2.1.3橢圓方程及幾何性質(zhì)的應(yīng)用達(dá)標(biāo)過(guò)關(guān)訓(xùn)練

1、 2.1.3橢圓方程及幾何性質(zhì)的應(yīng)用一、選擇題1.k為何值時(shí)，直線ykx2與橢圓2x23y26有兩個(gè)交點(diǎn)()A.eq f(r(6),3)keq f(r(6),3)或k0，解得keq f(r(6),3)或kb0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P在橢圓上且異于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若直線PA與PB的斜率之積為eq f(1,2)，則橢圓的離心率為 .解析：設(shè)A(a,0)，B(a,0)，P(x，y)，則kPAeq f(y,xa)，kPBeq f(y,xa)，且eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1，kPAkPBeq f(y,xa)eq f(y,xa)eq f(y2,x2a2)eq f(b2b

2、lc(rc)(avs4alco1(1f(x2,a2),x2a2)eq f(b2,a2)，eq f(b2,a2)eq f(1,2)，b2eq f(1,2)a2，c2eq f(1,2)a2，ceq f(r(2),2)a，eeq f(c,a)eq f(r(2),2).答案：eq f(r(2),2)三、解答題9.(2019遼寧沈陽(yáng)期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，中心在原點(diǎn)的橢圓C的上焦點(diǎn)為F(0，eq r(3)，離心率等于eq f(r(3),2).(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)過(guò)F(0，eq r(3)且不垂直于坐標(biāo)軸的動(dòng)直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，問(wèn)：線段OF上是否存在一點(diǎn)D，使得以DA，DB為鄰邊的

3、平行四邊形為菱形？作出判斷并證明.解：(1)由題意可知橢圓的離心率eeq f(c,a)eq f(r(3),2)，ceq r(3)，a2，b1，故橢圓C的方程為eq f(y2,4)x21.(2)存在滿足條件的D點(diǎn).設(shè)滿足條件的點(diǎn)D(0，m)，則0m eq r(3)，設(shè)l的方程為ykxeq r(3)，(k0)，代入橢圓方程，(k24)x22eq r(3)kx10，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2eq f(2r(3)k,k24)，y1y2k(x1x2)2eq r(3)eq f(8r(3),k24).以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，(eq o(DA,sup12()eq o(DB,

4、sup12()eq o(AB,sup12()，eq o(DA,sup12()eq o(DB,sup12()(x1，y1m)(x2，y2m)(x1x2，y1y22m)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2r(3)k,k24)，f(8r(3),k24)2m)，(eq o(DA,sup12()eq o(DB,sup12()eq o(AB,sup12()0，且eq o(AB,sup12()的方向向量為(1，k)，eq f(2r(3)k,k24)eq f(8r(3)k,k24)2mk0，即meq f(3r(3),k24)，k20，meq f(3r(3),k24)eq f(3r(3),4)eq

5、r(3)，0mb0)的離心率為eq f(1,2)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)Peq blc(rc)(avs4alco1(1，f(3,2).(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)定點(diǎn)Q(2，3)的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)M、N，直線PM、PN的斜率為k1、k2，求證：k1k2為定值.解：(1)由題可知eq blcrc (avs4alco1(f(c,a)f(1,2)，,f(1,a2)f(9,4b2)1，,a2b2c2，)解得a2，beq r(3)，橢圓C的方程為eq f(x2,4)eq f(y2,3)1.(2)證明：設(shè)直線l的方程為：y3k(x2)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq blcrc (avs4alco1(y3kx2，,f(x2,4)f(y2,3)1，)得(34k2)x28k(2k3)x4(2k3)2120，8k(2k3)24(34k2)4(2k3)2120，得keq f(1,2)，x1x2eq f(16k224k,34k2)，x1x2eq f(16k248k24,34k2)，k1k2eq f(y1f(3,2),x11)eq f(y2f(3,2),x21)eq f(kx123f(3,2),x11)eq f(kx223f(3,2),x21