梁彈塑性彎曲以及

1、關(guān)于梁的彈塑性彎曲及第一張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月2.1 矩形截面梁的彈塑性純彎曲關(guān)于梁的兩個(gè)假定（材料力學(xué)） ：平截面假定：梁的橫截面在變形之后仍然保持平面。截面上正應(yīng)力對(duì)變形的影響是主要的，其它應(yīng)力分量的影響可以忽略。故應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可簡(jiǎn)化為正應(yīng)力和正應(yīng)變之間的關(guān)系。一、基本關(guān)系第二張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月在圖示的矩形截面梁中，如取x軸為中心線，y軸指向梁的撓度方向，梁的受力狀態(tài)對(duì)稱與x-y平面時(shí)。由平面假設(shè)，截面上的正應(yīng)變?yōu)槠渲?為曲率， 和 都是 的函數(shù)。小變形情形下式中撓度以指向軸的方向?yàn)檎?。截面上的軸力和彎矩為式中b和h分別為矩形截面的寬度和高度第三張，

2、PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月考慮梁的純彎曲問題，故（3）式中軸向力為零，N=0，而（4）式的彎矩 M 與 x 無關(guān)。 二、彈性階段由得將代入（3）、（4）截面的慣性矩說明彎矩和曲率之間有線性關(guān)系代入式（5）說明應(yīng)力分布與y成比例第四張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月在梁的最上層和最下層，應(yīng)力的絕對(duì)值最大，故開始屈服所對(duì)應(yīng)的彎矩和曲率為彈性極限彎矩彈性極限曲率則（6）式的無量綱形式可寫為第五張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月三、彈塑性階段考慮 的情形設(shè)彈塑性區(qū)交界處的 值為有截面上的彎矩：第六張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月或（10）式中，對(duì)應(yīng)于y=y0的應(yīng)力為=s，

3、故 考慮 的情形（11）式也可寫為對(duì)比彈性解第七張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月1、表明雖然梁截面的外層纖維已進(jìn)入塑性屈服階段，但由于其中間部分仍處于彈性階段，“平截面”的變形特性限制了外層纖維塑性變形的大小，因而它們是處于約束塑性變形狀態(tài)，梁的曲率完全由中間彈性部分控制。第八張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月，塑性極限載荷，在y=0處上下纖維的正應(yīng)力從+s跳到-s，出現(xiàn)了正應(yīng)力的強(qiáng)間斷。2、3、當(dāng)變形限制在彈性變形的量級(jí)時(shí)，材料的塑性變形可以使梁的抗彎能力得到提高。矩形截面梁圓形截面薄圓管工字梁 第九張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月三、卸載時(shí)的殘余曲率和殘余應(yīng)力 1、卸

4、載規(guī)律在卸載時(shí)MK之間應(yīng)服從彈性規(guī)律彎矩的改變量和曲率的改變量之間的關(guān)系：應(yīng)力的改變量：2、殘余曲率若彎矩完全卸到零，即殘余曲率的表達(dá)式第十張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月卸載后的殘余曲率與未卸載時(shí)的曲率之比：或：適用：或：當(dāng)時(shí)，顯然有第十一張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月3、殘余應(yīng)力其中 與 之間的關(guān)系有式（13）和（14）給出說明：1.在彈性區(qū)的殘余應(yīng)力仍保留原來的符號(hào)。2.卸載時(shí)，應(yīng)力變化最大的部位在梁的最外層 由和第十二張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月3.當(dāng)再次施加的正向彎矩值不超過M*時(shí)，梁將呈彈性響應(yīng)。得外層的正應(yīng)力改變了符號(hào)但未出現(xiàn)反向屈服4.如卸載到零以

5、后再施加反向彎矩，則開始時(shí)的響應(yīng)仍是彈性的，當(dāng)M滿足外層纖維開始反向屈服,即彎矩的變化范圍不大于2Me時(shí)，結(jié)構(gòu)將是安定的。 第十三張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月 2.2橫向載荷作用下梁的彈塑性分析一、梁的彈性極限載荷研究矩形截面的理想彈塑性懸臂梁，在端點(diǎn)受集中力作用梁的彎矩：當(dāng)P增至根部的彎矩X=0截面的最外層纖維開始屈服稱為彈性極限載荷第十四張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月二、塑性狀態(tài)時(shí)，梁的彎矩分布仍服從（19）式。設(shè)開始進(jìn)入塑性狀態(tài)的截面在 處，則有位于 的各截面上均有部分區(qū)域進(jìn)入屈服狀態(tài)，其彈塑性交界位置1、塑性極限載荷第十五張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月在

6、 處，當(dāng) 時(shí)，即梁根部的整個(gè)截面都進(jìn)入塑性流動(dòng)階段稱為塑性極限載荷與 相應(yīng)的 值可由第十六張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月2、塑性鉸塑性鉸：彎矩達(dá)到了塑性極限彎矩，則相應(yīng)的曲率可任意地增長(zhǎng)，就好像一個(gè)鉸那樣。與通常的鉸有兩點(diǎn)區(qū)別：1.通常的鉸不承受彎矩 ；2.通常較兩側(cè)的梁段可在兩個(gè)方向作相對(duì) 轉(zhuǎn)動(dòng)，而塑性鉸作反方向相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)應(yīng)于卸載。 第十七張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月三、梁的撓度1、梁處于彈性狀態(tài)以及端條件可得特別地第十八張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月1、梁處于彈塑性狀態(tài)彈塑性梁段彈性梁段當(dāng)?shù)谑艔垼琍PT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月區(qū)間 中的曲率可由下式給

7、出：利用端條件，得區(qū)間 中的曲率可由下式給出：利用x=3/L處的連接條件，得第二十張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月其中自由端的撓度為：可見，彈塑性變形與彈性變形是同數(shù)量級(jí)的。？當(dāng)載荷P先加到P，然后又卸載到零時(shí)，自由端的殘余撓度？第二十一張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月2.3 強(qiáng)化材料矩形截面梁的彈塑性純彎曲一般強(qiáng)化材料:在純彎曲條件下，單調(diào)加載時(shí)，彎矩表達(dá)式為：作變量替換 后，上式可寫為：可得到 MK 關(guān)系。僅當(dāng) 時(shí)，上式中的 才不為零第二十二張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月 如已知K 0，則由（9）和（12）式： 可直接求得M 值。 如已知M 0，則需用疊代法求出相

8、應(yīng)的K 值和應(yīng)力分布。為此，可利用 將（24）式改寫為：上式右端的第一項(xiàng)為純彈性部分，第二項(xiàng)是由于梁的塑性變形而對(duì)曲率的修正。注意到 ，有在令：第二十三張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月則對(duì)任意兩個(gè)曲率 和 ，由中值定理可得-現(xiàn)定義算子T：而將（27）式寫成采用迭代法：先令則第一次迭代為：第二十四張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月由于可見T 是一個(gè)壓縮映象，以上迭代過程是收斂的。-則第 次迭代為：第二十五張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月2.4 超靜定梁的塑性極限載荷以圖示的一次超靜定梁為例第二十六張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月設(shè)其 M K 曲線可由圖7中的理想彈塑

9、性模型表示，即第二十七張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月當(dāng) 時(shí)設(shè)載荷P從零開始增長(zhǎng)。AB段和BC段彎矩是線性分布的其中在根部A截面當(dāng) 時(shí)，對(duì)應(yīng)的載荷為：第二十八張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月當(dāng) 時(shí)（1）梁的根部形成一個(gè)塑性鉸，可以產(chǎn)生任意大的曲率。但由于其它部位仍處于彈性階段，故根部曲率的大小要受到這些部位的約束。（2）A點(diǎn)成為塑性鉸后，該處的彎矩已知，結(jié)構(gòu)成為靜定的。由平衡條件得當(dāng) 時(shí)，B點(diǎn)的彎矩為梁成為一個(gè)機(jī)構(gòu)而不能進(jìn)一步承載。稱為塑性極限載荷第二十九張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月分析：1.塑性極限載荷并不依賴于彈模 E，其值僅與結(jié)構(gòu)本身和載荷有關(guān)，而與結(jié)構(gòu)的殘余

10、應(yīng)力狀態(tài)和加載歷史無關(guān)。彈塑性結(jié)構(gòu)的極限載荷與剛塑性結(jié)構(gòu)的極限載荷是相同的2.若僅計(jì)算極限載荷，無須分析彈塑性變形過程，可采用剛塑性模型，用更為簡(jiǎn)單的方法進(jìn)行計(jì)算。常用的方法：靜力法：以應(yīng)力作為基本未知量機(jī)動(dòng)法：以位移作為基本未知量第三十張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月靜力法：是通過與外載荷相平衡且在結(jié)構(gòu)內(nèi)處處不違反屈服條件的廣義應(yīng)力場(chǎng)來尋求所對(duì)應(yīng)外載荷的最大值的一種方法。以圖6所示的梁為例彎矩（絕對(duì)值）的最大值只可能在A點(diǎn)和B點(diǎn)。以C點(diǎn)的支座反力為參數(shù)梁內(nèi)處處不違反屈服條件就要求第三十一張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月兩個(gè)不等式同時(shí)成立，所對(duì)應(yīng)的最大外載荷為：塑性極限載荷機(jī)動(dòng)

11、法：是當(dāng)結(jié)構(gòu)的變形可能成為一個(gè)塑性流動(dòng)（或破損）機(jī)構(gòu)時(shí)，通過外載荷所做的功與內(nèi)部耗散功的關(guān)系來尋求所對(duì)應(yīng)外載荷的最小值的一種方法。對(duì)于圖6所示的梁，可能的破損機(jī)構(gòu)只有一種，即根部A和中點(diǎn)B都成為塑性鉸。第三十二張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月令B點(diǎn)向下移動(dòng)的距離為，A點(diǎn)處梁的轉(zhuǎn)角為 B點(diǎn)兩側(cè)梁段的相對(duì)轉(zhuǎn)角為則力P所作的功為：塑性鉸上所作的耗散功為：由外力功和內(nèi)部耗散功相等的條件塑性極限載荷或注：對(duì)于較為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，可能的破損機(jī)構(gòu)一般有好幾種。對(duì)應(yīng)于每一種機(jī)構(gòu)，都可求得一個(gè)載荷值。真實(shí)的極限載荷是所有這些載荷中的最小值。第三十三張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月2.5 用靜力法和機(jī)

12、動(dòng)法求剛架的塑性極限載荷一、幾個(gè)概念靜力場(chǎng) ：處處滿足平衡條件的內(nèi)力分布現(xiàn)考慮一個(gè)n次超靜定剛架，它有n個(gè)多余反力設(shè)剛架中可能出現(xiàn)塑性鉸的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為m 。m個(gè)節(jié)點(diǎn)處的彎矩外力多余反力消去 得到的m-n個(gè)方程反映了結(jié)構(gòu)的平衡條件第三十四張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月即構(gòu)成一個(gè)平衡體系稱為靜力場(chǎng)靜力許可場(chǎng) ：結(jié)構(gòu)內(nèi)處處不違反屈服條件的靜力場(chǎng)結(jié)構(gòu)內(nèi)處處不違反屈服條件稱為靜力許可場(chǎng)靜力法：就是要在一切可能的靜力許可場(chǎng)中尋求取值最 大的外載荷。 第三十五張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月二、例子圖 8我們來考慮圖8所示的平面剛架。設(shè)各截面的塑性極限彎矩為MS。在水平力3P和豎直力2P的作

13、用下，求出結(jié)構(gòu)最大可能承受的載荷P。 解：該結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)n=2 節(jié)點(diǎn)，處可能出現(xiàn)塑性鉸,故m=4取節(jié)點(diǎn)處的支座反力R和N為多余反力，并規(guī)定彎矩的符號(hào)以剛架內(nèi)側(cè)拉為正，則相應(yīng)的平衡方程為靜力法第三十六張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月消去R、N，得到m-n=2個(gè)獨(dú)立的平衡方程即如果mj還滿足屈服條件則就構(gòu)成一個(gè)靜力許可場(chǎng)(29)第三十七張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月利用（30）式，條件（31）式可等價(jià)地寫為 或消去消去(32)(33)(34)第三十八張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月而 （負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)于反向加載）對(duì)應(yīng)于最大載荷值：當(dāng)(34)式中的各式才可能成立。為存在靜力許

14、可場(chǎng)的條件(36)1.對(duì)應(yīng)于的彎矩分布可通過回代過程來確定：塑性極限載荷說明：2.二次超靜定結(jié)構(gòu)中有三個(gè)節(jié)點(diǎn)，成為塑性鉸，結(jié)構(gòu)變成機(jī)構(gòu)而開始塑性流動(dòng)。這說明（36）式的的確是一個(gè)極限載荷。第三十九張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月機(jī)動(dòng)法說明：1.對(duì)于n次超靜定剛架，當(dāng)出現(xiàn)（n+1)個(gè)塑性鉸時(shí)，結(jié)構(gòu)就會(huì) 變成機(jī)構(gòu)而產(chǎn)生塑性流動(dòng)。設(shè)可能出現(xiàn)塑性鉸的節(jié)點(diǎn)數(shù)為m，則可能的破損機(jī)構(gòu)的總數(shù)不少于m2.對(duì)于n次超靜定剛架，可能出現(xiàn)塑性鉸的節(jié)點(diǎn)數(shù)為m，可列出 的獨(dú)立的平衡方程個(gè)數(shù)為m-n。這m-n個(gè)方程可利用虛功原理與結(jié)構(gòu)的m-n個(gè)破損機(jī)構(gòu)相對(duì)應(yīng)，稱這樣的破損機(jī)構(gòu)為基本機(jī)構(gòu)其它的破損機(jī)構(gòu)可通過基本機(jī)構(gòu)組

15、合而得到第四十張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月3.每一個(gè)破損機(jī)構(gòu)都是一個(gè)機(jī)動(dòng)場(chǎng)。設(shè)在塑性鉸 點(diǎn)兩側(cè)梁段的相對(duì)轉(zhuǎn)角為與外載荷相對(duì)應(yīng)的廣義位移為可表示為許可機(jī)動(dòng)場(chǎng)使外載荷在 上所作的總功取正值的機(jī)動(dòng)場(chǎng)對(duì)于每一個(gè)運(yùn)動(dòng)機(jī)動(dòng)場(chǎng)，當(dāng)令外載荷作的總功與塑性鉸的總耗散功相等時(shí)，便得到一個(gè)載荷值。機(jī)動(dòng)法就是要在一切可能的運(yùn)動(dòng)許可場(chǎng)中尋求取值最小的外載荷第四十一張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月圖 8我們來考慮圖8所示的平面剛架。設(shè)各截面的塑性極限彎矩為MS。在水平力3P和豎直力2P的作用下，求出結(jié)構(gòu)最大可能承受的載荷P。 解：可能的破損機(jī)構(gòu)總數(shù)為基本機(jī)構(gòu)的個(gè)數(shù)為例如，取圖9中的（a)和（b）為基本

16、機(jī)構(gòu)。則（a)和（b）這兩種基本機(jī)構(gòu)疊加：消去 處的鉸，得到機(jī)構(gòu)（c）。消去 處的鉸，得到機(jī)構(gòu)（d）。第四十二張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月(d) 成鉸(c) 成鉸(b) 成鉸(a) 成鉸第四十三張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月用機(jī)動(dòng)法計(jì)算對(duì)應(yīng)于每個(gè)破損機(jī)構(gòu)的載荷值(a) 成鉸(b) 成鉸第四十四張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月(c) 成鉸(d) 成鉸第四十五張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月以上四種載荷值中的最小者對(duì)應(yīng)于機(jī)構(gòu)(b),最先形成塑性鉸的節(jié)點(diǎn)為,。結(jié)構(gòu)的塑性極限載荷討論一種簡(jiǎn)便的方法：在以上這些塑性流動(dòng)機(jī)構(gòu)中事先選取其中的某幾個(gè)，并分別計(jì)算出這幾個(gè)機(jī)

17、構(gòu)所對(duì)應(yīng)的“上限載荷”。進(jìn)而考察這些“上限載荷”中取最小值的塑性流動(dòng)機(jī)構(gòu)，并將其鉸點(diǎn)上的彎矩值取為極限彎矩，然后在根據(jù)平衡條件求出其它各節(jié)點(diǎn)處的彎矩值。如果所有截面上彎矩的絕對(duì)值都沒有超過極限彎矩，那么我們就找到了一個(gè)靜力許可場(chǎng)，因?yàn)樗瑫r(shí)對(duì)應(yīng)于某個(gè)運(yùn)動(dòng)機(jī)動(dòng)場(chǎng)，所以以上所求得的載荷值就是真實(shí)的極限載荷，否則以上的載荷只能是真實(shí)極限載荷的上限，而需要對(duì)其它的塑性流動(dòng)機(jī)構(gòu)再重新進(jìn)行計(jì)算。第四十六張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月(a) 成鉸我們來考慮圖8所示的平面剛架。先選取使節(jié)點(diǎn) 成鉸的機(jī)構(gòu)為塑性流動(dòng)機(jī)構(gòu)。(29)由由柱45的平衡條件，可知節(jié)點(diǎn) 處的水平力可知節(jié)點(diǎn) 處的水平力第四十七張，P

18、PT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月由柱12的平衡條件，可知節(jié)點(diǎn) 處的垂直力即節(jié)點(diǎn)1處已違反屈服條件，以上的機(jī)構(gòu)并不是真實(shí)的塑性流動(dòng)機(jī)構(gòu)。再選取使節(jié)點(diǎn) 成鉸的機(jī)構(gòu)為塑性流動(dòng)機(jī)構(gòu)。(29)由由柱45的平衡條件可知節(jié)點(diǎn) 處的水平力以及結(jié)構(gòu)真實(shí)的塑性極限載荷第四十八張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月2.6 極限分析中的上下限定理在上節(jié)中，我們沒有追蹤結(jié)構(gòu)的實(shí)際加載過程去逐步地進(jìn)行結(jié)構(gòu)的彈塑性計(jì)算，而是設(shè)法直接求出結(jié)構(gòu)的塑性極限載荷及其相應(yīng)的塑性流動(dòng)機(jī)構(gòu)。這樣的分析方法通常稱為極限分析。在極限分析中，最常用的方法就是靜力法和機(jī)動(dòng)法。 這兩種方法是以本節(jié)將要討論的上、下限定理為理論依據(jù)的 回顧：第四

19、十九張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月二、上、下限定理假定作用在結(jié)構(gòu)上的各個(gè)外載荷 為集中力，它們以共同的比例因子 逐漸增長(zhǎng)。當(dāng) 時(shí)，外載荷對(duì)應(yīng)于真實(shí)的塑性極限載荷其中 表示給定的關(guān)于各載荷間的相對(duì)比值與真實(shí)的塑性流動(dòng)機(jī)構(gòu)相對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)許可場(chǎng)可寫為其中 是在實(shí)際出現(xiàn)塑性鉸點(diǎn) 兩側(cè)梁段的相對(duì)轉(zhuǎn)角。 1.幾個(gè)概念第五十張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月靜力法要求構(gòu)造某個(gè)靜力許可場(chǎng) 由此可得到一個(gè)載荷乘子機(jī)動(dòng)法要求構(gòu)造某個(gè)靜力許可場(chǎng)然后通過計(jì)算外載荷值：其中 滿足根據(jù)運(yùn)動(dòng)許可場(chǎng)的定義，上式中 第五十一張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月2.定理上、下限定理：由靜力法得到的載荷乘子 小于

20、或等于真實(shí)的載荷乘子 ，由機(jī)動(dòng)法得到的載荷乘子 大于或等于真實(shí)的載荷乘子 ，即有：3.定理證明虛功原理：當(dāng)任意一個(gè)靜力許可場(chǎng) 在任意一個(gè) 運(yùn)動(dòng)許可場(chǎng) 上作功時(shí)，外載荷的虛功 應(yīng)等于內(nèi)力的虛功。第五十二張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月由于真實(shí)場(chǎng) 是靜力許可場(chǎng)的一種，而真實(shí)場(chǎng) 是運(yùn)動(dòng)許可場(chǎng)的一種，因此根據(jù)不同的組合，可得到虛功方程的幾種具體表達(dá)式 ： 顯然有：此外，（43）式大于零的條件可寫為第五十三張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月于是，從（43）式減去（41）式并利用條件：可得即類似地，從（39）式減去（42）式并利用可得即這便證明了上、下限定理。第五十四張，PPT共七十頁，創(chuàng)作

21、于2022年6月以上定理說明，由靜力許可場(chǎng)可得到極限載荷的下限，由運(yùn)動(dòng)許可場(chǎng)可得到極限載荷的上限。如果能同時(shí)找到一個(gè)既是靜力許可場(chǎng)又是運(yùn)動(dòng)許可場(chǎng)的體系，那么相應(yīng)的載荷就必然是結(jié)構(gòu)的塑性極限載荷。如果不能精確地求出極限載荷，那么也可分別由靜力許可場(chǎng)和運(yùn)動(dòng)許可場(chǎng)求得極限載荷的下限和上限，并由上限與下限之差來估計(jì)極限載荷近似值的精確度。第五十五張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月2.7 最輕結(jié)構(gòu)的極限設(shè)計(jì)問題的提出：在給定外載和某些其它條件下，如何來設(shè)計(jì)一種最優(yōu)的結(jié)構(gòu)。這樣的問題稱之為極限（或優(yōu)化）設(shè)計(jì)。最優(yōu)的標(biāo)準(zhǔn)可以有多種。這里的討論將以重量最輕為準(zhǔn)則，故又稱為最輕結(jié)構(gòu)的極限設(shè)計(jì)。問題給定載荷

22、及結(jié)構(gòu)的形狀，求結(jié)構(gòu)中各截面上的塑性極限彎矩。由于極限彎矩MS與截面的尺寸（或單位長(zhǎng)度構(gòu)件的重量）有關(guān)。分析故一般可有關(guān)系式當(dāng) f 為線性函數(shù)時(shí)對(duì)于同一類型的構(gòu)件，式中的a和b可取為常數(shù)第五十六張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月整個(gè)結(jié)構(gòu)的重量:上式中 表示第 個(gè)構(gòu)件的塑性極限彎矩如何來選取各個(gè)構(gòu)件的 ，使得在保證結(jié)構(gòu)安全的前提下，為最小。 ？ 求解方法設(shè)想結(jié)構(gòu)出現(xiàn)了第q種破損機(jī)構(gòu)而產(chǎn)和塑性流動(dòng)，相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)許可場(chǎng)表示第 個(gè)構(gòu)件上位于 點(diǎn)處兩側(cè)梁段的相對(duì)轉(zhuǎn)角有第五十七張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月為保證結(jié)構(gòu)安全就要求對(duì)一切可能的q，都有最輕結(jié)構(gòu)的極限設(shè)計(jì)問題便歸結(jié)為在滿足（46）式

23、的條件下選取 使（45）式中的X為最小的問題。這在數(shù)學(xué)上是一個(gè)線性規(guī)劃問題。例：圖10表示了一個(gè)雙跨連續(xù)梁。第五十八張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月設(shè)兩段梁的極限彎矩分別為MS1和MS2，在外載P1和P2 （= 3P1 ）的作用下有四處可能出現(xiàn)塑性鉸（如圖中的，）因?yàn)镸S1和MS2可以不相等，B處將在薄弱的一側(cè)形成鉸，所以B點(diǎn)有兩個(gè)可能成鉸的截面，即在其左側(cè)或在其右側(cè)。于是，在外載的作用下，就可能出現(xiàn)圖（10）中（a），（b），（c），（d）所示的四種機(jī)構(gòu)?；蚴且陨蠙C(jī)構(gòu)的組合，（e)就是（a）和（d）的組合。第五十九張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月相應(yīng)的（46）式可分別寫為：引進(jìn)無量綱量 第六十張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月下來確定 和 使得 取最小值。 問題就化為：解析法將（49）式改為在條件并代入（48）式后，有 消去 當(dāng)結(jié)構(gòu)安全時(shí)，x的最小值應(yīng)取為5 （48）第六十一張，PPT共七十頁，創(chuàng)作于2022年6月再以代 回以上各個(gè)不等式，便有 或 在給定載荷下的最輕設(shè)計(jì) 說明：將極限彎矩值 和 代到（47）中，可知（a），（b）式中的等號(hào)成立。這說明在這種設(shè)計(jì)時(shí)破損機(jī)構(gòu)是（a），（b）的組合（e）。從直觀上講，最優(yōu)設(shè)計(jì)應(yīng)該要求當(dāng)機(jī)構(gòu)破損時(shí)，能同時(shí)出現(xiàn)更多的機(jī)構(gòu)，這才能夠最充分地發(fā)揮所有材料的潛力。第六十二張，