控制教學(xué)課件第四章線性系統(tǒng)的根軌跡

1、第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡4.1 根軌跡方程的基本概念閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根1+G(s)H(s)=0根：S1,S2,S3根軌跡概念閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)特征方程：s2+2s+2k=0設(shè) K：0特征根特征根設(shè) K：0K=0 , s1=0 s2=-2K=0.5, s1=-1 s2=-1K=1, s1=-1+j1 s2=-1-j1K=,s1=-1+j,s2=-1-j0-2-12.根軌跡與系統(tǒng)性能0-2-1穩(wěn)準(zhǔn)快K0,根軌跡在左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定開環(huán)傳函的極點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的個(gè)數(shù)K=0K=0有一個(gè)，系統(tǒng)是I型系統(tǒng)此時(shí)，K是速度誤差系數(shù)K=0.5當(dāng)0K0.5時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)為復(fù)數(shù)極點(diǎn)，欠阻尼K=0時(shí)，特征方程的根在坐標(biāo)原點(diǎn)

2、的個(gè)數(shù)特征方程4.根軌跡方程1+G(s)H(s)=0G(s)H(s)=-1特征方程根軌跡方程根軌跡方程標(biāo)準(zhǔn)型首一課堂練習(xí)寫出該系統(tǒng)的根軌跡方程根軌跡方程課堂練習(xí)寫出該系統(tǒng)的根軌跡方程根軌跡方程設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為4.2.2參數(shù)根軌跡方程特征方程1+G(s)H(s)=0分式化成多項(xiàng)式Q(s)+AP(s)=0即標(biāo)準(zhǔn)型提取參數(shù)A：G(s)H(s)=-1參數(shù)根軌跡方程特征方程1+G(s)H(s)=0分式化成多項(xiàng)式Q(s)+AP(s)=0即標(biāo)準(zhǔn)型提取參數(shù)A：5s2+s+5+5As=0A課堂習(xí)題C47 開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試寫出根軌跡方程特征方程 (s+4)(s+b)+20=0多項(xiàng)式 s2+bs

3、+4s+4b+20=0解：提取b得根軌跡方程2005.1.10三、某正反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下：寫出該系統(tǒng)的根軌跡方程開環(huán)傳遞函數(shù)特征方程整理根軌跡方程復(fù)數(shù)形式相角條件幅值條件或課堂練習(xí)寫出該系統(tǒng)的根軌跡方程并寫出根軌跡方程的相角條件和模值條件相角條件幅值條件根軌跡方程根軌跡起于開環(huán)極點(diǎn)，終于開環(huán)零點(diǎn)4.2 根軌跡繪制的一般方法已知：zj、pi法則1 根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)：法則1 根軌跡起于開環(huán)極點(diǎn)，終于開環(huán)零點(diǎn)0-2K=0K=0K=0時(shí)，閉環(huán)特征方程退化成閉環(huán)特征方程根就是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)所以說：根軌跡起于開環(huán)極點(diǎn)此時(shí)法則1 根軌跡起于開環(huán)極點(diǎn)，終于開環(huán)零點(diǎn)特征方程改寫成當(dāng)時(shí)特征方程退化成特征方

4、程根等于開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)即法則1 根軌跡起于開環(huán)極點(diǎn)，終于開環(huán)零點(diǎn)特例2.mn1.mn零點(diǎn)數(shù)多于極點(diǎn)數(shù)根軌跡起于開環(huán)極點(diǎn)，終于開環(huán)零點(diǎn)法則2 根軌跡的分支數(shù)分支數(shù)maxm,n根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)有限零點(diǎn)數(shù)和有限極點(diǎn)數(shù)中的大者相等法則2 根軌跡對稱性根軌跡連續(xù)并且對稱于實(shí)軸。實(shí)軸上，自右往左數(shù)，奇數(shù)零極點(diǎn)左邊的一段實(shí)軸是根軌跡法則3 實(shí)軸上的根軌跡12345課堂練習(xí)已知開環(huán)傳遞函數(shù)零極點(diǎn)分布如圖，試畫出實(shí)軸上的根軌跡12345法則4 根軌跡的漸進(jìn)線當(dāng)開環(huán)有限極點(diǎn)數(shù)n與有限零點(diǎn)數(shù)m不相等時(shí)，有|n-m|條根軌跡分支沿漸近線趨向無窮遠(yuǎn)處。漸近線與實(shí)軸交角為a 、交點(diǎn)為a k=0,1,2例4.2.

5、1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖試根據(jù)已知的基本法則，確定繪制根軌跡有關(guān)的數(shù)據(jù)G(s)的 極點(diǎn) p1=0,p2=-4,p3=-1+j,p4=-1-j 零點(diǎn) z1=-1，及無窮遠(yuǎn)根軌跡4條，且對稱實(shí)軸有n-m=3條漸近線例4.2.1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖試根據(jù)已知的基本法則，確定繪制根軌跡有關(guān)的數(shù)據(jù)G(s)的極點(diǎn) p1=0,p2=-4,p3=-1+j,p4=-1-j,零點(diǎn) z1=-1根軌跡4條，且對稱實(shí)軸有n-m=3條漸近線其中k=0,1,22005.1.10B試根據(jù)已知的基本法則，確定繪制根軌跡有關(guān)的數(shù)據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖G(s)的極點(diǎn) p1=0,p2=p3=-3,無有限零點(diǎn)根軌跡3條，且對稱實(shí)軸有n-m=3條漸近線解法

6、則5 根軌跡的分離點(diǎn)dl條根軌跡分支在s平面上相遇后又分開的點(diǎn)，稱為根軌跡的分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）例4.2.2設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與開環(huán)零極點(diǎn)分布如圖，試?yán)L制概略根軌跡解：分離點(diǎn)在0-1間，取d-0.586漸近線整理得 (d+4)(d2+4d+2)=0例4.2.5三、某系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示試用已學(xué)規(guī)則，概略繪制根軌跡(0K*)G(s)的 極點(diǎn) p1=0,p2=-1,p3=-2,無有限零點(diǎn)根軌跡3條，且對稱實(shí)軸有n-m=3條漸近線例4.2.5三、某系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示試用已學(xué)規(guī)則，概略繪制根軌跡(0K*)G(s)的 極點(diǎn) p1=0,p2=-1,p3=-2,無有限零點(diǎn)根軌跡3條，且對稱實(shí)軸有n-m=3條漸近線

7、分離點(diǎn)實(shí)軸上的根軌跡法則6.根軌跡與虛軸交點(diǎn)交點(diǎn) s=j1+G(j)H(j)=0實(shí)部0虛部01+G(s)H(s)=07.根軌跡的起始角和終止角相角條件設(shè)根軌跡上有一點(diǎn)sl，且無限靠近極點(diǎn)pl相角條件可寫為用pl代替sl,可寫為pls17.根軌跡的起始角和終止角設(shè)根軌跡上有一點(diǎn)sl，且無限靠近極點(diǎn)pl相角條件可寫為用pl代替sl,可寫為7.根軌跡的起始角和終止角7.根軌跡的起始角和終止角q重極點(diǎn)q重零點(diǎn)課堂練習(xí)單位負(fù)反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)如下。試計(jì)算根軌跡的起始角。8.根之和n-m2時(shí)，開環(huán)n個(gè)極點(diǎn)之和等于閉環(huán)特征方程n個(gè)根之和例 1設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡解1.確定開環(huán)傳

8、遞函數(shù)零極點(diǎn)無有限開環(huán)零點(diǎn) m=0有四個(gè)開環(huán)極點(diǎn)n=4，P1=0,P2=-3,P3=-1+j,P4=-1-j2.在復(fù)平面標(biāo)注開環(huán)零極點(diǎn)3.確定實(shí)軸上的根軌跡0,-3區(qū)間為根軌跡解1.確定開環(huán)傳遞函數(shù)零極點(diǎn)有四個(gè)開環(huán)極點(diǎn)n=4，P1=0,P2=-3,P3=-1+j,P4=-1-j2.在復(fù)平面標(biāo)注開環(huán)零極點(diǎn)3.確定實(shí)軸上的根軌跡0,-3區(qū)間為根軌跡4.確定根軌跡的漸近線條數(shù) n-m=4與實(shí)軸交點(diǎn)與實(shí)軸夾角解1.確定開環(huán)傳遞函數(shù)零極點(diǎn)有四個(gè)開環(huán)極點(diǎn)n=4，P1=0,P2=-3,P3=-1+j,P4=-1-j2.在復(fù)平面標(biāo)注開環(huán)零極點(diǎn)3.確定實(shí)軸上的根軌跡0,-3區(qū)間為根軌跡4.確定根軌跡的漸近線條數(shù)

9、 n-m=4與實(shí)軸交點(diǎn)與實(shí)軸夾角5.確定分離點(diǎn)試探法d-2.3解1.確定開環(huán)傳遞函數(shù)零極點(diǎn)有四個(gè)開環(huán)極點(diǎn)n=4，P1=0,P2=-3,P3=-1+j,P4=-1-j2.在復(fù)平面標(biāo)注開環(huán)零極點(diǎn)3.確定實(shí)軸上的根軌跡0,-3區(qū)間為根軌跡4.確定根軌跡的漸近線條數(shù) n-m=4與實(shí)軸交點(diǎn)與實(shí)軸夾角5.確定分離點(diǎn)d-2.36.確定起始角解1.確定開環(huán)傳遞函數(shù)零極點(diǎn)n=4，P1=0,P2=-3,P3=-1+j,P4=-1-j2.在復(fù)平面標(biāo)注開環(huán)零極點(diǎn)3.確定實(shí)軸上的根軌跡0,-3區(qū)間為根軌跡4.確定根軌跡的漸近線條數(shù) n-m=45.確定分離點(diǎn)d-2.36.確定起始角7.確定根軌跡與虛軸交點(diǎn)特征方程s4+5

10、s3+8s2+6s+K*=0將 s=j代入方程，得實(shí)部虛部解得K*=8.162005.1.10B試?yán)L制根軌跡系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖G(s)的極點(diǎn) p1=0,p2=p3=-3,零點(diǎn)無窮遠(yuǎn)根軌跡3條，且對稱實(shí)軸有n-m=3條漸近線解：2005.1.10B系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖G(s)的極點(diǎn) p1=0,p2=p3=-3,零點(diǎn)無窮遠(yuǎn)根軌跡3條，且對稱實(shí)軸有n-m=3條漸近線試?yán)L制根軌跡分離點(diǎn)，得 d=-1確定根軌跡與虛軸交點(diǎn)特征方程 s3+6s2+9s+K=0將 s=j代入方程，得實(shí)部虛部解得K=54舍去根軌跡示例j0j0j0j0j0j00j0j0jj00j同學(xué)們，頭昏了吧？2.閉環(huán)極點(diǎn)的確定求特定K*下的閉環(huán)極點(diǎn)利

11、用模值條件先用試探法確定實(shí)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)再用綜合除法確定其余的閉環(huán)極點(diǎn)例2在例1圖上，試確定K*=4的閉環(huán)極點(diǎn)解：特征方程經(jīng)試探得 s1=-2,s2=-2.51s4+5s3+8s2+6s+K*=0s4+5s3+8s2+6s+4=0除以因式(s+2)(s+2.51)降為二階,得s2+0.49s+0.770由K*=4 得求根得s3=-0.24+j0.86, s4=-0.24-j0.863.2.3 高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能近似分析1 ）主導(dǎo)極點(diǎn)2）偶極子即接近虛軸，又不十分接近閉環(huán)零點(diǎn)的閉環(huán)極點(diǎn)，才能成為主導(dǎo)極點(diǎn)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能基本上由接近虛軸的閉環(huán)極點(diǎn)確定。相距很近的閉環(huán)零、極點(diǎn)只要偶極子不十分接近虛軸，它們

12、對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能影響甚微，可以忽略2.閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)與偶極子1.某單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)則系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間可分別估計(jì)為：a) 20%和6s b) 52%和10sc) 8%和0.174s d) 52%和0.17s2002.1.19忽略非主導(dǎo)極點(diǎn)答案偶極子相消1.某單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)則系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間可分別估計(jì)為：a) 20%和6s b) 52%和10sc) 8%和0.174s d) 52%和0.17sd2002.1.19例3.2.6某系統(tǒng)的閉環(huán)傳函為試求系統(tǒng)近似的單位階躍響應(yīng)解：閉環(huán)傳遞函數(shù)化成零極點(diǎn)形式零極點(diǎn)分布z1=-1.6,p1=-1.5,p2=-11.8,p3,4=-2j3例3.2.6對消掉偶極子，忽略非主導(dǎo)極點(diǎn)后，化成零極點(diǎn)分布z1=-1.6,p1=-1.5,p2=-11.8,p3,4=-2j3clc;clear;num1=143.8 230.2;de