2022年全國(guó)統(tǒng)一招生考試檢驗(yàn)卷-數(shù)學(xué)（一）

1、（新高考）2022屆高考檢驗(yàn)卷數(shù)學(xué)（一）注意事項(xiàng)：1答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。第卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1設(shè)集合，則（ ）ABCD【答案】C【解析】因?yàn)?，所以?/p>

2、故選C2設(shè)復(fù)數(shù)，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【答案】C【解析】，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選C3下列函數(shù)中，在上單調(diào)遞增的是（ ）ABCD【答案】A【解析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合正弦、余弦、指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，故選A4已知的展開式中的有理項(xiàng)的系數(shù)和為，則（ ）ABCD【答案】C【解析】展開式的通項(xiàng)公式為，則有理項(xiàng)的系數(shù)和為，解得，故選C5定義在上的函數(shù)，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列，使變?yōu)榈炔顢?shù)列，則稱為“變比差函數(shù)”則選項(xiàng)中定義在上函數(shù)是“變比差函數(shù)”的是（ ）ABCD【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，對(duì)于，可得，為常數(shù)，故為等差數(shù)列，故選B6已知函

3、數(shù)是上的奇函數(shù)，且，且當(dāng)時(shí)，則的值為（ ）ABCD【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，因此函?shù)的周期為，所以，又函數(shù)是上的奇函數(shù)，所以，所以，即，所以原式，又當(dāng)時(shí)，可得，因此原式，故選B7已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，過點(diǎn)的且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，現(xiàn)將平面沿所在直線折起，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)處，使二面角的平面角的大小為，且三棱錐的體積為，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD【答案】A【解析】由題意可知，直線的方程為，代入雙曲線方程可得，設(shè)點(diǎn)在軸上方，則，可得，所以，由題意可知，且，所以平面，所以為二面角的平面角，即，所以，所以，可得雙曲線的離心率為，故選A8如圖，在長(zhǎng)方體中，為線段上動(dòng)點(diǎn)，則下列說法不正確

4、的是（ ）A三棱錐體積為定值B若為上一動(dòng)點(diǎn)，三棱錐表面積不為定值C若為四邊形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且與所成角的大小為，則線段所掃過的面積為D與所成角的最大值為【答案】D【解析】在長(zhǎng)方體中，四邊形為平行四邊形，所以，同理，可得平面平面，所以平面，平面對(duì)于A，因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)到平面的距離不變，故體積不變，A正確；對(duì)于B，可知平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且平面平面，故雖然點(diǎn)到平面的距離不變，但是到線段的距離在變化，故表面積變化，B正確；對(duì)于C，因?yàn)槠矫妫渣c(diǎn)在四邊形內(nèi)的軌跡為以為半徑的四分之一個(gè)圓弧，且，所以線段所掃過的面積為，C正確；對(duì)于D，可知與所成角即是與所成的角，易知點(diǎn)與重合時(shí)所成角最大，但不可能垂直，所以D錯(cuò)誤，故

5、選D二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分9如果平面向量，那么下列結(jié)論正確的是（ ）ABCD向量在上的投影向量為【答案】CD【解析】，A不正確；，B不正確；，所以，C正確；根據(jù)數(shù)量積的定義可知向量在上的投影向量為，D正確，故選CD10下列四個(gè)命題中為真命題的是（ ）A“”是“”的必要不充分條件B設(shè)是兩個(gè)集合，則“”是“”的充要條件C“”的否定是“”D名同學(xué)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)分別為：，則該數(shù)學(xué)成績(jī)的分位數(shù)為【答案】ABD【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)成立時(shí)，可得，所以A正確；因?yàn)榈葍r(jià)于，所以B正確；C項(xiàng)顯然錯(cuò)誤

6、；把數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為：，因?yàn)?，所以該?shù)學(xué)成績(jī)的百分位數(shù)為，D正確11函數(shù)的圖象如圖所示，將其向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，則下列說法正確的是（ ）A函數(shù)的最小正周期為B函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，使得在點(diǎn)處的切線與直線垂直C函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D函數(shù)在上單調(diào)遞減【答案】ABD【解析】，結(jié)合圖象可得，即，所以，解得，又，所以，因此，由題意，根據(jù)周期公式可得，A正確；假設(shè)存在，設(shè)切點(diǎn)為，則，所以在的切線的斜率，又與直線垂直，所以，得，假設(shè)成立，B正確；，其對(duì)稱軸為，即，C不正確；，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，可得，即，D正確，故選ABD12若圓：與圓：的公共弦所在的直線方程為，則下列結(jié)論正

7、確的有（ ）ABC兩圓公切線的四個(gè)切點(diǎn)所圍成的四邊形面積為D對(duì)任意，在直線上總存在一點(diǎn)，則使過點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直【答案】AD【解析】?jī)蓤A圓心分別為，半徑分別為，因?yàn)閮蓤A存在公共弦，所以，兩圓方程相減可得公共弦的直線的方程為，又所在的直線方程為，所以，解得，且滿足，所以A正確；圓心到公切線的距離為，所以，B錯(cuò)誤；因?yàn)閮蓤A的半徑相等，所以兩圓公切線的切點(diǎn)所圍成的四邊形為矩形，且，面積為，C錯(cuò)誤；圓：，P所作的圓的兩條切線相互垂直，所以，圓心，兩切點(diǎn)構(gòu)成正方形，且，即，在直線上，圓心距，計(jì)算得到恒成立，D正確，故選AD第卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分13五行學(xué)說是華夏

8、民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想，是華夏文明重要組成部分，我國(guó)古人認(rèn)為，世界物質(zhì)可分五類：木、火、土、金、水，五物又與五色相對(duì)應(yīng)，青、赤、黃、白、黑，反映到人的身心上又分別與憂愁、驚恐、喜慶、哭泣、疾病相對(duì)應(yīng)，若從木、火、土、金、水五類物質(zhì)和憂愁、驚恐、喜慶、哭泣、疾病五種身心中各任選類元素，求取出2類物質(zhì)與2種身心相對(duì)應(yīng)的概率為 【答案】【解析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可知，從木、火、土、金、水五類物質(zhì)和憂愁、驚恐、喜慶、哭泣、疾病五種身心中各任選類元素，共有種選法，2類物質(zhì)與2種身心相對(duì)應(yīng)的種數(shù)為，根據(jù)古典概型公式可得概率為14設(shè)點(diǎn)為拋物線上到直線距離最短的點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線與軸和軸的交點(diǎn)分別是和，則過兩點(diǎn)的最

9、小圓截拋物線的準(zhǔn)線所得的弦長(zhǎng)為 【答案】【解析】設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)題意可知在處的切線與直線平行，則，所以，得，所以，因此，可得切線方程為，從而，則過兩點(diǎn)的最小圓的方程為，拋物線的準(zhǔn)線方程為，利用垂徑定理可得15已知，且，則 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT ， = 2 * GB3 * MERGEFORMAT ， = 3 * GB3 * MERGEFORMAT ， = 4 * GB3 * MERGEFORMAT ，正確的有 (請(qǐng)把正確的序號(hào)全部填在橫線上)【答案】 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 【解析】對(duì)于 = 1 *

10、GB3 * MERGEFORMAT ，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；對(duì)于 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；對(duì)于 = 3 * GB3 * MERGEFORMAT ，因?yàn)?，且，所以，所以，從而，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；對(duì)于 = 4 * GB3 * MERGEFORMAT ，因?yàn)?，且，所以，可得，即，所?6若函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為 QUOTE 【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，令，得，設(shè)，則，可得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以，且當(dāng)趨向于正無窮時(shí)，趨向于零當(dāng)時(shí)，令，可得，設(shè)，畫出簡(jiǎn)圖如下圖：所以函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分

11、解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17（10分）已知數(shù)列各項(xiàng)都不為，前項(xiàng)和為，且 ，數(shù)列滿足，在，且是和的等差中項(xiàng)這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到橫線處解答注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和為【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）選，由，可得，兩式相減得，整理得，因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)都不為，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列令，則，解得，故選，由，可得，兩式相減得，整理得，因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)都不為，所以從第項(xiàng)起，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，且令，則，解得，滿足上式所以選，因?yàn)槭呛偷牡炔钪许?xiàng)，所以，計(jì)算得，因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)都不為，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)為公比的

12、等比數(shù)列，所以由，得，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，所以（2）由（1）得，所以，兩式相減得，所以18（12分）在中，角的對(duì)邊分別為，且，的外接圓的直徑為（1）求角的大??；（2）若，且在平面內(nèi)存在點(diǎn)，滿足，求面積的最大值【答案】（1）；（2）【解析】（1）因?yàn)?，所以，即，因?yàn)榈耐饨訄A的直徑為，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?）因?yàn)?，所以，設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)，則，所以由余弦定理，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以面積的最大值為19（12分）為幫助特殊兒童較好的進(jìn)行康復(fù)治療，需要購(gòu)買某種康復(fù)治療儀臺(tái)，具體購(gòu)買方式為：購(gòu)進(jìn)儀器同時(shí)購(gòu)買部分耗材，每個(gè)元，在使用期間耗材不足時(shí)再購(gòu)買，每個(gè)元已知臺(tái)這種治療儀在

13、使用期內(nèi)更換耗材情況如下表：（1）記表示臺(tái)機(jī)器使用期內(nèi)共需更換的耗材數(shù)，求的分布列（以頻率代替概率）；（2）要使使用期內(nèi)耗材平均費(fèi)用最低，試說明購(gòu)買機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的耗材數(shù)為和，哪種更合適？【答案】（1）分布列見解析；（2）【解析】（1）每臺(tái)機(jī)器更換的耗材數(shù)為，的可能的取值為，所以的分布列為：（2）購(gòu)買耗材所需費(fèi)用含兩部分，一部分為購(gòu)買儀器時(shí)購(gòu)買零件的費(fèi)用，另一部分為備件不足時(shí)額外購(gòu)買的費(fèi)用，當(dāng)購(gòu)買機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的耗材數(shù)為時(shí)，費(fèi)用的平均值為；當(dāng)購(gòu)買機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的耗材數(shù)為時(shí)，費(fèi)用的平均值為，購(gòu)買機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的耗材數(shù)為時(shí)更合適20（12分）如圖，在直三棱柱中，已知分別為的中點(diǎn)，為線段上的一動(dòng)點(diǎn)，

14、且，（1）若，求四棱錐的體積；（2）若直線與平面所成的角的大小為，求平面與平面所成角的正弦的最小值，并確定此時(shí)點(diǎn)的位置【答案】（1）；（2）見解析【解析】（1）證明：在直三棱柱中，有，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)槿庵侵比庵?，所以，又，所以平面，所以?）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，因?yàn)槿庵侵比庵?，所以，又，所以平面所以為直線與平面所成的角，即，在等腰直角三角形中，從而，所以，以為原點(diǎn)，以為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，所以，設(shè)平面的法向量為，即，令，得，設(shè)平面的法向量為，即，令，得，令，則，且，（當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立）當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，平面與平面所成角的正弦的最小，最小值為21（12分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且焦距為，離心率為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的橢圓的兩條切線方程的斜率分別為，且，且，設(shè)的最小值為，求的最大值【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意可知，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由題意可知，兩條切線直線的斜率存在且不為零，設(shè)過點(diǎn)的切線方程，聯(lián)立，消去可得，由于直線與橢圓相切，則，化簡(jiǎn)并整理得因?yàn)閮蓷l切線方程的斜率分別為，所以，所以，故，易知當(dāng)時(shí)，有，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為22（12分）已知函數(shù)