巖土工程數(shù)值方法有限單元法

1、6 單元和插值函數(shù)的構(gòu)造6.1 引言 通過前面的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)掌握了通過變分法（加權(quán)余量法的Galerkin提法）建立有限單元方程的途徑。首先是將場(chǎng)函數(shù)的總體泛函或總體求解區(qū)域上的位能積分看成是由子域（單元）的泛函或位能積分所集成。至于有限元分析的其余步驟，原則上和傳統(tǒng)的Ritz法或Galerkin法是相類同的。因此在一個(gè)給定問題的分析中，決定性的步驟之一是原則適當(dāng)?shù)膯卧逯岛瘮?shù)。 一般說來，單元類型和形狀的選擇依賴于結(jié)構(gòu)或總體求解域的幾何特點(diǎn)、方程的類型及求解所希望的精度等因素，而有限元的插值函數(shù)則取決于單元的形狀，結(jié)點(diǎn)的類型和數(shù)目等因素。圖6.1 二維域的有限元離散（a） 三角形單元 （b

2、）四邊形單例如在圖6.1上，一個(gè)二維域利用一系列三角形或四邊形單元進(jìn)行離散，即將總體求解域理想化為由很多子域（單元）所組成。 在一般情況下，總體域也可能是一維或三維的，在圖6.2上分別給出只具有端結(jié)點(diǎn)或角結(jié)點(diǎn)的一維、二維和三維單元的幾種可能形式。一維單元可以簡(jiǎn)單地是一直線，二維單元可以是三角形、矩形或四邊形，三維單元可以是四面體、五面體、長(zhǎng)方體或一般六面體。具有軸對(duì)稱幾何形狀和軸對(duì)稱物理性質(zhì)的三維域能用二維單元繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)形成的三維單元進(jìn)行離散。 從結(jié)點(diǎn)參數(shù)的類型上區(qū)別、它們可以是只包含場(chǎng)函數(shù)的結(jié)點(diǎn)只，也可能同時(shí)包含場(chǎng)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的結(jié)點(diǎn)值。這主要取決于單元交界面上的連續(xù)性要求,而后者又由泛函中場(chǎng)函

3、數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階次所決定。如果泛函中場(chǎng)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階為一次，則單元交界面上只要求函數(shù)值保持連續(xù)，即要求單元保持連續(xù)性。在次情況下，通常結(jié)點(diǎn)參數(shù)只包含場(chǎng)函數(shù)的結(jié)點(diǎn)值。如果泛函中場(chǎng)函數(shù)導(dǎo)數(shù)最高階為2次，則要求場(chǎng)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)在交界面上也保持連續(xù)，即要求單元保持 連續(xù)性，這時(shí)結(jié)點(diǎn)參數(shù)中必須同時(shí)包含場(chǎng)函數(shù)即其一階導(dǎo)數(shù)的結(jié)點(diǎn)值。 關(guān)于單元插值函數(shù)的形式，有限單元法中幾乎全部采用不同階次冪函數(shù)的多項(xiàng)式。如果采用冪函數(shù)多項(xiàng)式作為單元的插值函數(shù)，對(duì)于只滿足 連續(xù)性的單元（稱 型單元），單元內(nèi)的未知場(chǎng)函數(shù)的線性變化能夠僅用角（或端）結(jié)點(diǎn)之間的邊界上適當(dāng)配置一個(gè)邊內(nèi)結(jié)點(diǎn)（如圖6.3所示）它的三次變化，則必須在每個(gè)

4、邊界上配置二個(gè)邊內(nèi)結(jié)點(diǎn)（如圖6.4所示）。配置邊內(nèi)結(jié)點(diǎn)的另一原因是常常要求單元的邊界是曲線的，沿邊界配置適當(dāng)?shù)倪厓?nèi)結(jié)點(diǎn)從而可能構(gòu)成二次或更高次多項(xiàng)式來描述它們。有時(shí)為使插值函數(shù)保持為一定階次的完全多項(xiàng)式可能還需要在單元內(nèi)部配置結(jié)點(diǎn)。6.2 一維單元 一維單元可以分為兩類。一類是單元的結(jié)點(diǎn)參數(shù)中包含場(chǎng)函數(shù) 的結(jié)點(diǎn)值。另一類單元的結(jié)點(diǎn)參數(shù)中，除場(chǎng)函數(shù)的結(jié)點(diǎn)值外，還包含場(chǎng)函數(shù)導(dǎo)數(shù) 的結(jié)點(diǎn)值。這二類單元就是以下將討論的Lagrange單元和Hermite單元?，F(xiàn)對(duì)它們的一般形式進(jìn)行討論。6.2.1 Lagrange單元 對(duì)于具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的一維單元，如果它的結(jié)點(diǎn)參數(shù)中含有場(chǎng)函數(shù)的結(jié)點(diǎn)值，則單元內(nèi)的場(chǎng)函數(shù)

5、可插值表示為(6.2.1)其中插值函數(shù) 具有下列性質(zhì)(6.2.2)式內(nèi) 是Kronecker dalta。 上述第一個(gè)性質(zhì)是插值函數(shù)自身性質(zhì)所要求。因?yàn)樵?6.2.1)式的右端用結(jié)點(diǎn)j的坐標(biāo) 代入，左端函數(shù) 應(yīng)取結(jié)點(diǎn)j的函數(shù)值 ，因此必須具有 的性質(zhì)。上述第二個(gè)性質(zhì)是插值函數(shù)完備性要求決定的。因?yàn)?6.2.1)式右端各個(gè)結(jié)點(diǎn)值 取相同的常數(shù)C，則左端的場(chǎng)函數(shù)也應(yīng)等C，所以插值函數(shù)必須具有 的性質(zhì)。當(dāng)然單是這性質(zhì)還不是完備性要 求的全部。因?yàn)橥陚湫赃€要求 型單元場(chǎng)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)應(yīng)包含常數(shù)項(xiàng)。這些將在下一章中討論。 關(guān)于插值函數(shù) 的構(gòu)造，為避免繁瑣的推導(dǎo)，不必按前面所述步驟進(jìn)行，而是直接采用熟知的

6、Lagrange插值多項(xiàng)式。對(duì)于n個(gè)結(jié)點(diǎn)的一維單元， 可采用n-1次Lagrange插值多項(xiàng)式 ，即令(6.2.3)其中 的上標(biāo)n-1表示Lagrange插值多項(xiàng)式的次數(shù) 表示二項(xiàng)式在j的范圍內(nèi)(j=1,2,i-1,i+1,n)的乘積，n是單元的結(jié)點(diǎn)數(shù)， 是n個(gè)結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)。如果n=2，函數(shù) 的插值表示如下(6.2.4)如果引入無量鋼坐標(biāo)(6.2.5)其中l(wèi)代表單元長(zhǎng)度，則(6.2.3)式可表示為(6.2.6)(6.2.7)(6.2.8)如果無量鋼坐標(biāo)采用另一種形式(6.2.9)其中 是單元中心的坐標(biāo)，則對(duì)于n=2，有 (6.2.10)(6.2.11)上述兩種無量鋼表示，即(6.2.5)和(6.

7、2.9)式，都是今后常用的，在這里可稱為長(zhǎng)度坐標(biāo)，更一般化的可稱為自然坐標(biāo)。在上述兩種表示中，分別有 為今后構(gòu)造其它形式的Lagrange單元方便，在此可將(6.2.6)式改寫成(6.2.12)也是j點(diǎn)坐標(biāo) 表示方程形式 的左端項(xiàng)。顯然可見： 的展開式中包含了除 而外的所有 的因子，從而保證了 這一要求的滿足。 是點(diǎn)i的坐標(biāo)代入 后得到的數(shù)值，這一因子引入 的分母，是為了保證滿足 這一要求。理解 的意義，對(duì)今后構(gòu)造其他形式Lagrange單元的插值函數(shù)是有幫助的。 還應(yīng)指出： 的n-1次完全多項(xiàng)式。它的項(xiàng)數(shù)和結(jié)點(diǎn)數(shù)相同且包含常數(shù)項(xiàng)，這樣構(gòu)成的場(chǎng)函數(shù)模式是滿足收斂準(zhǔn)則的。特別地，如令 ，則可從(

8、6.2.1)式得到 這是一很重要的性質(zhì)，由于上式的成立，通過坐標(biāo)變換將直線單元轉(zhuǎn)換為曲線單元，單元的場(chǎng)函數(shù)仍滿足收斂準(zhǔn)則。6.2.2 Hermite單元 如果希望在單元間的公共結(jié)點(diǎn)上還保持場(chǎng)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，則結(jié)點(diǎn)參數(shù)中還應(yīng)包含場(chǎng)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的結(jié)點(diǎn)值。這時(shí)可以方便地采用Hermite多項(xiàng)式作為單元的插值函數(shù)。對(duì)于只有兩個(gè)端結(jié)點(diǎn)的一位單元，函數(shù) 采用Hermite多項(xiàng)式的插值表達(dá)式可寫成 (6.2.13)或：(6.2.14)其中Hermite多項(xiàng)式具有以下性質(zhì)(6.2.15)是以下形式的三次多項(xiàng)式(6.2.16)以上在端部結(jié)點(diǎn)最高保持場(chǎng)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)性的Hermite多項(xiàng)式成為一階Hermite

9、多項(xiàng)式。在兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的情況下，它是自變量 的三次多項(xiàng)式。0階Hermite多項(xiàng)式即Lagrange多項(xiàng)式。推而廣之，在結(jié)點(diǎn)上保持至函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)連續(xù)性的Hermite多項(xiàng)式成為n階Hermite多項(xiàng)式。在兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的情況下，它是 的2n+1次多項(xiàng)式。函數(shù)的二階Hermite多項(xiàng)式插值表示是(6.2.18)(6.2.17)或其中：6.3 二維單元6.3.1 三角形單元 在前面章節(jié)我們已討論了3結(jié)點(diǎn)的三角形單元。因?yàn)樗鼘?duì)于復(fù)雜的幾何形狀有良好的適應(yīng)性，獲得了廣泛的應(yīng)用。 如同一維單元的情況，我們可以利用笛卡爾坐標(biāo)，也可以利用無量鋼的自然坐標(biāo)以構(gòu)造三角形單元的插值函數(shù)。利用笛卡爾坐標(biāo)構(gòu)造三角形單元的插值

10、函數(shù)在第2章我們已討論過，為確定插值函數(shù)中各個(gè)系數(shù)涉及矩陣求逆的運(yùn)算。對(duì)于高次單元，此運(yùn)算比較麻煩，因此普遍應(yīng)用自然(面積)坐標(biāo)來直接構(gòu)造一般三角形單元的插值函數(shù)，這時(shí)運(yùn)算比較簡(jiǎn)單。從前面的討論中已知，對(duì)于3結(jié)點(diǎn)三角形單元，引入面積坐標(biāo)(6.3.1)則單元插值函數(shù)可以表示為(6.3.2) 如將由(6.2.12)式引入的對(duì)Lagrange插值函數(shù)各個(gè)因子的幾何解釋推廣于現(xiàn)在的情況，則可以比較方便地利用面積坐標(biāo)構(gòu)造二次以及更高次的三角形的單元。1. 二次單元圖6.4 自然坐標(biāo)三角形單元(2次變化) 如圖6.4所示，二次單元有六個(gè)結(jié)點(diǎn)，各結(jié)點(diǎn)的面積坐標(biāo)分別標(biāo)注在括號(hào)內(nèi)。參照6.2.12式，現(xiàn)將需要構(gòu)

11、造的插值函數(shù)表示成 (6.3.3)但其中 賦予了和三角形單元相對(duì)應(yīng)的幾何意義。 是通過除結(jié)點(diǎn)i以外所有結(jié)點(diǎn)的二根直線的方程 的左端項(xiàng)。例如當(dāng)i=1時(shí)， 分別是通過結(jié)點(diǎn)4,6的直線方程 和通過結(jié)點(diǎn)2, 5, 3的直線方程 的左端項(xiàng)。是結(jié)點(diǎn)i的面積坐標(biāo)。所以得到(6.3.4)通過類似的分析步驟，可以得到(6.3.5) 為敘述方便，今后我們可以形象地將這種利用類似(6.3.3)式所表示的構(gòu)造單元插值函數(shù)的方法稱為劃線法。2. 三次單元 為保證二維域三次多項(xiàng)式的完備性，三次單元，應(yīng)有10個(gè)結(jié)點(diǎn)，如圖6.5所示，可根據(jù)和二次單元相同的步驟，按劃線法構(gòu)造它的插值函數(shù)。圖6.5 自然坐標(biāo)三角形單元(三次變化

12、)對(duì)于角結(jié)點(diǎn)(6.3.6)對(duì)于邊內(nèi)結(jié)點(diǎn)對(duì)于中心結(jié)點(diǎn) 如有需要，可以構(gòu)造更高次的三角形單元，其步驟是： (1) 按二維域內(nèi)各次完全多項(xiàng)式的要求確定結(jié)點(diǎn)的數(shù)目(n)和位置。此要求可表示如Pascal三角形。例如按比例要求，四次三角形結(jié)點(diǎn)數(shù)應(yīng)為15. (2) 按廣義的Lagrange插值公式構(gòu)造插值函數(shù)，即(6.3.7)其中p為插值函數(shù)的次數(shù)。顯然，按上式構(gòu)造的插值函數(shù)滿足 這一基本要求。 另外，由于 的上述性質(zhì)，以及結(jié)點(diǎn)的數(shù)目和配置符合Pascal三角形的要求，可以證明這種單元場(chǎng)函數(shù)是滿足收斂準(zhǔn)則的，當(dāng)然 這一要求也是恒被滿足的。 還可指出，當(dāng)引入面積坐標(biāo)后，單元矩陣經(jīng)?？梢员硎境上铝行问降姆e分

13、而此積分可以方便地進(jìn)行計(jì)算，這是三角形面積坐標(biāo)單元的又一優(yōu)點(diǎn)。 (6.3.8)6.3.2 Larange矩形單元和Hermite矩形單元 如果所研究問題的總體域是矩形的，采用矩形單元將比三角形單元更為有效。為了構(gòu)造矩形單元的插值函數(shù)，開始總可以利用笛卡爾坐標(biāo)的多項(xiàng)式式中所包含的項(xiàng)數(shù)應(yīng)等于單元的結(jié)點(diǎn)數(shù)。但為了進(jìn)一步確定上式中的系數(shù) ，將涉及矩陣求逆的計(jì)算，而且在某些情況下逆矩陣并不存在，因此更經(jīng)常的是利用自然坐標(biāo)建立插值函數(shù)。方法是將一維的Larange單元和Hermite單元加以推廣，用來構(gòu)造二維的Larange矩形單元和Hermite矩形單元。1. Larange矩形單元 構(gòu)造任意的Lara

14、nge矩形單元插值函數(shù)的一個(gè)簡(jiǎn)便而系統(tǒng)的方法是利用二個(gè)坐標(biāo)方向適當(dāng)方次Lagrange多項(xiàng)式的乘積。圖6.6 Lagrange矩形單元的一個(gè)典型插值函數(shù)現(xiàn)考慮圖6.6所示單元，其中一系列結(jié)點(diǎn)布置在的插值函數(shù) ，我們已知lagrange多項(xiàng)式在第I列結(jié)點(diǎn)上等于1，而在其它列結(jié)點(diǎn)上等于0。同理 在第J行結(jié)點(diǎn)上等于1，而在其它行結(jié)點(diǎn)上等于0。從以上分析可見，所需要構(gòu)造的插值函數(shù)應(yīng)是 (6.3.9) 在結(jié)點(diǎn)i上等于1，而在其余所有結(jié)點(diǎn)上等于0。這種單元每一邊界上的結(jié)點(diǎn)數(shù)和函數(shù)在邊界上的變化是協(xié)調(diào)的。因而也保證了單元之間函數(shù)的協(xié)調(diào)性。 圖6.7所示為三種形式的Lagrange矩形單元。雖然構(gòu)造它們的插值函數(shù)是很任意的，但是這種類型的單元存在一定缺點(diǎn)，主要是出現(xiàn)了隨插值函數(shù)方次增高而增加內(nèi)結(jié)點(diǎn)，從而增加了單元的自由度數(shù)，而這些自由度的增加通常并不能提高單元的精度。圖6.7 Lagrange矩形單元(a) 線性的 (b) 二次的 (c) 三次的2. Hermite矩形單元 一維的Hermi