概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學課件第二章

1、第二章隨機變量及其分布 一、隨機變量 二、離散型隨機變量及其分布 三、隨機變量的分布函數(shù) 四、連續(xù)型隨機變量及其分布 五、隨機變量的函數(shù)的分布第一節(jié)為了更方便地從數(shù)量方面研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律, 第二章 有必要將隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化。隨機變量 對于隨機試驗而言，它的結(jié)果未必是數(shù)量化的。 人們作隨機試驗時，常常不是關(guān)心試驗結(jié)果本身，而是對和試驗結(jié)果聯(lián)系著的某個數(shù)感興趣。引例 將一枚硬幣連拋三次，事件A1為“恰有一次出現(xiàn)正面”，A2為至少有一次出現(xiàn)正面，求P(A1)，P(A2)e: 樣本點引例2 測量某燈泡的壽命,令定義：設E是隨機試驗，它的樣本空間為X=X(e)是定義在樣本空間上的實值單值函數(shù)，

2、稱 X 為隨機變量。注：如果e本身是數(shù)，則令 X = X(e) = e，那么X就是一個隨機變量。隨機變量定義在樣本空間上,定義域可以是數(shù)也可以不是數(shù)；而普通函數(shù)是定義在實數(shù)域上的。2. 隨機變量函數(shù)的取值在試驗之前無法確定,有一定的概率；而普通函數(shù)卻沒有。 隨機變量的分類：隨機變量非離散型隨機變量離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量其它 隨機變量函數(shù)和普通函數(shù)的區(qū)別：1. 定義域不同離散型隨機變量及其分布 第二章 一、離散型隨機變量的定義二、常用的離散型隨機變量第二、三節(jié)定義1.若隨機變量X的全部可能取值是有限個或可列無限多個,則稱X是離散型隨機變量。定義2.設離散型隨機變量的所有可能取值為,其中事件

3、的概率：一、離散型隨機變量的定義eg: 引例1，X=0，1，2，3;火車站候車人數(shù)，X=0,1,2, 稱為X的概率分布或分布律。分布律也可用如下表格的形式表示：性質(zhì)：解: 依據(jù)分布律的性質(zhì)P(X =k)0, a0 ,從中解得即例1設隨機變量X的分布律為：k =0,1,2, ,試確定常數(shù)a .例2、袋中有2個白球和3個黑球,每次從中任取1個,直到取到白球為止，X取球次數(shù)，求(1)無放回，(2)有放回情況下X的分布律。解:(1)1234(2) X=1，2，3，, k =1，2，3，例3.設一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過三盞信號燈，每盞信號燈以概率允許汽車通過,變量表示汽車停車次數(shù)(設各信號燈的工

4、作是相互獨立的）,求的分布律。解由題意可知的分布律為，則將帶入可得的分布律為. (01)分布定義1.如果隨機變量的分布律為則稱服從參數(shù)為的(01)分布。二、常用的離散型隨機變量及其分布（重點）（0 1）分布的分布律也可寫成注：如果隨機試驗只有兩個結(jié)果，總能定義一個服從(0 1)分布的隨機變量。 1.伯努利概型 n重獨立試驗在相同的條件下對試驗E重復做n次，若n次試驗中各結(jié)果是相互獨立的，則稱這n次試驗是相互獨立的。 伯努利概型設隨機試驗E只有兩種可能結(jié)果，且,將試驗E獨立地重復進行n次，則稱這n次試驗為n重伯努利試驗，或稱n重伯努利概型。.二項分布n重伯努利試驗中, X 事件A發(fā)生的次數(shù)所以注

5、：定義2.如果隨機變量的分布律為則稱服從參數(shù)為其中記為2、二項分布的二項分布,特別,當時,二項分布為這就是（01）分布，常記為 古典概型與伯努利概型不同，有何區(qū)別？請思考： 對于固定n 及 p，當k 增加時, 概率 P( X = k ) 先是隨之增加直至達到最大值 , 隨后單調(diào)減少.當(n+1) p 不為整數(shù)時，二項概率P ( X = k ) 在 k =(n+1) p達到最大值；n=10, p = 0.7kPk3、二項分布的圖形特點:當(n+1) p 為整數(shù)時，二項概率P ( X= k ) 在 k = (n +1) p 和 k = (n+1) p-1處達到最大值.n=13, p = 0.5Pk

6、k0例1、設100件產(chǎn)品中有95件合格品，5件次品，先從中隨機抽取10件，每次取一件，X10件產(chǎn)品中的次品數(shù)， (1)有放回的抽取，求 X的分布律；(2)無放回的抽取，求 X的分布律；(3)有放回的情況，求10件產(chǎn)品中至少有2件次品的概率。解：(1)A 取得次品，P(A)=0.05,k=0,1,2,3,4,5(3)注：明確告知有放回抽樣時，是n重貝努利試驗；若沒有告知，當總數(shù)很大，且抽查元件的數(shù)量相對于總數(shù)很小，可以當作放回抽樣。 例2 一大批產(chǎn)品中一級品率為0.2，現(xiàn)隨機抽查20只，問20只元件中恰好有為一級品的概率為多少？解設表示20只元件中為一級品的只數(shù)，這個試驗可以看作伯努利試驗。例3

7、 某人射擊命中率為0.02，獨立射擊400次，試求至少擊中2次的概率？解 設表示擊中的次數(shù)，則所以分布律則所求概率本例題的實際意義： 不可忽視小概率事件，小概率事件雖不易發(fā)生，但重復次數(shù)多了，就成大概率事件. 反過來看，如果一個人射擊400次，擊中竟不到兩次，由于很小，故懷疑“命中率0.02”是否為真，即他的命中率不到0.02。例4：設發(fā)行的彩票中獎率是0.001，假定發(fā)行的彩票數(shù)量巨大，以至于不論別人是否中獎均不會改變你抽獎時的中獎率。求買n 張彩票能中獎的概率pn 。此外由于中獎率是千分之一，問買1000張彩票中獎概率是否接近于1？彩票中獎問題解：設表示 n 張彩票中中獎的票數(shù)，則即則 n

8、 張彩票能中獎的概率為n10002000300040005000pn0.6320.8650.9500.9820.993解：設表示 n 張彩票中中獎的票數(shù)，則即買3000張彩票中獎率已達到95%，再多買2000張中獎的概率僅增加了4.3%！例5 80臺同類型設備，各臺工作相互獨立，發(fā)生故障的概率，有兩種配備維修工人的方法：4個人每人負責20臺；3個人共同負責80臺。問那種方案好?(比較發(fā)生故障而不能及時維修的概率)解 設表示“第一個人維護的20臺中同時發(fā)生故障的臺數(shù)”，表示“第i個人維護的20臺中發(fā)生故障而不能及時維修”，由題意可得 第一個人維護的20臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率為4個人維護

9、的80臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率 設表示“80臺同時發(fā)生故障的臺數(shù)”則3人維護的80臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率總之即第種方案的工作效率高。定理1（泊松Poisson定理) 設是一常數(shù)，n是正整數(shù)，若，則對任一固定的非負整數(shù)證明 由得對于任意固定的故有.泊松分布若隨機變量 X 的分布律稱服從參數(shù)為的泊松分布,記為其中 是常數(shù) ,注：二項分布是最重要的離散型概率分布之一，當時，即為（01）分布；當時，二項分布近似于泊松分布。泊松分布的圖形特點：當 n 很大，p 很小時，泊松定理表明：泊松分布是二項分布的極限分布，參數(shù) = n p 的泊松分布二項分布就可近似看成是 在實際計算中,當 n

10、20, p 0.05時, 可用上述公式近似計算; 而當 n 100, np 10 時, 精度更好 0 0.349 0.358 0.369 0.366 0.368 1 0.305 0.377 0.372 0.370 0.368 2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184 3 0.057 0.060 0.060 0.061 0.061 4 0.011 0.013 0.014 0.015 0.015 按二項分布 Possion 公式 k n=10 p=0.1n=20 p=0.05n=40 p=0.025n=100 p=0.01=np=1 近數(shù)十年來，泊松分布日益顯示其重要性,成為

11、概率論中最重要的幾個分布之一。泊松分布在管理科學、運籌學以及自然科學的某些問題中都占有重要的地位。泊松分布的應用 排隊問題：在一段時間內(nèi)窗口等待服務的顧客數(shù) 生物存活的個數(shù) 放射的粒子數(shù) 設某國每對夫婦的子女數(shù)X服從參數(shù)為的泊解: 由題意,求任選一對夫婦,至少有3個孩子的概率。松分布,且知一對夫婦有不超過1個孩子的概率為3e-2.例1有產(chǎn)品15000件，其中次品 150件，今抽取100件，求有2件是次品的概率。解法一 超幾何分布解法二 二項分布為次品率，Xb(100,0.01)解法三 泊松分布例2隨機變量的分布函數(shù) 第二章 一、分布函數(shù)的概念二、分布函數(shù)的性質(zhì)第四節(jié)三、離散型分布函數(shù)的求法為X

12、 的分布函數(shù)。設 X 是一個隨機變量，定義1的函數(shù)值的含義：上的概率.分布函數(shù)一、分布函數(shù)的概念是任意實數(shù)，則稱函數(shù)表示 X 落在可以使用分布函數(shù)值描述隨機變量落在區(qū)間里的概率。(1)(2)同理，還可以寫出二、分布函數(shù)的性質(zhì) 單調(diào)不減性： 右連續(xù)性： ，且，則上述三條性質(zhì)，也可以理解為判別函數(shù)是否是分布函數(shù)的充要條件。解:例1. 已知隨機變量X 的分布律為求分布函數(shù)當 時, 當 時, 當 時, 所以，解 (1) 當時， 當時，則例2 設隨機變量X 的分布律為求(1) X 的分布函數(shù)；(2) 當時，則 當時，為必然事件，則所以離散型的分布函數(shù)為階梯函數(shù)；xk為間斷點；(2)一般地，設離散型隨機變

13、量的分布律為由概率的可列可加性得的分布函數(shù)為例3 已知離散型隨機變量 X 的分布函數(shù)為求 X 的分布律。解 X 的可能取值為 3，4，5。所以 X 的分布律為試說明F(x)能否是某個r.v 的分布函數(shù).例4 設有函數(shù) F(x) 解 注意到函數(shù) F(x)在 上下降，不滿足性質(zhì)(1)，故F(x)不能是分布函數(shù).不滿足性質(zhì)(2)， 可見F(x)也不能是r.v 的分布函數(shù).或者例5、 向0,1區(qū)間隨機拋一質(zhì)點，以 X表示質(zhì)點坐標.特別,令解：長度成正比，求 X的分布函數(shù).假定質(zhì)點落在0,1區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間當 時,當 時,當 時,作 業(yè)P42 習題2.42，3連續(xù)型隨機變量及其分布 第二章

14、 一、連續(xù)型隨機變量的定義二、常用的連續(xù)型隨機變量第五、六節(jié)一、連續(xù)型隨機變量的定義定義1. 設 F(x) 是隨機變量 X的分布函數(shù)，若存在非負，使對任意實數(shù)x,有則稱 X為連續(xù)型隨機變量，稱為 X 的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù)。常記為函數(shù)1. 概率密度2. 概率密度的性質(zhì) 非負性 歸一性由于可由下圖表示f (x)x面積為1這兩條性質(zhì)是判定一個函是否為某隨機變量X的概率密度函數(shù)的充要條件。數(shù) 對于任意實數(shù)，有這是因為這里事件并非不可能事件，但可見由，不一定能推出由，不一定能推出稱A 為幾乎不可能事件，B 為幾乎必然事件. 對于任意的數(shù)有f (x)x連續(xù)型隨機變量 X 落在某區(qū)間上的概

15、率在該區(qū)間上的改變量在該區(qū)間上的積分(與端點是否在內(nèi)無關(guān))圖中陰影部分 分布函數(shù)上連續(xù)，且密度函數(shù)不唯一（在個別點的值可不同）。 若概率密度在點處連續(xù)，則有即如果把概率理解為質(zhì)量， 故 X 的密度上的概率與區(qū)間長度之比的極限。這里，相當于線密度。區(qū)間在這一點的值，恰好是 X 落在這表示 X 落在小區(qū)間上的概率近似地等于若不計高階無窮小，有：在連續(xù)型隨機變量理論中所起的作用與在離散型隨機變量理論中所起的作用相類似。的高度反映了隨機點集中在該點附近的密集程度.要注意的是:密度函數(shù)并不是的概率.但是這個高度越大，則X 取附近的值的概率就越大.也可以說，在某點密度曲線f(x)0 x1在某點處 的高度例

16、1、設連續(xù)型隨機變量 X的概率密度為求 A的值，解：例2、求常數(shù) a,b,及概率密度函數(shù) f (x)。解：例3、，求A , B 及 f (x)。解：注：例4設 X 是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為求 常數(shù) A； ； X的分布函數(shù)。解 由得則 當時，當時，得當時，所以由于f(x)是分段表達的，求F(x)時注意分段求.例5 設隨機變量X的概率密度函數(shù)為：求隨機變量X的分布函數(shù)。解：根據(jù)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)的積分表示得綜上得分布函數(shù)為：分布函數(shù)離散型r.v的分布函數(shù)連續(xù)型r.v的分布函數(shù)分布函數(shù)的性質(zhì)概率分布律概率密度隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律作 業(yè)P46 習題2.52，4 二、常用的連續(xù)型隨機變量定義、

17、 若 連續(xù)型隨機變量 X 的概率密度為：則稱 X 服從 a, b上的均勻分布，X U a, b1、均勻分布記作：f (x)的圖形分布函數(shù)為:abxF (x) 01圖形如下因為由此可得，如果隨機變量 X 服從區(qū)間上的均勻分布，則隨機變量 X 在區(qū)間上的任一子區(qū)間上取值的概率與該子區(qū)間的長度成正比，而與該子區(qū)間的位置無關(guān)。均勻分布的概率背景解依題意， X U 0, 30 以7:00為起點0，以分為單位隨機變量 例1 某公共汽車站從上午7時起，每15分鐘來一班車，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等時刻有汽車到達此站，如果乘客到達此站時間X 是7:00 到 7:30 之間的均勻,試求他候

18、車時間少于5分鐘的概率.所求概率為：即乘客候車時間少于5分鐘的概率是 1/3。例2、 設隨機變量X 服從1，6上的均勻分布，求一元二次方程有實根的概率。解因為當時，方程有實根，故所求概率為從而2、 指數(shù)分布定義、若隨機變量X 的概率密度為：指數(shù)分布。為常數(shù)，則稱隨機變量X服從參數(shù)為其中的分布函數(shù)：概率密度的圖形解(2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用兩.電子元件的壽命X(年）服從參數(shù)為3的指數(shù)分布例3(1)求該電子元件壽命超過2年的概率。年的概率為多少？由已知得 X 的概率密度為由、結(jié)果得：指數(shù)分布具有無記憶性，即若 X (),則故又把指數(shù)分布稱為“永遠年輕”的分布。指數(shù)分布的“無

19、記憶性”事實上命題解 (1)例4 假定一大型設備在任何長為 t 的時間內(nèi)發(fā)生 故障的次數(shù) , 求 相繼兩次故障的時間間隔 T 的概率分布; 設備已正常運行小時的情況下，再正常運行 10 小時的概率.即(2)由指數(shù)分布的“無記憶性”例4 假設顧客在某銀行窗口等待服務的時間(單位:分鐘)X 服從參數(shù)為的指數(shù)分布。若等待時間超過10分鐘，則他離開。假設他一個月內(nèi)要來銀行5次， 以 Y表示一個月內(nèi)他沒有等到服務而離開窗口的次數(shù)，求Y的分布律及至少有一次沒有等到服務的概率解Y是離散型，其中現(xiàn)在 X 的概率密度為 正態(tài)分布例：在大量重復試驗中，得到一組數(shù)據(jù)，這組數(shù)據(jù)雖然有波動，但總是以某個常數(shù)為中心。偏離

20、中心越近的數(shù)據(jù)越多；偏離中心越遠的數(shù)據(jù)越少。取值呈“中間大、兩頭小”的格局，即取值具有對稱性。此隨機變量是一個服從正態(tài)分布的隨機變量。正態(tài)分布的重要性正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布大量的隨機現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布。正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì).正態(tài)分布在十九世紀前葉由高首次露面。德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項分布概率的一個近似公式，這一公式被認為是正態(tài)分布的斯加以推廣和應用，所以通常稱為高斯分布。德莫佛高斯. 正態(tài)分布的定義定義1 設連續(xù)型隨機變量的概率密度為其中為常數(shù)，則稱 X 服從參數(shù)為的正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布，記為定義2 當時，X 的概率密度為則稱 X 服從標準正態(tài)分布，記為的圖

21、形如下圖所示以上鐘形曲線叫做正態(tài)曲線，故滿足以下特性。x0. 正態(tài)分布概率密度的幾何形態(tài)（性質(zhì)）證？計算（利用高數(shù)知識）令，則設，故，故代入得可以直接引用 曲線關(guān)于對稱，有（如下圖）這表明對于任意 當時，f (x) 取得最大值x離越遠，f (x) 的值就越小。 曲線在處有拐點；曲線以軸為漸近線， 若 固定，而改變的值，則 f (x) 的圖形沿 x 軸平行移動，但不改變其形狀，因此定。（如右圖）的圖形的位置完全由參數(shù)所決決定了圖形中峰的陡峭程度， 正態(tài)分布由它的兩個參數(shù)和唯一確定，當和不同時，是不同的正態(tài)分布。稱為形狀參數(shù)。. 正態(tài)分布的分布函數(shù) 設，X 的分布函數(shù)是 而，即 X 服從標準正態(tài)分布的分布的分布函數(shù)為x0 x-x當x 時,可直接查表求當x 0 時，當a 0 時，故解 先求 Y =2X +8 的分布函數(shù)設隨機變量X 具有概率密度：例4試求Y =2X +8 的概率密度 得 Y =2X +8 的概率密度為例5 已知 X N (0,1) , Y = X 2 , 求 fY (y)解：分布函數(shù)法yy當 y 0 時，故設X U(-1,1)，求Y=X 2的分布函數(shù)與概率密度。練習1解 由已知得當y0時，; 當y1時，當0y1時，練習2解: 由題意可知的取值范圍為 定理 設隨機變量 X 具有概率密度則 Y =g(X ) 是一個連續(xù)型隨機變量 Y，其概率密度為其中 h(y) 是 g(x