矩陣?yán)碚?第四講最小多項(xiàng)式的定義和應(yīng)用

1、上節(jié)內(nèi)容回顧化方陣A為Jordan標(biāo)準(zhǔn)形特征向量法初等變換法多項(xiàng)式矩陣（ 矩陣）多項(xiàng)式矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)型不變因子、初等因子行列式因子法 的相似變換矩陣P的求法在A的Jordan矩陣中構(gòu)造k個(gè)以 為對角元素的Jordan塊k個(gè)Jordan塊的階數(shù)之和等于1Hamilton-Cayley定理任一方陣都是它的特征多項(xiàng)式的根Hamilton-Cayley定理設(shè) ， ，則證明：由于顯然運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)矩陣運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)零矩陣2Hamilton-Cayley定理任一方陣都是它的特征多項(xiàng)式的根證明：考察J：3Hamilton-Cayley定理將J寫成如下形式：上式中 是

2、A 的n個(gè)根，所以將矩陣A代入上式，形成一個(gè)矩陣多項(xiàng)式，：將 代入上式：4Hamilton-Cayley定理5Hamilton-Cayley定理6Hamilton-Cayley定理7Hamilton-Cayley定理任一方陣都是它的特征多項(xiàng)式的根證明：仿照常數(shù)矩陣的伴隨矩陣的定義，定義多項(xiàng)式矩陣的伴隨矩陣：設(shè)其中： 是 的行列式的第i行第j列元素的代數(shù)余子式，那么與常數(shù)矩陣類似：8Hamilton-Cayley定理設(shè) 是矩陣A的特征矩陣的伴隨矩陣，那么 是次數(shù)為n的多項(xiàng)式：再考察 ，其每個(gè)元素的次數(shù)均不超過n 1:9Hamilton-Cayley定理令:利用矩陣加法的定義 將 分解10Hami

3、lton-Cayley定理考察等式 的右邊：考察其左邊：比較兩邊的系數(shù)：11Hamilton-Cayley定理以 依次右乘這些等式：+=12Hamilton-Cayley定理的應(yīng)用化簡矩陣多項(xiàng)式的計(jì)算：當(dāng)n階方陣的矩陣多項(xiàng)式 中A的最高次冪超過n時(shí)，可用多項(xiàng)式的帶余除法，將此矩陣多項(xiàng)式對應(yīng)的多項(xiàng)式 表示為 與商 的積，再加上余式 的形式：那么根據(jù)Hamilton-Cayley定理這樣可簡化 的計(jì)算多項(xiàng)式的帶余除法設(shè) ， 為任意多項(xiàng)式， 不恒等于0，則必有兩個(gè)多項(xiàng)式 和 ，使得式中 或 13Hamilton-Cayley定理的應(yīng)用舉例：給出：求 ； ； ； 14Hamilton-Cayley定理

4、的應(yīng)用商： 15Hamilton-Cayley定理的應(yīng)用所以：第2個(gè)問題第3個(gè)問題：待定系數(shù)法16方陣的零化多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式方陣的零化多項(xiàng)式設(shè) ， 是多項(xiàng)式，如果 成立，則稱 為方陣A的零化多項(xiàng)式 是A的零化多項(xiàng)式 不恒等于零， 是A的零化多項(xiàng)式方陣的最小多項(xiàng)式設(shè) ，在A的零化多項(xiàng)式中，次數(shù)最低的首一多項(xiàng)式稱為A的最小多項(xiàng)式，記為設(shè) ， 且 ， 成立，且 是唯一的 證明：采用反證法設(shè) 是A的任一零化多項(xiàng)式，假設(shè) 不能整除 ，則根據(jù)多項(xiàng)式的帶余除法：17方陣的零化多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式而 是A的最小多項(xiàng)式：與假設(shè)矛盾再證最小多項(xiàng)式的唯一性假設(shè) 也是A的最小多項(xiàng)式首先， 、 均成立其次， 與 次數(shù)相

5、同，否則其中一個(gè)不是最小多項(xiàng)式因此， 、 的商為常數(shù)因子又因?yàn)?與 都是首一的，此常數(shù)因子必等于1所以18方陣的零化多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式定理矩陣A的特征根也必定是A的最小多項(xiàng)式的根；A的最小多項(xiàng)式的根必定是A的特征根證明：根據(jù)矩陣多項(xiàng)式的特征值的定理，即設(shè) 是 的特征值 ，矩陣多項(xiàng)式 的特征值為并且，若 則A的任一特征值滿足 是A的次數(shù)最低的、首一的零化多項(xiàng)式： 即：A的特征根也必定是A的最小多項(xiàng)式的根 又：設(shè) 是 的根，即 ，可得 是A的特征根19方陣的零化多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式矩陣A的特征根也必定是A的最小多項(xiàng)式的根，由此可得到求最小多項(xiàng)式的一個(gè)方法：設(shè) 的所有不同的特征值為 ，則其特征多項(xiàng)式可

6、寫為：那么A的最小多項(xiàng)式應(yīng)該具有如下形式：這就是下述定理所描述的內(nèi)容：定理設(shè) ， 是A的所有互不相同的特征值，則其中 是A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形中含 的Jordan塊的最高階數(shù)20方陣的零化多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式可能相同21方陣的零化多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式定理設(shè) ， 是A的特征矩陣 的n 1階行列式因子，則A的最小多項(xiàng)式為：22方陣的零化多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式舉例：求的最小多項(xiàng)式方法1最小多項(xiàng)式只能有以下形式次數(shù)從低到高依次驗(yàn)證所以23方陣的零化多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式舉例：求的最小多項(xiàng)式方法2 (Jordan標(biāo)準(zhǔn)形法) ：A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形中含 的Jordan塊的最高階數(shù)24方陣的零化多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式舉例

7、：求的最小多項(xiàng)式方法1 (第n階不變因子)25方陣的零化多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式舉例：求的最小多項(xiàng)式方法2 (Jordan標(biāo)準(zhǔn)形法)：A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形中含 的Jordan塊的最高階數(shù)26多項(xiàng)式矩陣的逆多項(xiàng)式矩陣的逆設(shè) ，若 ，使得 成立則稱 是可逆的，或稱 是單模矩陣多項(xiàng)式矩陣的逆是唯一的設(shè) 也是 的逆，則多項(xiàng)式矩陣可逆的充要條件 可逆證明：必要性假設(shè) 可逆，則 ， 成立27多項(xiàng)式矩陣的逆 充分性設(shè) ，則 使得其中， 是 的伴隨多項(xiàng)式矩陣28初等矩陣及多項(xiàng)式矩陣的等價(jià)結(jié)論： 對多項(xiàng)式方陣，滿秩未必可逆初等多項(xiàng)式矩陣都是可逆的初等多項(xiàng)式矩陣都是單模的 初等陣，使得29多項(xiàng)式矩陣的等價(jià) 與 有相同

8、的行列式因子，或相同的不變因子證明：必要性多項(xiàng)式矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)形的唯一性 與 有相同的不變因子多項(xiàng)式矩陣的行列式因子和不變因子之間的關(guān)系 與 有相同的行列式因子30多項(xiàng)式矩陣的等價(jià) 充分性設(shè) 與 有相同的不變因子（因而有相同的行列式因子），則它們與同一個(gè)Smith標(biāo)準(zhǔn)形等價(jià)，即矩陣的相似與其特征矩陣的等價(jià)之間的關(guān)系定理相似矩陣有相同的最小多項(xiàng)式證明：多項(xiàng)式矩陣等價(jià)的傳遞性31多項(xiàng)式矩陣的互質(zhì)性簡介右公因子(Right Common Factor)：設(shè) 與 ，如果存在多項(xiàng)式矩陣 、 以及 ，使得 及 成立則稱多項(xiàng)式矩陣 是 與 的右公因子左公因子(Left Common Factor)設(shè)

9、與 ，如果存在多項(xiàng)式矩陣 、 以及 ，使得 及 成立則稱多項(xiàng)式矩陣 是 與 的左公因子最大右公因子(greatest common right decomposition factor, gcrd ?) 是 與 的右公因子； 與 的任一其它的右公因子 都是 的右乘因子通過轉(zhuǎn)置關(guān)系：研究其中之一即可32多項(xiàng)式矩陣的互質(zhì)性簡介gcrd的存在性 及 ，其gcrd都存在。gcrd的構(gòu)造定理若存在單模矩陣 ，使得則 即為 與 的一個(gè)gcrd證明：先證 是右公因子。為此，把 的逆矩陣 寫成分塊矩陣：nnmgcrd33多項(xiàng)式矩陣的互質(zhì)性簡介以 左乘定理中的等式兩邊，可得比較等式里邊分塊矩陣中的每一個(gè)分塊，可

10、知 是 與 的右公因子再證 是gcrd，即若 為 與 的另一右公因子，證明 是 的右乘因子，將代入 34多項(xiàng)式矩陣的互質(zhì)性簡介可得gcrd的求法若對分塊多項(xiàng)式矩陣進(jìn)行一系列初等行變換，使其下面的m n分塊成為零多項(xiàng)式塊則就是求 與 的gcrd的變換矩陣， 就是所求的gcrdnnm35多項(xiàng)式矩陣的互質(zhì)性簡介求gcrd舉例給出求36多項(xiàng)式矩陣的互質(zhì)性簡介求gcrd舉例12237多項(xiàng)式矩陣的互質(zhì)性簡介gcrd的基本性質(zhì)不唯一性。 單模矩陣 滿秩 滿秩 單模 單模 若 ，則38多項(xiàng)式矩陣的互質(zhì)性簡介gcrd的基本性質(zhì) 對 及 ，若則 可表示為事實(shí)上，由gcrd的構(gòu)造定理取 ， 即可39多項(xiàng)式矩陣的互質(zhì)

11、性簡介多項(xiàng)式矩陣的互質(zhì)稱 與 是右互質(zhì)的，若 為單模矩陣多項(xiàng)式矩陣的互質(zhì)的Bezout判別準(zhǔn)則 與 右互質(zhì) 使Bezout等式 成立證明：必要性 與 右互質(zhì) 為單模矩陣，以其逆 左乘構(gòu)造定理中的上分塊矩陣等式可得40多項(xiàng)式矩陣的互質(zhì)性簡介令則充分性得證充分性設(shè)Bezout等式成立：給定一個(gè)則 及 ，使得 成立代入Bezout等式從而 是單模矩陣 與 右互質(zhì) 41多項(xiàng)式矩陣的互質(zhì)性簡介多項(xiàng)式矩陣的互質(zhì)的Smith標(biāo)準(zhǔn)形判別準(zhǔn)則 與 右互質(zhì) 分塊多項(xiàng)式矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)形為即： 證明：必要性 42多項(xiàng)式矩陣的互質(zhì)性簡介由gcrd構(gòu)造定理有： (1)其中， 是單模矩陣若 與 右互質(zhì) 是單模矩陣設(shè)

12、的逆為 ，以其右乘(1)式由于等價(jià)的多項(xiàng)式矩陣具有相同的Smith標(biāo)準(zhǔn)形必要性得證Smith標(biāo)準(zhǔn)形43多項(xiàng)式矩陣的互質(zhì)性簡介充分性 若成立 與 （均為單模陣），使得成立，設(shè) 的逆為 ，以其右乘上式，可得由構(gòu)造定理， ，且單模 與 右互質(zhì)Smith標(biāo)準(zhǔn)形44多項(xiàng)式矩陣既約性簡介多項(xiàng)式矩陣的行次數(shù)和列次數(shù) 對多項(xiàng)式矩陣 ，定義分別為 的第i行次數(shù)和 的第j列次數(shù)，分別記為：舉例:45多項(xiàng)式矩陣既約性簡介多項(xiàng)式矩陣的列次表示式 多項(xiàng)式矩陣 可用其列次數(shù)表示為列次表示式其中， 是一對角陣； ：列次系數(shù)矩陣，其第j列為 的第j列中相應(yīng) 于 項(xiàng)的系數(shù)組成的列 ； ：低次剩余多項(xiàng)式矩陣，且46多項(xiàng)式矩陣既約

13、性簡介多項(xiàng)式矩陣的行次表示式 多項(xiàng)式矩陣 可用其行次數(shù)表示為行次表示式其中， 是一對角陣； ：行次系數(shù)矩陣，其第i行為 的第i行中相應(yīng) 于 項(xiàng)的系數(shù)組成的行 ； ：低次剩余多項(xiàng)式矩陣，且 47多項(xiàng)式矩陣既約性簡介多項(xiàng)式方陣的行列式與其列次的關(guān)系 多項(xiàng)式方陣 的行列式可表示為如下形式多項(xiàng)式方陣的行列式與其行次的關(guān)系 多項(xiàng)式方陣 的行列式可表示為如下形式多項(xiàng)式方陣的行次和與列次和的關(guān)系 多項(xiàng)式方陣的行次和等于列次和48多項(xiàng)式矩陣既約性簡介多項(xiàng)式矩陣的既約性 列既約設(shè) ，若則稱 是列既約的行既約設(shè) ，若則稱 是行既約的49多項(xiàng)式矩陣既約性簡介舉例 是列既約的，但不是行既約的50多項(xiàng)式矩陣既約性簡介定理 對 ，則 是列既約的 是行既約的 證明：先證第一項(xiàng)由于故當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)（即 滿秩），有根據(jù)列既約的定義， 為