新編第二章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用習題課(二)課件

1、第八章習題課（二）一 空間曲線的切線與法平面，空間曲面的切平面與法線設(shè)曲線參數(shù)方程為在對應(yīng)處的切點：切向切線方程法面方程1如果曲線的方程為切點為可以視方程中的y, z 為x 的函數(shù)， 求得切向量或者視方程中的x, z 為y 的函數(shù)， 求得切向量2如果曲面方程為切點為法向為切面方程為法線方程為3例1 在曲線上求一點P，使該曲線過該點的切線平行于平面并寫出切線方程。解 該曲線的切向量已知平面法向量由于所以因此所求點或切線方程為或4例2求曲線在點處的切線與法平面方程。解法一兩邊對y求導(dǎo)，因此切向量切線方程或法平面方程或5解法二先求曲面在點處的切平面方程，令則在點處的法向量為切面方程為即所以所求的切線

2、方程為其方向向量為所求曲線的法平面方程6例3求過直線且與曲線在點處的切線平行的平面方程。解過已知直線的平面束方程為其法向量為曲線方程兩邊對x求導(dǎo)得即7由于因此所以因此已知曲線在點處切向量代入平面束方程得所求平面方程為8例4設(shè)為可微函數(shù)，且曲面通過點求曲面過該點的切平面與法線方程。解令則曲面方程為因此曲面在點的法向量切平面方程或法線方程或9例5證明曲面上任意一點處的切平面在三個坐標軸截距的平方和為常數(shù)。證設(shè)為曲面上任意一點，則令令則曲面在處的法向量為切平面方程10即截距式方程所以11例6證明曲面上任意一點處的切平面都通過原點.證設(shè)曲面上任意一點為由于所以曲面在點P 處法向量為切面方程為12即所以

3、切平面過原點。13二 方向?qū)?shù)與梯度設(shè)函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，方向l 的方向余弦為則u 在點M 處沿l 方向的方向?qū)?shù)為梯度為且指向函數(shù)u 的函數(shù)值增加的一方。函數(shù)u 在點M 處取最大方向?qū)?shù)的方向。其模為最大方向?qū)?shù)函數(shù)u 在點M 處梯度的方向為函數(shù)u 過點M 的等值面的法向，函數(shù)u 在點M 處梯度的方向為14例7求函數(shù)在點處沿點A 指向點方向的方向?qū)?shù)。解15例8求函數(shù)在點處的最大方向?qū)?shù)，沿x 軸負向的方向?qū)?shù)。及其取最大方向?qū)?shù)的方向，在點處解根據(jù)梯度的定義，梯度的方向為取最大方向?qū)?shù)的方向，梯度的模為最大方向?qū)?shù)。所以取最大方向?qū)?shù)的方向為沿x 軸負向的方向?qū)?shù)為16例9求函數(shù)在點處沿曲

4、面在此點處沿內(nèi)法向的方向?qū)?shù)。解曲面在點處的法向為內(nèi)法向所以17例10求函數(shù)在點處沿曲線在此點的內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù)。因此法線方向為因為曲線的斜率為所以法線的斜率為解法一內(nèi)法線方向為所以18解法二曲線在點P 處的內(nèi)法向剛好為函數(shù)過點P 的等值線的法向，且指向函數(shù)值z 增加的方向，由梯度的幾何意義知19三 函數(shù)的極值，最值，拉格朗日乘子法偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)的極值點一定是駐點。如果為函數(shù)的駐點，且若當時，為極大值點，當時，為極大值點，若不是極值點。求有界閉區(qū)域D上的最值即為比較D 的內(nèi)部的駐點的函數(shù)值與D 的邊界上的最值的大小。函數(shù)在條件下的極值一定是的極值。20例11求函數(shù)的極值。解得駐點當時，與因此函數(shù)在點處取極大值當時，因此函數(shù)在點處不取極值21例12求函數(shù)在閉區(qū)域的最大、最小值。解得的駐點下面求函數(shù)在上最值，即求的最值，最小值（當時，最大值（當時，而因此22例13求過點（1，2，3）的一個平面，使其第一象限部分與三坐標面圍成的立體的體積最小。解設(shè)所求平面方程為過點因此令則23因此代入得根據(jù)題意知最小體積的四面體存在，因此所求的平面為最小體積為24例14在橢球面上求距離平面的最遠、最近點，并求最長、最短距離。解設(shè)為橢球面上任意一點，其到已知平面的距離為方便起見，作拉格朗日函數(shù)則由25得代入得由于所