèi)心，BOC為130，則A的為（ ）（A）130 （B）60 （C）70 （D）80第10頁，共57頁。基礎(chǔ)知識C-圓的軸對稱性垂徑定理垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧。7、如圖， ， 。 （填寫一組因果關(guān)系。） 垂徑定理的推論平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦。第11頁，共57頁?；?/p>

6、礎(chǔ)知識D-圓心角定理圓心角定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等。8、已知：如圖，在O中，AB、CD為直徑，則下列結(jié)論成立的有 ： ADBC ADBC ADBC第12頁，共57頁。在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距，這四組量中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余三組量也分別相等?；A(chǔ)知識E-圓的旋轉(zhuǎn)不變性9、圓是 對稱圖形， 是它的對稱中心。圓具有 不變性。10、如圖，在O中，弦AC=BC，A=50，求AOC、B、ACB的度數(shù)。第13頁，共57頁。在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距，這四組量中只要有一組量相等，那么它們

7、所對應(yīng)的其余三組量也分別相等?；A(chǔ)知識E-圓旋轉(zhuǎn)不變性11、如圖，O1與O2是等圓，若要說明AB=DE，你有那些方法？ 第14頁，共57頁?；A(chǔ)知識F-圓周角定理圓周角定理的推論 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90的圓周角所對弦是直徑。12、如圖： 如果AOB=100，則C= 。 當C= 時，A、O、B三點在同一直線上。OCAB圓周角定理 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。第15頁，共57頁?！纠?】在直徑為400mm的圓柱形油槽內(nèi)，裝入一部分油，油面寬320mm，求油的深度.【解析】本題是以垂徑定理為考查點的幾何應(yīng)用題，沒有給出圖形，直徑長是已知的，油面寬可理解為截面圓的弦長，

8、也是已知的，但由于圓的對稱性，弦的位置有兩種不同的情況，如圖(1)和(2)圖(1)中OC=120(mm)CD=80(mm)圖(2)中OC=120(mm)CD=OC+OD=320(mm)三、經(jīng)典習(xí)題第16頁，共57頁?！纠?】如圖，O是CAE平分線上的一點，以點O為圓心的圓和CAE的兩邊分別交于點B、C和D、E，連結(jié)BD、CE. 求證：(1)BC=DE (2)AC=AE (3)DBCE.三、經(jīng)典習(xí)題第17頁，共57頁?！窘馕觥?1)要證弧相等，即要證弦相等或弦心距離相等，又已知OA是CAE的平分線，聯(lián)想到角平分線性質(zhì)，故過O分別作OGAC于G，OHAE于H，OG=OHBC=DE(2)由垂徑定理知

9、：BC=DE，G、H分別是BC、DE的中點.再由AOGAOHAG=AHAB=AD AC=AE.(3)AC=AEC=E，再根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理知C=ADBE=ADBBDCE.第18頁，共57頁。三、經(jīng)典習(xí)題【例3】如圖，ABC中，A700，O截ABC的三條邊所截得的弦長都相等，則BOC 。OBAC第19頁，共57頁。側(cè)面展開圖是扇形扇形的半徑是圓錐的母線長弧長是圓錐底面圓的周長圓錐的側(cè)面積等于扇形的面積S側(cè)2rara； S底r2； Srar2 第20頁，共57頁。1.圓周長計算公式:2.圓面積計算公式:4.扇形的面積計算公式:3.扇形的弧長計算公式:5.補充圓錐展開圖的圓心角:四、與圓有

10、關(guān)的計算圓的弧長、圖形的面積和圓錐的側(cè)面積計算 第21頁，共57頁。6.當弓形所含的弧是劣弧時， 弓形=S扇-S當弓形所含的弧是優(yōu)弧時， S弓形=S+S7、記圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為h，則有關(guān)計算公式如下: 全四、與圓有關(guān)的計算第22頁，共57頁?；A(chǔ)知識G-弧、扇形 已知：一個扇形的半徑等于一個圓的半徑的2倍，且面積相等。求這個扇形的圓心角。15、已知扇形的圓心角為135，弧長為6cm，則此扇形的面積為多少？弧長計算公式：扇形面積計算公式： 或第23頁，共57頁。 下圖是由直徑分別為4cm，6cm和10cm的三個半圓所組成的圖形，求圖中陰影部分的周長和面積。17、已知扇形OAB的

11、圓心角為直角，OA4cm，以AB為直徑作半圓，求圓中陰影部分的面積?；A(chǔ)知識G-弧、扇形第24頁，共57頁?；A(chǔ)知識H-圓錐的側(cè)面積和全面積18、圓錐的母線與底面直徑都等于8cm，則圓錐的側(cè)面積是 。19、已知圓錐底面半徑為6cm，若它的側(cè)面積是底面積的2倍，則圓錐的母線長為 ，全面積為 。 S側(cè)rlS全rl+r2第25頁，共57頁。22、巳知圓錐的軸截面周長為10cm，設(shè)腰長為x，圓錐的表面積為S，求: S關(guān)于X的函數(shù)表達式和自變量X的取值范圍； 畫出這個函數(shù)圖象，確定S的取值范圍基礎(chǔ)知識-應(yīng)用20、下列命題中正確的為（ ）A、三點確定一個圓B、圓有且只有一個內(nèi)接三角形C、面積相等的三角形的

12、外接圓的是等圓D、三角形的外心是三角形任意兩邊的垂直平分線的交點21、已知ABC內(nèi)接于O，且AB=AC，O的半徑等于6cm，O點到BC的距離為2cm，求AB的長。第26頁，共57頁。23、船能從圓弧形拱橋下通過嗎 ?已知:MN=3米，AB=7.2米，CD=2.4米，D為AB中點，且CDAB交CD于點H，且倉頂高出水面為2米。ABCD基礎(chǔ)知識-應(yīng)用MN第27頁，共57頁。AN2、船能從圓弧形拱橋下通過嗎 ?已知:MN=3米，AB=7.2米，CD=2.4米，D為AB中點，且CDAB交CD于點H，且倉頂高出水面為2米。BMDHOC基礎(chǔ)知識-應(yīng)用MN第28頁，共57頁。弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形

13、弓形面積S弓形=S扇形-SAOBS弓形=S扇形+SAOBS弓形=S半圓第29頁，共57頁。OABCEFD12G基礎(chǔ)知識-應(yīng)用1 、如圖, AB是半圓O的直徑,C是AE的中點,CDAB于D, 交AE 于F.求證:AF=CF。第30頁，共57頁。例4填空： (1)如圖，Rt ABC的斜邊AB在直線l上，AC=1,AB=2,將 Rt ABC 繞點B在平面內(nèi)按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使邊BC落在直線l上，得到 A1BC1，再 將 A1BC1 繞點C1在平面內(nèi)按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使邊A1C1落在直線l上，得到 A2B1C1 ，則點A經(jīng)過的路線長等于_B1C1A1CBA2lA21150o第31頁，共57頁。例5如圖

14、，AB是半圓O的直徑，C，D為半圓的三等分點，E為AB延長線上一點，AB=12,求陰影部分面積。 O DCBA E用割補或分塊法求陰影部分面積.第32頁，共57頁。例6 李明和馬強同學(xué)合作，將半徑為1米、圓心角為90o的扇形薄鐵板圍成一個圓錐筒。在計算圓錐的容積(接縫忽略不計)時，李明認為圓錐的高等于扇形的圓心O到弦AB的距離OC(如圖1)，馬強說這樣計算不正確。你同意誰的說法？把正確的計算過程寫出來。O CBAOAA1O1r1m 1m第33頁，共57頁。五、圓中的分類討論一、點和圓的位置二、點與弦的相對位置三、弦所對的圓周角四、平行弦與圓心的位置五、圓心與角的位置六、點在弧上的位置第34頁，

15、共57頁。例1.過不在O上的一點A，作與O相交的一條直線，交O于B、C，且ABAC64，OA10，則O的半徑R為_。點和圓的位置第35頁，共57頁。例2.O是ABC的外接圓，ODBC于D，且BOD48，則BAC_。點與弦的相對位置第36頁，共57頁。例3.半徑為1的圓中有一條弦，如果它的長為，那么這條弦所對的圓周角的度數(shù)等于_。弦所對的圓周角第37頁，共57頁。例4.在半徑為5cm的O中，弦AB6cm，弦CD8cm，且ABCD，求AB與CD之間的距離。平行弦與圓心的位置第38頁，共57頁。例5.在半徑為1的O中，弦AB、AC的長分別為 ，則BAC的度數(shù)是_。圓心與角的位置第39頁，共57頁。例

16、6.如圖，在平面直角坐標系中，P是經(jīng)過O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圓上的一個動點（P與O、B不重合），則OAB_度，OPB_度。點在弧上的位置第40頁，共57頁。已知：點O是ABC的外心， BOC130，求A的度數(shù)。第41頁，共57頁。六、圓中的數(shù)學(xué)思想方法1.設(shè)未知數(shù)建構(gòu)方程，或者引入?yún)?shù)，構(gòu)造直角三角形，相似三角形，利用勾股定理，三角函數(shù)，比例線段解決問題.2.轉(zhuǎn)化的思想：轉(zhuǎn)化的思想是數(shù)學(xué)中極其重要的思想方法，把未知量轉(zhuǎn)化為已知量，把新問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題，把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，把一般情況轉(zhuǎn)化為特殊情況，把線段相等轉(zhuǎn)化為角相等。3.分類討論的思想。遇到需要自己畫圖解

17、決的問題中常要考慮分類的方法，遇到動點，動弦的問題時也常常要考慮分類解決。還有在兩個三角形相似但對應(yīng)關(guān)系不確定的時候往往也要考慮多種情況。求弓形面積的時候要考慮優(yōu)弧還是劣弧所對應(yīng)的弓形。4.從特殊到一般的思想。在證明有些結(jié)論的時候，如果感覺無從下手，可以把特殊情況下的圖形畫出來后證明此結(jié)論，然后再通過作輔助線把原圖形轉(zhuǎn)化為特殊情況下的圖形進行證明。 5.數(shù)形結(jié)合的思想，就是能把圖形和對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系緊密地聯(lián)系起來。這樣可以非常形象地記憶知識點，也可以全面把握圖形的特征和性質(zhì)。 第42頁，共57頁。七、圓中的常見輔助線添法1.已知直徑時,常構(gòu)造直徑所對的圓周角. 2.連接半徑或者作弦心距,構(gòu)造直角

18、三角形,為用垂徑定理或者勾股定理創(chuàng)造條件. 3.需要轉(zhuǎn)化角度的時候，常作弦構(gòu)造同弧所對的圓周角 第43頁，共57頁。 圓中兩個重要 Rt的再認識ONABMBACDO八、圓中的基本圖形第44頁，共57頁。一、垂徑定理： 1、定理的回顧 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。（1）CD過圓心（2）CDAB于H（3）AH=BH（4）AC=BC（5）AD=BDABDCOH 五個條件，其中兩個成立，可推出另三個也成立（但有一個例外）（ 1）（3） （2）（4）（5）第45頁，共57頁。求圓中有關(guān)半徑、弦、弦心距、弧、角 等問題歸結(jié)為解決直角三角形OAH問題CABOH半徑半弦弦心距構(gòu)成Rt第46頁

19、，共57頁。2、圖形的變臉第47頁，共57頁。ABCO3、直角三角形性質(zhì)的運用（1）勾股定理 （2） 斜邊上的中線是斜邊的一半 （3）30角所對的直角邊等于斜邊的一半 （4）特殊三角形的三邊之比 4、例與練： 填空： 如圖， O中AB=OC= OA,求 、 、 的度數(shù)D歸納：在一般圖形中，作弦心距構(gòu)成RtH運用第48頁，共57頁。C。 如圖建立直角坐標系，OA是半圓的直徑， 圓心為N，A(10,0)，B（8，0），四邊形OBDC平行四邊形，C、D在半圓上，求D點坐標。ODBNyxAH解：連N D、 作NHCD于H， 由垂徑定理得 CH=DH= CD=4 在RtDNH中， ND=NO=5,DH=4 NH=3 D(9,3)12歸納：在坐標系中，作半徑弦心距構(gòu)成Rt第49頁，共57頁。CDH 扇形AOB中，半徑OA=2，C為AB的中點，CD/OA, 求CD的長。追問：若D是弧AB的中點，CD/OA,求CD的長。CD=3 - 1CD=22 - 2歸納：在扇形中，（補形）作弦、弦心距構(gòu)成Rt第50頁，共57頁。ABCDOX12-x4已知ABC內(nèi)接于O（如圖所示），AB+AC=12,高AD=4,假設(shè)AB