2015秋仁愛集合論自然數(shù)-基數(shù)序數(shù)

1、 第四章 自然數(shù)什么是自然數(shù)？ 自然數(shù)是人類最基本的數(shù)學(xué)觀念之一西方阿拉伯?dāng)?shù)字： 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9標(biāo)準(zhǔn)阿拉伯文： 中文數(shù)字： 零， 一， 二，三，四，五，六，七，八，九羅馬數(shù)字： 梵文數(shù)字： 瑪雅數(shù)字：自然數(shù)的概念自然數(shù)原本是一個(gè)原始（原子）概念。作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，集合論將自然數(shù)這一數(shù)學(xué)中最基本的概念納入到其描述體系當(dāng)中。自然數(shù)的本質(zhì)本質(zhì)上看，自然數(shù)是用來和現(xiàn)實(shí)事物一一對(duì)應(yīng)的一組符號(hào)，它有兩個(gè)主要作用：計(jì)數(shù)和排序，在形式化理論中分別對(duì)應(yīng)了基數(shù)理論和序數(shù)理論。從本質(zhì)上看，所謂自然數(shù)，其實(shí)是滿足下列特性的一列符號(hào)： (1) 它們中有一個(gè)為首的符號(hào)； (2)

2、 每個(gè)符號(hào)都有且僅有一個(gè)直接的后繼符號(hào)； (3) 為首的符號(hào)不是任何符號(hào)的直接后繼；(4) 沒有兩個(gè)符號(hào)具有相同的直接后繼；(5) 自然數(shù)僅指這列符號(hào)中的符號(hào)。 自然數(shù)的本質(zhì)及公理化定義（集合論）皮亞諾（G. Peano，1858 年 1932 年）用 5 條皮亞諾公理刻畫自然數(shù)概念： (1) 它們中有一個(gè)為首的符號(hào)； e M (2) 每個(gè)符號(hào)都有且僅有一個(gè)直接的后繼符號(hào)，且沒有兩個(gè)符號(hào)具有相同的直接后繼； F為后繼函數(shù)，F(xiàn)是單射的 (3) 為首的符號(hào)不是任何符號(hào)的直接后繼； e ran F(4) 這個(gè)序列的任何一部分不能夠完成這個(gè)序列的全部功能； 若AM，e A ，若A對(duì)F是封閉的，則 A=

3、M(5) 自然數(shù)僅指這列符號(hào)中的符號(hào)。 M在F下是封閉的自然數(shù)的本質(zhì)及公理化定義（集合論）皮亞諾（G. Peano，1858 年 1932 年）用 5 條皮亞諾公理刻畫自然數(shù)概念： e M F為后繼函數(shù)，F(xiàn)是單射的 e ran F 若AM，e A ，A對(duì)F是封閉的，則 A=M M在F下是封閉的 滿足以上條件按的 稱為一個(gè)皮亞諾系統(tǒng) （定義4.1）兩個(gè)關(guān)鍵問題后繼函數(shù)F和種子e 稱 A 為集合 A 的直接后繼，如果 A AA 例 4.1 空集的后繼序列與一般集合的后繼序列有何不同？ 空集的后繼序列中，每一個(gè)集合都以前面所有的集合為元素。換句話說，每一個(gè)集合都可視為前面所有集合的一個(gè)“累積”。因此

4、可以利用空集的后繼序列來完成自然數(shù)的集合論描述。自然數(shù)的集合論描述0 = 1 = 0+ = 0 = 2 = 1+ = 0, 1 = , 3 = 2+ = 0, 1, 2 = , , , N = (n-1)+ = 0, 1, 2, , n-1 自然數(shù)的集合論描述自然數(shù)的第5公設(shè)是數(shù)學(xué)歸納法的基礎(chǔ)。（P72上半部分）即：S是依賴于自然數(shù)的一個(gè)命題，若該命題對(duì)0成立，且當(dāng)該命題對(duì)n成立時(shí)，則對(duì)n+1也成立。那么S對(duì)所有自然數(shù)都成立。自然數(shù)的集合論描述自然數(shù)是種子為，函數(shù)為后繼的特殊皮亞諾系統(tǒng)其他的所有皮亞諾系統(tǒng)都可以與自然數(shù)相對(duì)應(yīng)，這一特點(diǎn)稱之為自然數(shù)上的遞歸定理（定理4.8） 第五章 基數(shù)希爾伯特

5、大旅館悖論假設(shè)有一個(gè)擁有無限多個(gè)房間的旅館，且所有的房間均已客滿。如果又來了一個(gè)新客人，你能讓他住進(jìn)來嗎？如果來了無窮多個(gè)新客人，你還能讓他住進(jìn)來嗎？希爾伯特大旅館悖論由于希爾伯特的這一悖論違反了我們的直覺，因而經(jīng)常被用于反對(duì)實(shí)無窮的存在，如美國(guó)哲學(xué)家威廉萊恩柯萊格（William Lane Craig）就曾這樣來證明上帝的存在：“ 盡管在數(shù)學(xué)上這種旅館（或任何無限的事物）并非是不可能的，但從直覺上這樣的事物永遠(yuǎn)不可能存在，不僅如此，任何實(shí)無窮都不可能存在。如果一個(gè)時(shí)間序列能夠無限地回退到過去那就會(huì)建立起一個(gè)實(shí)無窮，既然實(shí)無窮不存在，那時(shí)間就必然有個(gè)“起點(diǎn)”。每個(gè)事物都有其發(fā)生的原因，而時(shí)間起

6、始的原因不可能是其他事物，只能是上帝?！毕柌卮舐灭^悖論 在無窮集合的世界中，集合的大小，或者說集合的元素的個(gè)數(shù)是一個(gè)全新的問題。集合元素個(gè)數(shù)相等：“等勢(shì)” P81 定義5.1給定兩個(gè)集合A，B。若A和B之間存在雙射函數(shù)（一一對(duì)應(yīng)），則稱A和B的勢(shì)相等，記做A B例 5.1 集合的“等勢(shì)”Z Nf = Z N集合的“等勢(shì)”NN Nn = 2 (為奇數(shù))n = 2 - 1 = 2 (2+1) - 1 集合的“等勢(shì)”N Q集合的“等勢(shì)”(0,1) R集合的“等勢(shì)”定理 5.2， 5.3定理 5.4 康托爾定理 (1) N R (2) A P(A) 0 0. a01, a02, a03, a04, 1 0. a11, a12, a13, a14, 2 0. a21, a22, a23, a24, 3 0. a31, a32, a33, a34, 4 0. a41, a42, a43, a44, X = 0. b1, b2, b3, b4b1 a01b2 a12b3 a23b4 a44有窮集與無窮集 P83 定義5.2與某個(gè)自然數(shù)n等勢(shì)的集合為有窮集，否則為無窮集集合元素的個(gè)數(shù)：基數(shù) P83 定義5.2集合A的基數(shù)（元素個(gè)數(shù)）用cardA表示（1） card A = card B A B（2） 對(duì)于有窮集合，其基數(shù)為與之等勢(shì)的自然數(shù) card A = n