2022年《信號(hào)分析與處理》備課教案

1、其次章：?jiǎn)屋斎雴屋敵鱿到y(tǒng)的時(shí)域分析 2.1. 概述系統(tǒng)分析的主要任務(wù)是解決在給定的鼓勵(lì)作用下,系統(tǒng)將產(chǎn)生什么樣的響應(yīng)；即假如系統(tǒng)（這里指“ 線性時(shí)不變LTI 系統(tǒng)” ,以下相同）是確定的,鼓勵(lì)是已知的,就響應(yīng)肯定也是確定的；系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的時(shí)域描述主要有兩種形式：“ 輸入輸出描述” 與“ 狀 態(tài)變量描述” , 本章只涉及“ 輸入輸出描述” ,即采納微分或差分方程對(duì) 系統(tǒng)進(jìn)行描述；為了確定一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)在時(shí)域中對(duì)給定鼓勵(lì)的響應(yīng),第一要建立描述該系統(tǒng)的微分方程（對(duì)于連續(xù)系統(tǒng)） 或差分方程 （對(duì)于離散系統(tǒng)） ,并求出滿意給定初始狀態(tài)的解；這里,解就是系統(tǒng)的響應(yīng)； LTI連續(xù) / 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析

2、,可以歸結(jié)為： 建立并求解線性微分/差分方程； 這也稱之為系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)求解的“ 經(jīng)典法” ；由于在其分析過程涉及的函數(shù)變量均為時(shí)間 t ,故這一方法稱之為 “ 時(shí)域分析法”；這種方法比較直觀,物理概念清晰,是學(xué)習(xí)各種變換域分析法的基礎(chǔ)；幾個(gè)重要的概念：由于對(duì)“ 線性時(shí)不變 LTI 系統(tǒng)” 在時(shí)域中進(jìn)行描述的數(shù)學(xué)模型就是“ 微分方程 / 連續(xù)系統(tǒng)”和“ 差分方程 / 離散系統(tǒng)”,因此這些方程的“ 解”就是系統(tǒng)的 “ 時(shí)域響應(yīng)”,進(jìn)而又可以依據(jù)“ 解的形式” 分解為“ 自由響應(yīng)”和“ 強(qiáng)制響應(yīng)”,也可以依據(jù)“ 響應(yīng)產(chǎn)生的緣由” 分解為“ 零輸入響應(yīng)”和“ 零狀態(tài)響應(yīng)”；1、自由響應(yīng)“ 微分方程 /

3、 差分方程” 的“ 齊次通解” 就是系統(tǒng)的“ 自由響應(yīng) / 固有響應(yīng)” ,其只取決于系統(tǒng)本身的特性；也就是說,對(duì)于同一個(gè)系統(tǒng),在不同的鼓勵(lì)作用下,系統(tǒng)“ 自由響應(yīng)” 的形式是相同的；（但系數(shù)仍與“ 激勵(lì)形式和系統(tǒng)初始狀態(tài)” 有關(guān)）2、強(qiáng)制響應(yīng)“ 微分方程 / 差分方程”的“ 特解” 就是系統(tǒng)的 “ 強(qiáng)制響應(yīng) / 受迫響應(yīng)” ,其形式由系統(tǒng)的鼓勵(lì)所打算；3、零輸入響應(yīng) 指鼓勵(lì)輸入為零時(shí),僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)所產(chǎn)生的系統(tǒng)響應(yīng)；4、零狀態(tài)響應(yīng) 指系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零,僅由鼓勵(lì)輸入所引起的系統(tǒng)響應(yīng)；5、全響應(yīng) 系統(tǒng)全響應(yīng) = 自由響應(yīng) +強(qiáng)制響應(yīng) = 零輸入響應(yīng) +零狀態(tài)響應(yīng)2.2. 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析

4、見書上 P2430,由于該部分內(nèi)容已在高等數(shù)學(xué)與電路原理課程中作 過較具體的爭(zhēng)論,因此本課程中為“自學(xué)內(nèi)容 ” ；2.3. 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析 一、差分與差分方程 1、差分 設(shè)有序列 fk ,就 , fk+2 ,fk+1 , , fk-1,fk- 2 等稱 為fk 的移位序列 ；仿照連續(xù)信號(hào)的微分運(yùn)算,如下式所示：定義離散信號(hào)的 差分 運(yùn)算表達(dá)式如下：即一階后向差分定義：fkfkfk1式中, 稱為差分算子；本課程主要用后向差分,簡(jiǎn)稱為 差分 ；2、差分方程包含未知序列 yk 及其各階差分的方程式稱為 為移位序列 ,得一般形式差分方程 ；將 差分 綻開即,in0aniykijm b m 0jfk

5、j,其中an1上式稱為 n階（后向形式）差分方程；差分方程本質(zhì)上是遞推的代數(shù)方程,如已知初始條件和鼓勵(lì),利用迭代法可求得其數(shù)值解；這種方法可以稱之為差分方程的“ 迭代解法” ,但是采納這種方法一般不易得到解析形式的解,或稱“閉合解 ” ；二、差分方程的建立一般情形下,實(shí)際的物理系統(tǒng)都是連續(xù)的模擬系統(tǒng)；對(duì)于 SISO線形時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng),描述其的數(shù)學(xué)模型一般是微分方程形式；但是對(duì)于這樣的數(shù)學(xué)模型,通過“差分法 ” 即可以通過微分方程推導(dǎo)出差分方程,從而成為處理離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型；例1: 考慮一個(gè) RC串聯(lián)電路如下列圖,我們第一建立描述這一連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,由電路運(yùn)算基本規(guī)律：itRCrte t（

6、2.3-1 ）idrt,代入上式并經(jīng)整理,可得到：dtdrt1r t1e tdtRCRC這是一個(gè)一階微分方程,也就是描述RC串聯(lián)電路系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)模型,這里 e t 為系統(tǒng)輸入,r t 為系統(tǒng)輸出；下面采納“ 差分法” 將該微分方程離散化；考慮如將連續(xù)變量 t 以步長(zhǎng) T 為間距進(jìn)行等分, 可得到 t nT s n ,1,0 ,2 ,所以產(chǎn)生了離散變量nT ,從而連續(xù)函數(shù) s r t 在 t nT s 各點(diǎn)的取值就構(gòu)成了離散序列 r nT s ；在 T 足夠小的情形下,微分運(yùn)算就可以表示為：sdr t r n 1 T s r nT s ,將此式代入上面的（2.3-1 ）式,得：dt T

7、 sr n 1 T s r nT s 1 r nT s 1 e nT s T s RC RC整理后可得：r n 1 T s T s 1 r nT s T s e nT s RC RC取 T 為單位時(shí)間,即 s T s 1,可得：r n 1 RC 1 1 r n RC 1 e n 令 a 0 1 RC 1,b 0 1 RC,可得：r n 1 a 0 r n b 0 e n 從而得到描述離散系統(tǒng)的一階線形常系數(shù)差分方程；例2: 某人每月向銀行存款,當(dāng)月存入無(wú)利息, 月底結(jié)算, 月利息為元/ 月；設(shè)第 k月存入 fk 元,月底結(jié)余為 yk 元, k-1 月底結(jié)余為 yk-1元,以 fk 為銀行系統(tǒng)的

8、輸入,yk 為輸出,就 yk 與fk 的關(guān)系為：即：y ky k1ky k1kfky k1y 1f此即為描述這一銀行結(jié)余系統(tǒng)的差分方程；問題：1自由響應(yīng)與強(qiáng)制響應(yīng)的區(qū)分是什么？2零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的區(qū)分是什么？3在時(shí)域中對(duì)于 LTI系統(tǒng),“ 輸入輸出描述” 方式的系統(tǒng)數(shù)學(xué) 模型是什么？為什么？三、差分方程的經(jīng)典解 對(duì)于形如下式描述的離散系統(tǒng)差分方程：其全響應(yīng)可由以下兩種分解響應(yīng)構(gòu)成：完全解 /全響應(yīng) = 齊次解 /自由響應(yīng) +特解/強(qiáng)制響應(yīng)yky hkypk完全解 /全響應(yīng) = 零輸入響應(yīng) +零狀態(tài)響應(yīng)A、齊次解yhk與特解ykyxkyfkykn 0ypk的求解1、齊次解yhkan1yk1

9、 a 0齊次方程 為：yk具體考察一階齊次差分方程yka 1yk10k這里a 1yykk1 明顯,yk是一個(gè)公比為a 的幾何級(jí)數(shù), 于是, 一階差分方程的齊次解yhk的一般形式為yhkca 1k對(duì)于 n階齊次差分方程, 齊次解是 n個(gè)形如ck的函數(shù)組合而成, 將c代入 n階齊次差分方程,就有特點(diǎn)方程 為：n,an1n1an2n2a00其根ii,1 ,2n稱為差分方程的 特點(diǎn)根 ；齊次解的形式取決于特征根,具體情形如下：當(dāng)特點(diǎn)根為單根時(shí),齊次解yhk的形式為：Ck當(dāng)特點(diǎn)根為 r 重根時(shí),齊次解yhk的形式為：C r1 kr1Cr2kr2C 1 kC 0k2、特解ypk特解的形式與鼓勵(lì)的形式相同,

10、 主要分為以下三種形式：ypkPcoskQsink方程兩邊同時(shí)除以2 得：kP2PP1,解得：P14所以得特解 強(qiáng)制響應(yīng) ：ypk1 42k2k2,k002故全解為ykyhypk2k2,C 1 kkC2將初始條件代入上式,可得：10C22221y h解得：kC 11 C 1C 22 C 214所以齊次解 自由響應(yīng) 為：k1 42k因此,系統(tǒng)的全響應(yīng)為：ykyhkypkk12k2k2,k04總結(jié)求解的過程如下：（1）由差分方程得到“ 特點(diǎn)方程” ,求解得到特點(diǎn)根；（2）由特點(diǎn)根得到“ 自由響應(yīng)”yh k 的一般式（包含待定系數(shù)）（3）由鼓勵(lì)確定“ 強(qiáng)制響應(yīng)”y p k 的形式（包含待定系數(shù)）（4

11、）將 yp k 代入原差分方程, 求得待定系數(shù), 從而求得“ 強(qiáng)制響應(yīng)”yp k （5）列出全響應(yīng)表達(dá)式 y k y h k y p k （此時(shí)仍有 yh k 的待定系數(shù)待求出）（6）將初始條件代入上面的全響應(yīng)表達(dá)式,求出yhk的待定系數(shù),最終求得 “ 自由響應(yīng)”yhk和“ 全響應(yīng)”y kB、零輸入響應(yīng)yxk與零狀態(tài)響應(yīng)y fk的求解依據(jù)定義,零輸入響應(yīng)是鼓勵(lì)為零時(shí)（即無(wú)鼓勵(lì)時(shí)）,僅由系統(tǒng)的初始條件所產(chǎn)生的響應(yīng),因此零輸入響應(yīng)也就是滿意初始條件的 齊次方程的解；對(duì)于零狀態(tài)響應(yīng),因是在鼓勵(lì)之下產(chǎn)生的響應(yīng),因此應(yīng)是非齊次方程的解（即包含齊次解和特解兩個(gè)部分）；設(shè)鼓勵(lì) fk 在k=0時(shí)接入系統(tǒng) ,通

12、常以 y1, y 2 , ,yn描述系統(tǒng)的 初始狀態(tài) , 就對(duì)于零狀態(tài)響應(yīng), 必有：y 1 y 2 y 3 y n 0由此“ 零狀態(tài)響應(yīng)意義下”初始條件可以確定零狀態(tài)響應(yīng)的待定系數(shù)；例：如描述某離散系統(tǒng)的差分方程為y kf3yk212yk2 fk10,y212,求系統(tǒng)已知鼓勵(lì)kk,k0,初始狀態(tài)y 的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)；解： 1 先求零輸入響應(yīng),由差分方程得特點(diǎn)方程如下：2320, 解得：11,222k因此齊次方程的解為：yxkCx11 kCx2將初始狀態(tài)y10,y212代入上式,可得：0Cx 11 1Cx221,解得：Cx 111Cx 112Cx2222Cx22所以,零輸入響應(yīng)y

13、xk1 k2 2k,k0（2）求零狀態(tài)響應(yīng)a、求出特解（強(qiáng)制響應(yīng)）將y由于fkk2k,k0,所以有ypkP2kpkP2代入原差分方程,得：P2k3P2k12P2k22k方程兩邊同除以2 可得：kP3P1P1,解得：P120, 可得：223所以,特解 強(qiáng)制響應(yīng) 為：ypk12k,k0y 2 3b、 零狀態(tài)響應(yīng) 應(yīng)由齊次解和特解兩部分組成 yfkCf1 1 kCf22kypkCf11 kCf22k132k代入 “ 零狀態(tài)響應(yīng)意義下”的初始條件y 10Cf111Cf22113 21解得：Cf1130Cf12Cf2 2 1/3 22,Cf112故零狀態(tài)響應(yīng)為：yfk11k2k12kk033（4）求全響

14、應(yīng)ykyxkyfk21 k2k12 k,k033總結(jié)求解的過程如下：（1）由差分方程得到“ 特點(diǎn)方程” ,求解得到特點(diǎn)根；（2）由特點(diǎn)根得到“ 自由響應(yīng)”yx k 的一般式（包含待定系數(shù)）（3）直接將初始條件 代入 yx k ,求出待定系數(shù),從而直接得到“ 零輸入響應(yīng)”yx k ；（3）由鼓勵(lì)確定“ 強(qiáng)制響應(yīng)”y p k 的形式（包含待定系數(shù)）（4）將 yp k 代入原差分方程, 求得待定系數(shù), 從而求得“ 強(qiáng)制響應(yīng)”yp k （5）列出“ 零狀態(tài)響應(yīng)表達(dá)式 = 齊次解 +特解” 形式（此時(shí)有齊次解的待定系數(shù)待求出）,即y fk = yxk+ypk（6）將 “ 零狀態(tài)響應(yīng)意義下” 的初始條件代

15、入上面的零狀態(tài)響應(yīng)表達(dá)式,求出待定系數(shù),最終求得“零狀態(tài)響應(yīng)”y fk3y4 0作（7）“ 全響應(yīng)”y k=yxk+y fky 摸索題： 在上面的例題求“ 零狀態(tài)響應(yīng)” 時(shí),能否用為“ 零狀態(tài)響應(yīng)意義下”的初始條件來(lái)求解待定系數(shù)；書本上例題要求：P32 例2-6 、例 2-7 、例 2-8 ；P34 例2-9 ；P35 例2-10 2.4. 系統(tǒng)的單位沖擊響應(yīng)與單位樣值響應(yīng)一、單位沖擊響應(yīng)對(duì)于線形時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng),由單位沖激函數(shù) t 所引起的 零狀態(tài)響應(yīng)（即系統(tǒng)初始狀態(tài)為零）稱為 單位沖激響應(yīng) ,簡(jiǎn)稱沖激響應(yīng), 用 h t 表示；沖激響應(yīng) h t 反映了系統(tǒng)特性, 或稱反映了系統(tǒng)的本質(zhì)特點(diǎn)

16、指連續(xù)時(shí)間系統(tǒng) ；直觀上懂得,可以認(rèn)為系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h t 就表征了 系統(tǒng)本身 ；鼓勵(lì) t System 響應(yīng) h t 初始狀態(tài)為零 沖激響應(yīng)h t具體求解方法, 見教材 P36 37,該部分為“ 自學(xué)內(nèi)容 ” ；二、單位樣值響應(yīng)對(duì)于線形時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng),由單位樣值函數(shù) k 所引起的 零狀態(tài)響應(yīng)（即系統(tǒng)初始狀態(tài)為零） 稱為 單位樣值響應(yīng) ,簡(jiǎn)稱單位響應(yīng), 用 h k 表示；單位樣值響應(yīng) h k 反映了系統(tǒng)特性, 或稱反映了系統(tǒng)的本質(zhì)特點(diǎn) 指離散時(shí)間系統(tǒng) ；直觀上懂得,可以認(rèn)為系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng) h k 就表征了系統(tǒng)本身 ；鼓勵(lì)kSystem 響應(yīng)h k初始狀態(tài)為零 留意要點(diǎn)： 依據(jù)k 的定

17、義,k1k00k0因此,k 作為系統(tǒng)的輸入,僅在k0的時(shí)刻作用于系統(tǒng),在k0以后,鼓勵(lì)作用就已消逝；例1 已知某系統(tǒng)的差分方程為：y k y k 1 2 y k 2 f k 試求該系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng) h k ；解：依據(jù) h k 的定義,當(dāng)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零時(shí),假如對(duì)系統(tǒng)的鼓勵(lì)輸入為k ,就系統(tǒng)的響應(yīng)就是單位樣值響應(yīng) h k ；因此有下式成立：h k h k 1 2 h k 2 k （1）考慮到 h k 實(shí)質(zhì)上就是一種零狀態(tài)響應(yīng)（只不過輸入是 k 信號(hào)） ,系統(tǒng)初始狀態(tài)為零,因此有：h 1 h 2 0（1）遞推求初始值 h 0 和 h 1將方程（ 1）移項(xiàng)改寫為：h k h k 1 2 h k 2

18、 k 因此有：h 0 h 1 2 h 2 0 0 0 1 1h 1 h 0 2 h 1 1 1 0 0 1至此,在 k 0 時(shí)刻,我們已經(jīng)求出了 h k 在這一時(shí)刻的響應(yīng) h 0 1；（由于在 k 0 時(shí)刻,系統(tǒng)作用有鼓勵(lì)信號(hào) k ,因此 h 0 必需單獨(dú)求出）（2）用傳統(tǒng)解法求解在 k 0 以后的 h k 對(duì)于在k0時(shí),由于這時(shí)k0,即此時(shí)系統(tǒng)以沒有鼓勵(lì)輸入作用,因此方程（ 1）就變?yōu)榱她R次方程,可以采納經(jīng)典解法進(jìn)行求解,此時(shí)的h k也就是齊次差分方程的齊次解；hkhk12 h k2 0其特點(diǎn)方程為：220,解得：11,22因此得齊次解為：hkC 11kC22k,k0將上面求出的初始條件h0 1代入上式并求解,可得：C 113h 1 1C 223因此,hk11 k22k,k033驗(yàn)證上式,當(dāng)k0時(shí),滿意h k1,因此上式可進(jìn)一步表示為：h k11k22k,k0,或者,hk11k22kk3333至此,我們就求解出了該系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)h k；摸索題： 在本例題中,求解C 和 1C 能否用 2h 0 1和h 10作為初始條件來(lái)求解？能否用h1y2 0作為初始條件來(lái)求解？總結(jié)求解的過程如下：（1）將k 替換原差分方程的fk,將h k替換