不等式證明的方法技巧(三元型)

1、 關(guān)于三元不等式的一點(diǎn)總結(jié)在自主招生乃至數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，我們往往會(huì)見到許多三元不等式，形式例如“，”的不等式不勝枚舉，所以本節(jié)就專門來談?wù)勱P(guān)于這類不等式的處理手段。由恒等式，再結(jié)合下面這個(gè)不等式：，可推出 （*）即產(chǎn)生不等式 = 1 * GB3 由（*）可進(jìn)一步推：（*）所以又產(chǎn)生不等式，亦可寫成： = 2 * GB3 從恒等式中我們又發(fā)現(xiàn)： 即有不等式 = 3 * GB3 結(jié)合 = 1 * GB3 = 2 * GB3 = 3 * GB3 容易發(fā)現(xiàn)，既可以與和單獨(dú)建立不等關(guān)系，又能和、混合建立不等式。進(jìn)一步，我們?nèi)袈?lián)系熟悉的不等式（證明交給讀者自己）和舒爾不等式的下列4個(gè)變形：變形1 我們把它簡(jiǎn)記

2、為變形2 我們把它簡(jiǎn)記為變形3 我們把它簡(jiǎn)記為變形4 我們把它簡(jiǎn)記為則又可以產(chǎn)生一大批新的三元不等式，形成有力的證明橋梁！下面再介紹一種解決三元齊次輪換對(duì)稱式的強(qiáng)有力工具-舒爾分拆法！定理1（舒爾不等式的推廣）證明：（1） （2） （3）由（1）（2）易知也成立。定理2 三元齊三次輪換多項(xiàng)式可以唯一地表示為 其中，。并且當(dāng)時(shí)，。此定理的證明涉及到線性代數(shù)的知識(shí)，這里就不證明了。為了快速計(jì)算出待定系數(shù)，只要記住。定理3三元齊四次輪換多項(xiàng)式可以唯一地表示為 其中，。并且當(dāng)時(shí)，。其中系數(shù)定理4三元齊五次輪換多項(xiàng)式可以唯一地表示為 其中，并且當(dāng)時(shí)， 。其中，。（）例1 設(shè) 證明：先兩端齊次化，證明 即

3、證明 而由上面總結(jié)的熟悉不等式，顯然成立。例2 設(shè)且證明： 證明：題目中交代所以我們要活用常數(shù)，在原不等式左右都乘上3，左邊以來代替，即 這樣我們就正好也湊到了熟悉不等式的形式，兩邊再同乘上3，得 而我們本來就有 所以原不等式就成立了！例3 （1992年波蘭數(shù)學(xué)競(jìng)賽題） 證明：由總結(jié)的不等式 = 2 * GB3 知，上式顯然成立。例4 （第25屆國(guó)際奧賽試題）已知，證明： 證明：運(yùn)用舒爾分拆的前提必須是齊次和輪換對(duì)稱！所以，先將不等式齊次化 則根據(jù)舒爾分拆，令，則是齊三次輪換多項(xiàng)式，計(jì)算系數(shù)，我們有： 所以 同樣根據(jù)舒爾分拆，我們有： 所以 即原不等式成立！例5 （第41屆國(guó)際奧賽試題）設(shè)求證： 分析 顯然我們知道可以舒爾分拆來證，所以立馬我們通分，得 也即 再整理化簡(jiǎn)得 此時(shí)雖然有這個(gè)條件，但是無法將上式齊次化，所以不能直接用舒爾分拆。考慮這個(gè)結(jié)構(gòu)，如果，那么也是和的分式型，又常數(shù)的形式，這樣處理有力于建立齊次式。證明：，令，于是原不等式等價(jià)于 接下來因?yàn)槭侨R三次輪換多項(xiàng)式，所以用舒爾分拆易證上式成立。例6（2005年西部奧林匹克試題）設(shè)正實(shí)數(shù)。證明： 證明：這個(gè)很好齊次化，等價(jià)于 進(jìn)行舒爾分拆，。所以。故原不等式成立！ 以上方法是證明一些三元不等式的有效方法，但不等式證明博大精深，法無定法，所以讀者在證題中切