統(tǒng)計計算實習(xí)指導(dǎo)書

1、2統(tǒng)計計算賣習(xí)指導(dǎo)書程維虎楊倬編著北京工業(yè)丸學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院2實習(xí)一、頻率直方圖與分布的擬合檢驗實習(xí)二、散點圖與分布的擬合檢驗實習(xí)三、標準正態(tài)分布分布函數(shù)與分位數(shù)的計算實習(xí)四、Beta分布分布函數(shù)與分位數(shù)的計算實習(xí)五、Gamma分布分布函數(shù)與分位數(shù)的計算實習(xí)八、F分布分布函數(shù)與分位數(shù)的計算實習(xí)七、t分布分布函數(shù)與分位數(shù)的計算實習(xí)八、力$分布分布函數(shù)與分位數(shù)的計算實習(xí)九、標準正態(tài)分布隨機數(shù)產(chǎn)生及檢驗實習(xí)十、Beta分布隨機數(shù)產(chǎn)生及檢驗實習(xí)十一、指數(shù)分布和Gamma分布隨機數(shù)產(chǎn)生及檢驗實習(xí)十二、二維標準正態(tài)分布隨機數(shù)產(chǎn)生及檢驗實驗十三、力？分布隨機數(shù)產(chǎn)生及檢驗實習(xí)十四、服務(wù)系統(tǒng)隨機模擬實習(xí)十五、線形

2、回歸模型參數(shù)估計及檢驗實習(xí)十六、R軟件包簡介實習(xí)十七、利用R軟件做統(tǒng)計（一）實習(xí)十八、利用R軟件做統(tǒng)計（二）2實習(xí)一、頻率直方圖與分布的擬合檢驗一、實習(xí)內(nèi)容以下數(shù)據(jù)是120爐鋼中含SI量的生產(chǎn)記錄:0.860.780.830.840.770.840.810.840.810.810.800.810.790.740.820.780.820.780.810.800.810.740.870.780.820.750.780.790.800.850.810.750.870.740.810.710.770.880.780.820.770.760.780.850.770.730.770.780.770.810

3、.710.790.950.770.780.780.810.810.790.870.800.830.770.650.760.640.820.780.800.750.820.820.840.800.790.800.900.770.820.810.790.750.820.830.790.900.860.800.760.850.780.810.830.770.750.780.820.820.780.840.730.850.830.840.810.820.810.850.830.840.890.820.810.850.860.840.820.780.820.78畫等距頻度直方圖；試用/檢驗法和偏峰檢驗法

4、檢驗這組數(shù)據(jù)是否來H正態(tài)總體；試對這組數(shù)據(jù)計算描述統(tǒng)計量(樣本均值、樣本方差、標準偏度系數(shù)和標準峰度系數(shù)等)。二、原理與方案1、原理.畫等距頻率直方圖設(shè)X,(i=l,2,/)是來自分布密度為的總體X的樣本，把X的取值范圍等分成加個小區(qū)間，用d表示區(qū)間長度，化表示落入第i個區(qū)間仏十。的樣本個數(shù)，另一方面乂總體分布密度/(x)及微積分的中值定理，有P1=PtXtj=J,f(x)dx=(t-tJf()，其中w心仏)。用頻率作為概率的估a,=#,).n故可得/C)的估計值：當(dāng)在,fJ上連續(xù)，d很小且樣本容量充分大時，則可用匕作為在小區(qū)間仏十。上的近似值，這就是估計密度函數(shù)的等距頻率直方圖法。./檢驗設(shè)

5、X,(心1,2,/)是來IH總體X的樣本，欲檢驗為 2總體X的分布為正態(tài)分布N(/i,a2)在實軸上取加個點：t2-0)：只耍有一個不成立時，就認為原總體不是正態(tài)分布；如果均成立，就不能否認總體服從正態(tài)分布。.描述統(tǒng)計量計算公式】=丄兀，S2=(X1-X)ni=l11一1i=l2、實驗步驟.使用SPSS繪制等距頻率氏方圖確定區(qū)間端點，分組數(shù)，組距設(shè)x(1)=minxz,經(jīng)常取a=“_=兔”)+w由樣本容量巾決定分組數(shù)加；組距d=(b_a)m可根據(jù)實驗數(shù)據(jù)的有效數(shù)字來決定，如兀具有小數(shù)點后兩位數(shù)字,可取=0.005。加常取為1.87x(n-l)2,5o計算分組頻數(shù)和頻率用7-1個分點兒t2/,_

6、!把區(qū)間。上等分成7個小區(qū)間，記4=2嚴,第i個小點間為心畀)計算滿足不等式：心廠h(j=1,23-,/=1,2,-m)的數(shù)據(jù)兀的個數(shù)/,。稱ZZ,(/=1,2,加)為小(心1,2,7)為U上的nm區(qū)間心,門上的經(jīng)驗頻數(shù)。顯然=n。稱乞=i=l經(jīng)驗頻率。畫頻率直方圖記兒=以小區(qū)間“乂)為底，為高作長方形(/=1,2,/)o這樣畫出一排豎著的長方形即為頻率直方圖。打開SPSS11.5，輸入120個數(shù)據(jù)，點擊GraphsHistogram # #2 # #2選擇、添加變量；Histogram21 # #2 2廠DisplaynormalcurveVariable：varOOOOiTemplate廠

7、Usechartspecificationsfrom：File.I點擊OK鍵，可得到肖方圖.非參數(shù)檢驗A.才檢驗法由于直方圖中有的小區(qū)間頻數(shù)不足5,故先對個區(qū)間重新分組，確定各新區(qū)間的上下限，積分求出各區(qū)間上的概率卩。用SPSS實現(xiàn)過程如下：將各組上下限值作為變量輸入；計算各個區(qū)間概率門值。依次執(zhí)行transfonn-compute,彈出窗口，并進行相關(guān)設(shè)置，如下圖：；ComputeVariableNumericExpression:工呵1V時bble:IraType&Label.-影zoCDF.NORMAL(b,0.80X0.04|-CDF.NORMAL歸刀.803.(MJ亠IdFuncti

8、ons:0I-Delete=IjjjjpADS(numexpr)ANY(tcsLvaluc,valuc,.)ARSIN(numcxpr)ARTAN(numexpr)CDFNORM(zvaluc)CDF.BERNOULLI(q,p)ResetCancelHelpzJ單擊OK后，即得各區(qū)間概率值5),如圖所示:abPi0.6250.7250.030.7250.750.070.750.7750.150.7750.80.230.80.8250.240.8250.850.170.850.950.12再使用EXCEL計算V的值：代山V0.0361.60.07110.8047620.15263.555556

9、0.23310.4188410.24212.11250.17170.5666670.1282.844444V=11.90277B.偏峰檢驗法輸入數(shù)據(jù)，依次執(zhí)行analyze-descriptivestatisticsdescriptives,然后選中含SI量，單擊option進入descriptives：option窗口，勾選kurtosis和skewness選項，單擊continue,0K后，生成圖表：DescriptiveStatisticsNKurtosisStatisticStatisticStd.ErrorStatisticStd.ErrorSIrecordValidN(listwi

10、se)120120323.2212.196.438.對這組數(shù)據(jù)計算描述統(tǒng)計量打開SPSS11.5,輸入數(shù)據(jù)，點擊AnalyzeDescriptivestatisticsFrequencies,選擇、添加變量點擊Statistics鍵，勾選mean,variance,skewness,kurtosis頁點擊Continue鍵及OK鍵，生成圖表。實習(xí)二、散點圖與分布的擬合檢驗一、實習(xí)內(nèi)容以下數(shù)據(jù)是變量X和Y的34次觀測值:XYXYXYXY180200116100145165115120104100123110141135191205134135151180144160190220141125110

11、130190190153145204235108110190210155160150170158130161145177185121125107115165195177205151135180240154150143160147155127135.作圖方式對以上數(shù)據(jù)畫散布圖；.用Q-Q檢驗圖法分別檢驗變量X和丫的觀測數(shù)據(jù)是否可以認為來白正態(tài)總體分布；.計算變量X和丫的描述統(tǒng)計量(樣本均值、樣本方差、中位數(shù)、眾數(shù)、標準偏度系數(shù)和標準峰度系數(shù))。二、原理與方案1、原理Q-Q圖檢驗法假設(shè)樣本來H正態(tài)總體，把觀測的數(shù)據(jù)從大到小排列，記為：x由于分布函數(shù)近似等于樣本經(jīng)驗分布函數(shù)，有F(x)=P(Xx)F

12、(x)若記標準正態(tài)分布函數(shù)為(x),則有=，從而匕乜(勸)三弘.(7故有:X=6+“。在0“X平面上，x=an+/表示斜率為(7,截距為“的直線。在平面上作點(m,.,x(0)(i=1,2,/),如果“個點近似在一條直線上，樣本來自正態(tài)總體的假設(shè)成立；否則不成立2、實驗步驟.對以上數(shù)據(jù)畫散布圖打開SPSS11.5,輸入34組數(shù)據(jù)，點擊GiaphsScatter選擇Simple,點擊Define鍵選擇、添加變量點擊OK鍵。即可得到散布圖。（2）.QQ檢驗圖法分檢驗變量數(shù)據(jù)是否來H正態(tài)總體把原始數(shù)據(jù)X、Y依小到大順序排列：與“）相應(yīng)的事件X%）的概率為門=代（）=匸產(chǎn)：與治相應(yīng)的事件r0,且卩分位

13、數(shù)與上側(cè)概率分位數(shù)有以下關(guān)系式：當(dāng)0vpv0.5,a=/;,當(dāng)0.5p(x)；ai=i-l(i=2,3,29):b0=1；bi=x(i=l,2,，29)。.根據(jù)遞推公式伙=2,3,4-)Ao=bo|dibAj+diA_A-2Bo1BiQbibiBibkB；-i+aBk-2.魯為所求標準正態(tài)分布連分式的近似值。實習(xí)四、Beta分布分布函數(shù)與分位數(shù)計算實習(xí)四、Beta分布分布函數(shù)與分位數(shù)計算 #2一、實習(xí)內(nèi)容當(dāng)為大丁()的實數(shù)時，編制用連分式逼近法計算Beta分布的分布函數(shù)IXM的程序；編制用二分法求Beta分布的分位數(shù)0,的程序；編制用近似公式x0=和近似公式fI計算q,b)的a+bF1-x0程

14、序。二、原理1、連分式逼近法計算Beta分布的分布函數(shù)1上小)=r(a+b)xa(l-x)b1r(a+i)r(b)Li+1+實習(xí)四、Beta分布分布函數(shù)與分位數(shù)計算實習(xí)四、Beta分布分布函數(shù)與分位數(shù)計算 # #2實習(xí)四、Beta分布分布函數(shù)與分位數(shù)計算實習(xí)四、Beta分布分布函數(shù)與分位數(shù)計算 # 2取n二30時(精度為1(F)其中k(a+b+k-1)x(a+2k-l)(a+2k)l-x(k=l,2,),(a+klXb-k)xb”=(a+2k-2)(a+2k1)1一x當(dāng)X(a-l)/(a+b-2)時，利用/1-v(b,6/)=1-Ix(a,b)先計算I(b,a),然后得到Iv(a,b)o當(dāng)ma

15、x(a,b)1,且時，或者當(dāng)al,且xa時，或者當(dāng)avl,且x1時，取前節(jié)連分式作為G(x|a)的近似公式。實習(xí)六、F分布分布函數(shù)與分位數(shù)的計算實習(xí)六、F分布分布函數(shù)與分位數(shù)的計算 # #一、實習(xí)內(nèi)容用Beta分布與F分布的關(guān)系計算F(m,n)的分布函數(shù)F(x|m,n)和分位數(shù)巧,。二、原理1、利用Beta分位數(shù)0”計算F分布的分位數(shù)：由F分布函數(shù)與Beta分布函數(shù)的關(guān)系，可知巧，滿足nzmn從而你與Q滿足關(guān)系式:故Fp(m,n)=呱勺Q)m(l-pp(y,y)ZrZrmxn+mx2、利用Beta分布函數(shù)求F分布函數(shù)F(xIm,n)=片礙，夕)，其中y=ZiZr實習(xí)七、t分布分布函數(shù)與分位數(shù)的

16、計算一、實習(xí)內(nèi)容用Beta分布與t分布的關(guān)系計算t(i】)分布的分布函數(shù)T(t|i】)和分位數(shù)J。二、原理1、利用Beta分位數(shù)Bp計算t分布的分位數(shù)：由t分布的分布函數(shù)與hS，b)的關(guān)系知：當(dāng)|pl時，0X),且.滿足：T(r/,|/O=i-|/v(p|)=P-由此得：/x(-,)=2(1-p)=/o故Beta分位數(shù)化.和t分布函數(shù)。滿足關(guān)系式:22冷用。于是有:m滬實習(xí)六、F分布分布函數(shù)與分位數(shù)的計算實習(xí)六、F分布分布函數(shù)與分位數(shù)的計算 # # #實習(xí)六、F分布分布函數(shù)與分位數(shù)的計算實習(xí)六、F分布分布函數(shù)與分位數(shù)的計算 # # #當(dāng)ovpv丄，rp0ro實習(xí)八、*分布分布函數(shù)與分位數(shù)的計算

17、實習(xí)八、*分布分布函數(shù)與分位數(shù)的計算 # #一、實習(xí)內(nèi)容用遞推算法求*()分布函數(shù)H(xn)和牛頓法求分布的分位數(shù)加的程序。二、原理1、的遞推算法由分部積分法易得才S)分布函數(shù)得遞推計算公式：H(xn)=H(x|-2)-2/(x|n)“血心丄/(兀|一2)d,.)77-21(丫、專T_1其中f(xn)=-e2o遞推初值為：2r-H(x11)=J(x11)=22兀xi-IH(x|2)=1f(x2)=-e22、牛頓迭代法求分位數(shù)求解方程H(x|/?)-p=0的根為所求分位點(2)牛頓迭代公式：xk+l=xk-4f()y2-i其中f(x)=H(xn)一p,fr(x)二e3。易知Newton法迭代是超

18、線性收斂的，所以它比較快捷。 # #實習(xí)九、標準正態(tài)分布隨機數(shù)產(chǎn)生及檢驗一、實習(xí)內(nèi)容1、用近似抽樣法和Hasting有理逼近法產(chǎn)生N(OJ)隨機數(shù);2、用變換抽樣法和Kahn密度逼近法產(chǎn)生7V(0J)隨機數(shù)。二、原理1、近似抽樣法和Hasting有理逼近法：基丁中心極限定理的近似抽樣法6設(shè)人也乙為均勻隨機數(shù)，近似抽樣公式為佑-加)N(OJ)f=l定理設(shè)F(x)是連續(xù)函數(shù)且嚴格單調(diào)上升的分布函數(shù)，它的反函數(shù)存在，且記為Fx),即FF_1(x)=Xo若隨即變量0.5C.5+qy+c汀2、1+d+cy2+d3y # # # #其中c0=2.515517C=0.802853c3=0.010328d0=

19、1.432788d2=0.189269d3=0.001308則X是N(0)隨機數(shù)。顯然當(dāng)r=l/2時，X=0。利用這一方法進行抽樣，誤差小于lOo2、變換抽樣法和Kahn密度逼近法：Box和Muller提出的變換抽樣法設(shè),乙為均勻隨機數(shù)，變換抽樣公式為U=2Incos27rr2,U2=2lmsin27rr2.由兩個獨立的均勻數(shù)，利用變換公式可得兩個獨立的7V(0J)隨機數(shù)。此算法是較常用的抽樣法，但計算量較大。Kahn方法：Kahn對半正態(tài)密度給出了一個漸近函數(shù),適當(dāng)選取d使g（x）為密度函數(shù)。用直接抽樣法對密度為g（x）的分布進行抽樣,得抽樣公式為：近似為半正態(tài)分布；然后隨機地確定符號，即得

20、正態(tài)隨機數(shù)。實習(xí)十、Beta分布隨機數(shù)產(chǎn)生及檢驗一、實習(xí)內(nèi)容1、當(dāng)a,b為整數(shù)時，用值序抽樣法產(chǎn)生0（,b）隨機數(shù)。2、用簡單舍選法和舍選抽樣法I產(chǎn)生0上）隨機數(shù)，并比較之。二、原理1、當(dāng)a,b為整數(shù)情況可以用值序（順序）抽樣法產(chǎn)生0（。上）隨機數(shù)。Beta分布的密度函數(shù)為/1一)xal(1-x/，_10 x10其他設(shè)&,&獨立，均來HU（U）,據(jù)定理，R（i）=min（R1,.,Rn）p（l,n）,R（n）=max（R1,.,Rn）p（ii,l）.,一般地產(chǎn)生0,b）隨機數(shù)的（a,b梏數(shù)）步驟如下產(chǎn)生n=a+b-l個均勻隨機數(shù)?,乙；（2）排序：耳/S-./；;（3）令加仏），并輸出服從0（

21、a,b）分布的隨機數(shù)頭為了得到次序統(tǒng)計量,把樣本,/；按從小到大的次序重新排列。當(dāng)”很大時，排序的計算量是很大的。利用以上介紹的次序統(tǒng)計量與Beta分布統(tǒng)計量的關(guān)系，反過來可用beta隨機數(shù)來產(chǎn)生個分布為尸（兀）的次序統(tǒng)計量，具體步驟如下：（1）產(chǎn)生v-/7（/,h-/+1）；（2）令乳=尸一】）,則X的個分布為尸的隨機變量的次序統(tǒng)計量X的抽樣值。2、用簡單舍選法和舍選抽樣法I產(chǎn)生Ma,b）隨機數(shù)舍選抽樣法I的算法由Alliens和Dieter給出。利用以下不等式：-2cfx-AcB，一切Xe（0,1）Cc1,轉(zhuǎn)到（2）重新抽樣；（4）生成RU（0,l）,且與丫獨立；（5）如果（X,R）滿足：

22、lii7?1但非整數(shù)的情況,用變換抽樣法產(chǎn)生r（r/,l）的隨機數(shù)。二、原理1、用VonNeumann的抽樣方法產(chǎn)生w（l）隨機數(shù)：VonNeumann巧妙地應(yīng)用了舍選抽樣地技巧，提出了產(chǎn)生2=1的指數(shù)分布隨機數(shù)的方法。對參數(shù)d1但非整數(shù)的情況，用近似復(fù)合抽樣法產(chǎn)生（億1）的隨機數(shù)，Gamma分布r（a,b）的密度函數(shù)為r（d）(/0;參數(shù)d0,b0)如果X-r（J）,令X=X/b,則Xi_F（）。對于。1的情況，Naylor給出的近似復(fù)合抽樣法如下:（1）以概率人=同+1-。生成鞏1）;（2）以概率P2=a-a生成r（+U）o #VonNeumann法的流程圖: # #2、用Marsagli

23、a的抽樣方法產(chǎn)生w(l)隨機數(shù)Marsaglia通過計算推導(dǎo)，給出了兄二1的指數(shù)分布隨機數(shù)X的抽樣公式:X=M+min(?乙，工PM=m=pN=n=w其中M,N是離散隨機變量，且(m=0,1,2,)(“=1,2,)對參數(shù)Q1但非整數(shù)的情況，用變換抽樣法產(chǎn)生(d,l)的隨機數(shù)。Fishman給出的舍選和變換的綜合抽樣法。步驟如下產(chǎn)生廠i7(0,l),令X=-lnr(即X-e(l)；產(chǎn)生7(0丄)，且與X獨立；(3)如果丫S,取g=aX,并輸出分布為g)的隨機數(shù)，否則轉(zhuǎn)到(1)重新抽樣。is #實習(xí)十二、二維標準正態(tài)分布隨機數(shù)產(chǎn)生及檢驗一、實習(xí)內(nèi)容用修正變換抽樣法和“極坐標”抽樣法產(chǎn)生隨機數(shù)二、原

24、理1、修正變換抽樣法：變換抽樣法因必須計算血2刃?和cos2冰，計算量大。修正變換抽樣法利用舍選抽樣法產(chǎn)生sin2刃?和cos27?的隨機數(shù)。設(shè)（0），令=sin27?=sin26Z,=cos2/?=cos21,則轉(zhuǎn)到（1）重新抽樣；否則令X=J-21111_,X,=J-21n內(nèi)址.貝IJ（X,XJ2/（0,厶）（即產(chǎn)生的X和X?為相互獨立的標準正態(tài)分布隨機數(shù)）。2、“極坐標”抽樣法這是Marsaglia（1962）給出的對變換抽樣的改進方法，它取消了三角函數(shù)的運算。效率可比變換抽樣法提高。極坐標法的具體步驟如下：（1）產(chǎn)生人七（0丄）；令V；=2r,-l,V2=2-l;（2）如果W=Vf+V

25、1,轉(zhuǎn)到（1）:則XV.Y.XV.Y為相互獨立的N（0J）隨機數(shù)。事實上，因(匕,仏)-/(兒宀)=盲1且p=V2+V2!|=00其他4故(x15x2)的聯(lián)合分布函數(shù)為:pXx19X.x，m2+V?1時，(pw1=1-tt/4),重新產(chǎn)生均勻隨機數(shù)，故得到一對N(OQ隨機數(shù)所需的(/(0J)隨機數(shù)的數(shù)目是隨機的(大丁J)o隨機地確定符號，即得正態(tài)隨機數(shù)。實驗十三、*分布隨機數(shù)產(chǎn)生及檢驗一、實習(xí)內(nèi)容1、用變換抽樣法由N(OJ)隨機數(shù)產(chǎn)生z3(n)隨機數(shù)。2、用變換抽樣法由Gamma隨機數(shù)產(chǎn)生力)隨機數(shù)。二、原理1、利用分布與標準正態(tài)分布的關(guān)系有以下抽樣法：產(chǎn)生x】，X2,x”n(u),相互獨立；

26、令X=X：+X；+X；,并輸入分布為的隨機數(shù)X2、根據(jù)才)與中)有如下關(guān)系：若YT中)，則X=2Yz2(h)o特別當(dāng)n二偶數(shù)時，算法如下：(1)產(chǎn)生人上，山一一“(OJL)，其中r當(dāng)為偶數(shù)時乎當(dāng)初奇數(shù)時，為整數(shù))(2)計算丫=一11心匕幾)；當(dāng)n為偶數(shù)時,令X=2Y；當(dāng)n為奇數(shù)時，產(chǎn)生ZN(0,1)，令X=2Y+Z2,那麼由此得到的X為z2(70隨機數(shù)。實習(xí)十四、服務(wù)系統(tǒng)隨機模擬一、實習(xí)內(nèi)容設(shè)某商店只有一個貨物員。假定該店上午9點開門，下午5點開門（耍求把5點前進店現(xiàn)還在排隊等待的顧客服務(wù)完畢才關(guān)店）。請模擬這種單服務(wù)員排隊系統(tǒng)；并估計出顧客平均等待時間、平均服務(wù)時間、排隊中的顧客平均數(shù)（假設(shè)顧客到店的時間間隔和服務(wù)時間為指數(shù)分布，其參數(shù)可以變化）。二、原理與方案顧客到達的時刻是隨機的，每個顧客的服務(wù)時間是隨機變量，顧客按先到先服務(wù)的原則等待服務(wù)。這類單服務(wù)臺排隊系統(tǒng)的模型可見下圖：用隨機方法求解：1、實地調(diào)査并收集和處理調(diào)出數(shù)據(jù)。記錄每個顧客到達的時刻，等待時間等。估計這些隨機因素的統(tǒng)計規(guī)律性，本題顧客到店的時間間隔和服務(wù)時間均為指數(shù)分布。2、構(gòu)造模擬模型。3、模擬實驗。我們模擬的模型包含時間因素，即我們耍模擬的是服務(wù)系統(tǒng)在8小時工作時間內(nèi)的運行情況，在這類模型也稱為動態(tài)模擬模型，并給出