ch1-2(3)+101015數(shù)列收斂性的判別準(zhǔn)則

1、第1章 函數(shù)、極限、連續(xù)第1節(jié) 集合、映射與函數(shù)第2節(jié) 數(shù)列的極限第3節(jié) 函數(shù)的極限第4節(jié) 無窮小量及無窮大量第5節(jié) 連續(xù)函數(shù)1第2節(jié) 數(shù)列的極限2.1 數(shù)列極限的概念2.2 收斂數(shù)列的性質(zhì)2.3數(shù)列收斂性的判別準(zhǔn)則2數(shù)列極限的兩大問題數(shù)列極限的存在性； （此問題為最關(guān)鍵的問題）數(shù)列極限值的大?。?（存在性成立后， 才想辦法計(jì)算極限）3幾種證明極限存在的方法：按照數(shù)列極限的定義證明。利用夾逼性證明。最簡(jiǎn)單的思想是利用數(shù)列本身的性質(zhì)證明數(shù)列極限的存在性4（1）單調(diào)有界準(zhǔn)則（2） 數(shù)列極限的歸并原理（3） Weierstrass(維爾斯特拉斯)定理（4） 柯西(Cauchy)收斂原理2.3 數(shù)列極

2、限存在的判別準(zhǔn)則5（1）單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列幾何解釋:更細(xì)致地，單調(diào)增加且有上界的數(shù)列必有極限.單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必有極限.用確界定理證明6幾點(diǎn)說明： 定理中an的單調(diào)性只要從某一項(xiàng)之后滿足即可.這是因?yàn)閿?shù)列的斂散性與前有限項(xiàng)無關(guān)。 此定理的條件為充分但非必要條件。 本定理只是證明了存在性。7例6證(舍去)8證明例7證9正的1011EX解解EX 設(shè)其中 ，證明 收斂。12證明： 遞增顯然，下面證明有上界，事實(shí)上： EX 設(shè)其中 ，證明 收斂。13分別用定義，夾逼性及單調(diào)有界準(zhǔn)則三種方法進(jìn)一步考慮 思考14EX.證法1證法215證法316 子數(shù)列概念及其收斂性定義注（2） 數(shù)

3、列極限的歸并原理17數(shù)列收斂與其子數(shù)列收斂的密切聯(lián)系：定理 2.7 (數(shù)列極限的歸并原理)證明：必要性充分性，注意到 是其自身的子數(shù)列！18推論 若數(shù)列存在兩個(gè)子數(shù)列分別收斂于不同的極限，則這個(gè)數(shù)列必發(fā)散。注意 該推論是證明數(shù)列發(fā)散的很好的工具。19例8證明 (必要性) 由定理2.720數(shù)列收斂與其子數(shù)列收斂的密切聯(lián)系：1 若數(shù)列收斂，則其任意子數(shù)列也收斂（并且收斂到同一極限）2 若數(shù)列的奇數(shù)列和偶數(shù)列都收斂到同一極限，則原數(shù)列也收斂到該極限21證明提示：C.由例8得,隱藏22（3） Weierstrass定理考慮有界數(shù)列和收斂數(shù)列之間的關(guān)系收斂數(shù)列一定有界有界數(shù)列未必收斂定理2.8(Weie

4、rstrass定理) 有界數(shù)列必有收斂子數(shù)列用單調(diào)有界準(zhǔn)則證明！引理 從任意數(shù)列中必可取出一個(gè)單調(diào)的子數(shù)列先給出以下引理證明：設(shè)an 是有界數(shù)列，由引理從中可取出一個(gè)單調(diào)的子數(shù)列ank ,它顯然是有界的，由單調(diào)有界準(zhǔn)則得ank是收斂的。引理 從任意數(shù)列中必可取出一個(gè)單調(diào)的子數(shù)列23引理 從任意數(shù)列中必可取出一個(gè)單調(diào)的子數(shù)列（2）若數(shù)列中只有有限多項(xiàng)可作為“龍頭”，這時(shí)取最后一個(gè)“龍頭”的下一項(xiàng)，記作an1，由于an1不是“龍頭”，在它的后邊必有一項(xiàng)an2（n2n1)滿足an1 an2，如此進(jìn)行下去就得到一個(gè)子列ank,它是一個(gè)嚴(yán)格遞增子列。證明 先引進(jìn)一個(gè)定義：若數(shù)列中的一項(xiàng)大于等于在這項(xiàng)之后

5、的所有各項(xiàng)，則稱這一項(xiàng)是一個(gè)“龍頭”。 分二種情況討論。（1）若數(shù)列中存在著無窮多個(gè)“龍頭”，那么把這些可作為“龍頭”的項(xiàng)依次地取下來，顯然得到一個(gè)遞減的數(shù)列。242.數(shù)列的任意收斂子數(shù)列的極限稱為該數(shù)列的極限點(diǎn),也稱為聚點(diǎn).說明1.定理2.8也稱為致密性定理 ;數(shù)列的聚點(diǎn)原理.定理2.8(Weierstrass定理) 有界數(shù)列必有收斂子數(shù)列注意：聚點(diǎn)可以屬于數(shù)列中的點(diǎn)也可以不屬于！25（4） 柯西(Cauchy)收斂原理1）Cauchy數(shù)列（基本數(shù)列）:定義2.2 如果對(duì)為基本數(shù)列思考:證明26補(bǔ)充：證明證2）柯西收斂原理定理 2.9 (柯西收斂原理)收斂為基本數(shù)列，簡(jiǎn)稱基本列。27 定理2

6、.9 柯西極限存在準(zhǔn)則(柯西收斂原理)數(shù)列極限存在的充要條件是:存在正整數(shù) N ,使當(dāng)時(shí),證明: “必要性”.設(shè)則時(shí), 有 使當(dāng)因此有28“充分性”為基本數(shù)列由定理2.8，使當(dāng)時(shí), 有 另一方面，為基本數(shù)列,使當(dāng)時(shí), 有 取使當(dāng)時(shí), 有 29柯西(Cauchy)收斂原理30例9 分析31證明32例10 證明：33柯西(Cauchy)收斂準(zhǔn)則的意義收斂數(shù)列的各項(xiàng)越到后面，項(xiàng)之間幾乎“擠”在了一起。判別 的收斂性只要根據(jù)本身滿足的特性就可以判別，不需要引入別的數(shù)列作參照。把數(shù)列項(xiàng)與其極限的關(guān)系變換為數(shù)列各個(gè)項(xiàng)之間的關(guān)系。34柯西(Cauchy)收斂原理35例11 利用：?。?6注意： 區(qū)間套定理3

7、7故極限存在，1.設(shè) , 且求解：設(shè)則由遞推公式有數(shù)列單調(diào)遞減有下界，故利用極限存在準(zhǔn)則38 2. 設(shè)證:顯然證明下述數(shù)列有極限 .即單調(diào)增,又存在“拆項(xiàng)相消” 法39內(nèi)容小結(jié)1. 數(shù)列極限的 “ N ” 定義及應(yīng)用2. 收斂數(shù)列的性質(zhì):唯一性 ; 有界性 ; 保號(hào)性; 保不等式性; 四則運(yùn)算法則;夾逼性3. 數(shù)列收斂性（極限存在）判別準(zhǔn)則:單調(diào)有界準(zhǔn)則 ; 柯西準(zhǔn)則數(shù)列極限的歸并原理Weierstrass(維爾斯特拉斯)定理40維爾斯特拉斯 (Weierstrass 1815 1897)德國(guó)數(shù)學(xué)家. 他的主要貢獻(xiàn)是在分析學(xué)方面. 1854年他解決了橢圓積分 還建立了橢圓函數(shù)的新 結(jié)構(gòu). 他在

8、分析學(xué)中建立了實(shí)數(shù)理論, 引進(jìn)了極限的 定義, 及性質(zhì), 還構(gòu)造了一個(gè)處處不可微的連續(xù)函數(shù): 的逆轉(zhuǎn)問題, 給出了連續(xù)函數(shù)的嚴(yán)格定義為分析學(xué)的算術(shù)化作出了重要貢獻(xiàn) .41柯 西 柯西（Cauchy，Augustin Louis1789-1857），十九世紀(jì)前半 世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家。 他的特長(zhǎng)是在分析學(xué)方面，他對(duì)微積分給出了嚴(yán)密的基礎(chǔ)。他 還證明了復(fù)變函數(shù)論的主要定理以及在實(shí)變數(shù)和復(fù)變數(shù)的情況 下微分方程解的存在定理，這些都是很重要的。他的全集卷，僅次于歐拉，居第二位。柯西是歷史上有數(shù)的大分析學(xué)家之一。幼年時(shí)在父親的教導(dǎo)下學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。拉格朗日、拉普拉斯常和他的父親交往，曾預(yù)言柯西日后必成大器。年柯西入理工科大學(xué)，年成為那里的教授。 年，在拉普拉斯和泊松的鼓勵(lì)下，柯西出版了分析教程、無窮小計(jì)算講義、無窮小計(jì)算在幾何中的應(yīng)用這幾部劃時(shí)代的著作。他給出了分析學(xué)一系列基本概念的嚴(yán)格定義?？挛鞯臉O限定義至今還在普遍使用，連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、無窮級(jí)數(shù)的和等概念也建立在較為堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上?，F(xiàn)今所謂的柯西定義或方法是半個(gè)世紀(jì)后經(jīng)