專(zhuān)題十-與幾何圖形有關(guān)的探究題

1、 / 14專(zhuān)題十 與幾何圖形有關(guān)的探究題圖形變化問(wèn)題【例1】 (2016沈陽(yáng))在4ABC中，AB =6, AC = BC = 5,將 ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針 方向旋轉(zhuǎn)，得到 ADE,旋轉(zhuǎn)角為“(0 v ”V 180 ),點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn) D,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng) 點(diǎn)為點(diǎn) E， 連接 BD ， BE.(1)如圖，當(dāng)“=60時(shí)，延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)F.求證： ABD是等邊三角形；求證：BFXAD , AF = DF;請(qǐng)直接寫(xiě)出 BE 的長(zhǎng)；(2)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，過(guò)點(diǎn)D作DG垂直于直線(xiàn)AB,垂足為點(diǎn)G,連接CE,當(dāng)/ DAG = ZACB ,且線(xiàn)段DG與線(xiàn)段AE無(wú)公共點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出BE + CE的值.分析：（1）

2、由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知 AB=AD, /BAD =60即可得證；由BA = BD , EA = ED 根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)即可得證；分別求出BF, EF的長(zhǎng)即可得答案；（2）由等量代換可證/BAE = /BAC,根據(jù)三線(xiàn)合一可得 CEXAB ,從而可得 CE=2CH = 8, BE = 5,即可得 答案.解：ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 60得到 ADE ,，AB =AD ,/BAD =60 , ABD是等邊三角形由得 ABD是等邊三角形，AB = BD, ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60得 到 AADE, AC = AE , BC=DE,又.AC = BC,，EA = ED, .點(diǎn) B, E 在 AD 的

3、垂直平 分線(xiàn)上，BE是AD的垂直平分線(xiàn)，二,點(diǎn)F在BE的延長(zhǎng)線(xiàn)上，/.BFIAD , AF = DF由知 BFXAD , AF = DF, ，AF = DF=3, -. AE=AC = 5, ，EF=4, .在等邊三 角形 ABD 中，BF = AB sin/ BAF = 6X 坐=3木，. . BE= BF EF= 3#4(2)如圖， / DAG = / ACB , / DAE = / BAC ,/ ACB + / BAC + / ABC = / DAG + Z DAE +Z ABC = 180 ,又/ DAG + / DAE + / BAE = 180 , . . / BAE = / AB

4、C ,1-，AC = BC = AE, BAC=/ABC , . / BAE = / BAC , . AB，CE,且 CH = HE =CE, -AC = BC, .AH = BH =)B=3,貝UCE = 2CH = 8, BE = AE=5, ，BE + CE = 13幾何圖形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題【例2】(2016達(dá)州) ABC中，/ BAC = 90 , AB = AC ,點(diǎn)D為直線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn) D不與B , C重合)，以AD為邊在A(yíng)D右側(cè)作正方形 ADEF ,連接CF.(1)觀(guān)察猜想如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上時(shí)，BC與CF的位置關(guān)系為 垂直 ;BC, CD, CF 之間的數(shù)量關(guān)系為BC=C

5、D + CF ;(2)數(shù)學(xué)思考如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，結(jié)論，是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予 證明；若不成立，請(qǐng)你寫(xiě)出正確結(jié)論再給予證明.(3)拓展延伸如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，延長(zhǎng)BA交CF于點(diǎn)G,連接GE.若已知AB1= 272, CD = BC,請(qǐng)求出GE的長(zhǎng).分析：(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到 / BAC = ZDAF =90,推出 DAB FAC,根據(jù)全 等三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的角的性質(zhì)可得到結(jié)論；(3)過(guò)A作AH BC于點(diǎn)H ,過(guò) E作 EMLBD 于點(diǎn) M, ENLCF 于點(diǎn) N,先求出 AH , DH ,證 ADHDEM( AAS)得 到EM =

6、DH , DM = AH ,由等量代換得到 CN = EM , EN = CM ,根據(jù)等腰直角三角形的性 質(zhì)得到CG = BC=4,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.解：(2)CF，BC 成立；BC = CD+CF 不成立，CD = CF+BC.證明：:正方形 ADEF , .AD=AF,/ BAC =/ DAF = 90 , . . / BAD = / CAF ,可證 DAB FAC(SAS), ./ABD =/ACF , . / BAC =90 , AB = AC , . . / ACB = / ABC =45 .Z ABD =180 -45 = 135, ./ BCF=Z ACF - Z ACB

7、 = 135 -45 = 90, CF BC. v CD = DB + BC, DB = CF, .1. CD= CF+ BC(3)過(guò) A 作 AH BC 于點(diǎn) H,過(guò) E 作 EM，BD 于點(diǎn) M , EN CF 于點(diǎn) N, / BAC = 一11190 , AB = AC , BC = 72aB =4, AH=2BC = 2, CD = 4BC= 1, CH=BC = 2, . DH =3,由(2)證彳B BCXCF, CF = BD=5,二.四邊形 ADEF 是正方形，AD = DE, Z ADE = 90 , 1.BCXCF, EM BD , ENXCF, .四邊形 CMEN 是矩形，

8、. NE = CM , EM = CN , . /AHD =/ADC =/EMD =90 , . . / ADH + / EDM = / EDM + / DEM = 90 , . / ADH=/DEM,可證 ADHDEM( AAS), /. EM = DH = 3, DM = AH =2, . CN = EM=3, EN = CM = 3, /ABC =45 ,，/BGC=45 , .BCG 是等腰直角三角形 , CG=BC = 4, .-.GN=1, EG =GN2+EN2 =710幾何圖形中的動(dòng)線(xiàn)問(wèn)題【例3】(2016廣東)如圖，BD是正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，BC = 2,邊BC在其所在

9、的直線(xiàn)上平移，將通過(guò)平移得到的線(xiàn)段記為 PQ,連接PA, QD,并過(guò)點(diǎn)Q作QOLBD,垂 足為O,連接OA , OP.(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段 BC在平移過(guò)程中，四邊形APQD是什么四邊形？(2)請(qǐng)判斷OA, OP之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明；(3)在平移變換過(guò)程中，設(shè)y=SPB, BP = x(0WxW2),求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式， 并求出y的最大值.分析：（2）證AOBPOQ,可得AO與OP的數(shù)量與位置關(guān)系；（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得 OE的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式可得二次函數(shù) ，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得 答案.解：（1）四邊形APQD為平行四邊形（2）OA = OP, OAO

10、P.證明：.四邊形 ABCD 是正方形，AB=BC=PQ, Z ABO = ZOBQ =45 , 1 OQXBD ,，/PQO = 45 , . . / ABO = / OBQ = / PQO= 45 , . OB = OQ,可證 AOB POQ（SAS）, .,.OA = OP, / AOB = / POQ, ./ AOP = / BOQ =90 , .-.OA OP TOC o 1-5 h z .-._.x+2過(guò)點(diǎn)O作OEBC于點(diǎn)E.如圖1,當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，則BQ = x+2,OE=-2，1 x 21- 1丫=22x,即 y= 4（x+1）2 4,又 0WxW2, .當(dāng) x=2 時(shí)，y

11、 有取大值為 2;如 圖 2,當(dāng) P 點(diǎn)在 B 點(diǎn)左側(cè)時(shí)，則 BQ = 2 x, OE：2, . .y=2/AB2-AH2 =，42 32 =中, .CF=T7,，DF 的最大值=DC CF=4巾2.（導(dǎo)學(xué)號(hào) ）（2016黑龍江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)。是坐 標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)C在第四象限，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，ZOAB =900且 OA = AB , OB, OC的長(zhǎng)分別是一元二次方程 x2-11x+30=0的兩個(gè)根（OB OC）.（1） 求點(diǎn)A 和點(diǎn) B 的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P是線(xiàn)段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)O, B重合），過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)l與y軸平行， 直線(xiàn)l交

12、邊OA或邊AB于點(diǎn)Q,交邊OC或邊BC于點(diǎn)R.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,線(xiàn)段QR的 長(zhǎng)度為m,已知t = 4時(shí)，直線(xiàn)l恰好過(guò)點(diǎn)C,當(dāng)0vtv3時(shí)，求m關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)m=3.5時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn) P的坐標(biāo).解：(1)二.方程 x211x+30=0 的解為 Xi=5, X2=6,，OB = 6, OC=5,B 點(diǎn)坐標(biāo)為(6, 0),作AM，x軸于點(diǎn)M , / OAB = 90且OA = AB,.AOB為等腰直角三角形， 1，OM =BM =AM =OB = 3, . A 點(diǎn)坐標(biāo)為(3, 3)(2)作CN，x軸于點(diǎn)N, t=4時(shí)，直線(xiàn)l恰好過(guò)點(diǎn) C,，ON=4,在RtAOCN中，CN 3=OC

13、2 ON2 = -52 42 = 3,，C點(diǎn)坐標(biāo)為(4, 3),可求直線(xiàn)OC的斛析式為y= x, 33直線(xiàn) OA 的解析式為 y=x, -.P(t, 0)(0 t 3), ，Q(t, t), R(t, -t), /. QR = t-(-4t) = ；t,即 m = 4t(0vt .m = t + 6 (2t 9) = 一 ? t+15,若m=3.5,則5t+15 = 3.5,解得t = 23,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(23, 0).綜上所述，滿(mǎn) 足條彳的P點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 0)或(23, 0)53.（導(dǎo)學(xué)號(hào) ）（2016揚(yáng)州）已知正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為4, 一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的45角 繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊

14、分別與邊 BC, DC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn) E, F,連接EF.設(shè)CE=a, CF = b.如圖1,當(dāng)/EAF被對(duì)角線(xiàn)AC平分時(shí)，求a, b的值；(2)當(dāng) AEF是直角三角形時(shí)，求a, b的值；(3)如圖3,探索/ EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中a, b滿(mǎn)足的關(guān)系式，并說(shuō)明理由.解：(1)二.四邊形ABCD是正方形，/BCD =90 , .AC是正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，ACB = /ACD =45 ,/ ACF = / ACE , /EAF 被對(duì)角線(xiàn) AC 平分，. / CAF =/CAE,可證 ACFACE(ASA), ，AF=CE, CF=CE, / CE=a, CF=b, ，a=b, AF = CE

15、, ./ AEF = Z AFE , /EAF = 45 , AEF = / AFE = 67.5 , -.CE = CF, /ECF = 90 , ./ CEF=Z CFE = 45 , . . / AEC = / AFC = 22.5 , ,. /CAF=/CAE = 22.5 , ./ CAE = Z CEA, /. CE = AC = 472,即 a= b= 4W(2)當(dāng) AEF是直角三角形時(shí)，若/AEF =90 , 二Z EAF = 45 , ./ AFE = 45 , .AEF 是等腰直角三角形 ，AE = EF, : / AEB + ZBEF = 90, Z AEB +Z BAE

16、 = 90, / BEF = / BAE ,可證 ABE ECF(AAS), .AB = EC, BE=CF, IP a=AB =4, b= BE = BC+CE= 8;若 / AFE = 90,同的方法知 CF =4, CE = 8, a= 8, b= 4(3)ab=32.理由：如圖，:AC 是正方形 ABCD 的對(duì)角線(xiàn)，/ EAF =45/ ACD = 45 ,ZACF = 135, /ACE = 135,又/ ACD = / CAF + / AFC , / EAF = / EAC + / FAC , . / AFC = / EAC ,又./ ACF = / ACE= 135 , /.A

17、ACFA ECA , 卷=|, ECXCF = AC2=2AB2=32, . ab= 321.(導(dǎo)學(xué)號(hào))(2016隨州)愛(ài)好思考的小茜在探究?jī)蓷l直線(xiàn)的位置關(guān)系查閱資料時(shí)，發(fā)現(xiàn)了 “中垂三角形”，即兩條中線(xiàn)互相垂直的三角形稱(chēng)為“中垂三角形”.如圖1,圖2,圖3中，AM , BN是4ABC的中線(xiàn)，AM BN于點(diǎn)P,像 ABC這樣的三角形均為“中垂 三角形”.設(shè) BC = a, AC=b, AB = c.【特例探究】(1)如圖 1,當(dāng) tan/PAB=1, c=472時(shí)，a=_45_, b = _4_;如圖 2,當(dāng)/PAB=30 , c= 2時(shí)，a= _/7_, b = _/73_；【歸納證明】(2

18、)請(qǐng)你觀(guān)察(1)中的計(jì)算結(jié)果，猜想a2, b2, c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來(lái)，并 利用圖3證明你的結(jié)論.【拓展證明】(3)如圖4, ?ABCD中，E, F分別是 AD , BC的三等分點(diǎn)，且AD = 3AE , BC = 3BF, 連接 AF, BE, CE,且 BECE 于點(diǎn) E, AF 與 BE 相交點(diǎn) G, AD =375, AB =3,求 AF 的長(zhǎng).解：(2)a2+b2= 5c2.證明：連接MN. . AM , BN是中線(xiàn)， 1 .MN /AB, MN = /AB, MPNA APB,MP PN 1-AP PB1 2設(shè) MP=x, NP=y,貝UAP = 2x, BP = 2

19、y,a2= BC2= 4BM 2 = 4(MP2+ BP2)= 4x2+ 16y2,b2= ac2= 4an 2= 4(PN2+ AP2) = 4y2+ 16x2 ,c2= AB2= AP2+ BP2 = 4x2+4y2,a2 + b2 = 20 x2+20y2= 5(4x2+ 4y2)= 5c2由 AAS 可證 AGEA FGB,，BG=FG,取AB中點(diǎn)H,連接FH并延長(zhǎng)交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) P,同理可證4 APHBFH , .AP=BF, PE= CF = 2BF,即 PE/ CF, PE= CF,四邊形CEPF是平行四邊形，F(xiàn)P/ CE, BEXCE,FP BE,即 FHBG,.ABF是中

20、垂三角形，由(2)可知 AB2+AF2=5BF2,- AB=3, BF=；AD=也，.9 + AF2=5X (洞2, /.AF = 4.（導(dǎo)學(xué)號(hào) ）（2016河南）（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1,點(diǎn)A為線(xiàn)段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=a, AB =b.填空：當(dāng)點(diǎn) A位于 CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，線(xiàn)段AC的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為 _a + b .（用含a, b的式子表示）（2）應(yīng)用：如圖2,點(diǎn)A為線(xiàn)段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC = 3, AB = 1 ,分別以AB, AC為 邊，作等邊三角形 ABD和等邊三角形 ACE,連接CD, BE.請(qǐng)找出圖中與BE相等的線(xiàn)段，并說(shuō)明理由；直接寫(xiě)出線(xiàn)段BE長(zhǎng)的最大值.（3）拓展：如圖3

21、,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2, 0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5, 0）, 點(diǎn)P為線(xiàn)段AB外一動(dòng)點(diǎn)，且PA=2, PM = PB, /BPM =90,請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段 AM長(zhǎng)的 最大值及此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo).解：（2） CD = BE,理由：ABD 與 ACE 是等邊三角形，AD=AB, AC = AE , / BAD = / CAE = 60 ,/ BAD + / BAC = / CAE + / BAC ,即/ CAD = / EAB ,可證 CADEAB（ SAS）, . CD = BE線(xiàn)段BE長(zhǎng)的最大值=線(xiàn)段 CD長(zhǎng)的最大值，由（1）知，當(dāng)線(xiàn)段CD的長(zhǎng)取得最大值 時(shí)，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，.最

22、大值為 BD + BC = AB + BC = 4（3）如圖1,連接BM ,將4APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到 PBN,連接AN,則 APN是等腰直角三角形，PN=PA= 2, BN=AM , /A的坐標(biāo)為（2, 0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為 （5, 0）, OA = 2, OB = 5,，AB = 3,線(xiàn)段AM長(zhǎng)的最大值=線(xiàn)段 BN長(zhǎng)的最大值，當(dāng)點(diǎn)N在線(xiàn)段BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，線(xiàn)段BN取得最大值，最大值=AB+AN, /AN = *AP = 2m，.最大值為2*+3.如圖2,過(guò)P作PEx軸于E, APN是等腰直角三1角形，PE= AE=2AN=V2, .-.OE = OA-AE = 2-V2,，P（2 也，也）.（導(dǎo)學(xué)號(hào) ）（2016葫蘆島）如圖，在4ABC中，/BAC = 90 , AB = AC ,點(diǎn)E在 AC上（且不與點(diǎn) A, C重合），在4ABC的外部作 CED,使/CED = 90 ,