高考數(shù)學(xué)選填靜電題型匯編：題型36 構(gòu)造形求最值類問題

1、題型36 構(gòu)造形求最值類問題【方法點撥】一般地，對于以下結(jié)構(gòu)的問題需要注意其式子的幾何意義：(1)eq r(（xa）2（yb）2)表示兩點間的距離或向量的模；(2)keq f(yb,xa)表示過點(a，b)與(x，y)的直線的斜率；(3)AxBy與直線AxByC0的截距有關(guān)；(4)P(cos，sin)表示單位圓x2y21上的任意一點；(5)a2abb2與余弦定理有關(guān)，在解題過程中可以利用這些式子的幾何意義構(gòu)造一些特殊的函數(shù).【典型題示例】例1 已知，是橢圓上兩個不同點，且滿足，則的最大值為AB4CD【答案】C【解析】已知，是橢圓上兩個不同點，則，設(shè)，為坐標(biāo)原點，則，且，、兩點均在圓的圓上，且，

2、為等邊三角形且，根據(jù)點到直線的距離公式，知為、兩點到直線的距離、之和設(shè)的中點為，到直線的距離，則，的最大值為，的最大值為，故選：例2 已知不等式(mn)2(mlnn)22對任意mR，n(0，)恒成立，則實數(shù)的取值范圍為_【答案】1，)【分析】由于條件“(mn)2(mlnn)22”中平方和的特征，可聯(lián)想到兩點(m，m)，(n，lnn)的距離公式，而點(m，m)，(n，lnn)分別是直線yx和曲線f(x)lnx上動點，故可轉(zhuǎn)化為直線yx和曲線f(x)lnx上點之間的距離大于等于eq r(2).【解析】條件“不等式(mn)2(mlnn)22對任意mR，n(0，)恒成立”可看作“直線yx以及曲線f(x

3、)lnx上點之間的距離恒大于等于eq r(2)”如圖，當(dāng)與直線yx平行的直線與曲線f(x)lnx相切時，兩平行線間的距離最短，f(x)eq f(1,x)1，故切點A(1,0)，此切點到直線yx的距離為eq f(|1|,r(2)eq r(2)，解得1或3(舍去，此時直線與曲線相交)例3 若實數(shù)、滿足，則的最小值為 .【答案】【分析】由平方結(jié)構(gòu)特點產(chǎn)生了結(jié)構(gòu)聯(lián)想：類似兩點間的距離公式，【解析】, 分別為兩個函數(shù)的圖象上任意一點.，所以，所以過點且斜率為3的切線方程為：，即:3x-y-2-2ln2=0,:y=3x-4兩直線的距離即為之距的最小值，即為，但是所求為距離的平方，所以結(jié)果為.點評：這種平方

4、和結(jié)構(gòu)從形的角度常想到兩點的距離，從數(shù)的角度常想到基本不等式.例4 設(shè)，其中，則的最小值是_.【答案】【解析】的幾何意義是：曲線上點與曲線上點的距離與點到軸的距離和再加2，而點到軸的距離利用拋物線的定義，可轉(zhuǎn)化為點到拋物線（第一象限部分）的焦點F（1,0）的距離減去1，故所求即為F到曲線上點距離的最小值再加1，利用導(dǎo)數(shù)知識易求得.【鞏固訓(xùn)練】1.已知，若實數(shù)、滿足，則的最小值為（ ）ABCD2.已知aln b0，cd1，則(ac)2(bd)2的最小值是()A1 B.eq r(2)C2 D2eq r(2)3. 已知對于一切x，yR，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 4.已知函數(shù)，若，且，則的最

5、小值是_.5.若實數(shù)、滿足，則的最小值為 .6.（多選題）已知，記M，則（ ） AM的最小值為 B當(dāng)M最小時， CM的最小值為 D當(dāng)M最小時，【答案與提示】1.【答案】C【解析】點在曲線上，點在曲線上，的幾何意義就是曲線上的點到曲線上點的距離最小值的平方，如下圖所示：考查曲線平行于直線的切線，令，解得或（舍去），所以，切點為，該切點到直線的距離就是所要求的曲線上的點與直線上的點之間的最小距離，故的最小值為，故選：C2.【答案】C【解析】設(shè)(b，a)是曲線C：yln x上的點，(d，c)是直線l：yx1上的點，則(ac)2(bd)2可看成曲線C上的點到直線l上的點的距離的平方對函數(shù)yln x求導(dǎo)

6、得yeq f(1,x)，令y1，得x1，則y0，所以曲線C上到直線yx1的距離最小的點為(1,0)，該點到直線yx1的距離為eq f(|101|,r(1212)eq r(2).因此(ac)2(bd)2的最小值為(eq r(2)22.故選C.3.【答案】 【解析】將已知整理為 則左邊的幾何意義是動點與動點的距離平方.4.【答案】【分析】根據(jù)幾何意義，滿足條件的點在曲線上，該點處切線與 平行.【解析】設(shè)為曲線上一點，當(dāng)該點處切線與平行時，滿足題意. 令得滿足題意，即 把代入得 把代入得，即 即為所求.5.【答案】【解析】, 設(shè)分別為雙曲線與圓的任意一點 的幾何意義就是兩曲線上點的距離的最小值即（1,1），兩點間距離的平方，為.6.【答案】AB【分析】看到所求式子的結(jié)構(gòu)特征，立即聯(lián)想“距離公式”，運用“形”知M的幾何意義，為函數(shù)圖象上的點到直線上的點的距離的最小值的平方，再使用導(dǎo)數(shù)知識，轉(zhuǎn)化為與直線平行的切線間距離.【解析】由，得，的最小值可轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象上的點到直線上的點的距離的最小值