新人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第六章平面及其應(yīng)用：專題強(qiáng)化練2 余弦定理、正弦定理的綜合應(yīng)用

1、專題強(qiáng)化練2余弦定理、正弦定理的綜合應(yīng)用一、選擇題 1.()若鈍角三角形ABC的面積是12,AB=1,BC=2,則AC=()A.5B.5C.2D.12.()若ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,面積S=a2+b2-c24=a23sinA,則sin B=()A.63B.22C.32D.2233.()在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且BC邊上的高為36a,則bc+cb的最大值為()A.8B.6C.32D.44.(2020廣西大學(xué)附屬中學(xué)高三月考,)在銳角ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,ABC的面積為S,若sin(A+C)=2Sb2-c2,則tan C+12t

2、an(B-C)的最小值為()A.2B.2C.1D.22二、填空題5.(2020山東泰安高三上期末,)在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cosAa+cosBb=sinCc,b2+c2-a2=65bc,則tan B=.6.(2020北京清華大學(xué)附屬中學(xué)高三下統(tǒng)練,)在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知B=60,b=4,給出下列說(shuō)法:若c=3,則角C有兩個(gè)解;若BCBA=12,則AC邊上的高為33;a+c不可能等于9.其中正確說(shuō)法的序號(hào)是.7.()在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若|CA-CB|=3,CACB=6,則ABC面積的最大值為.8.(20

3、20安徽合肥高三模擬,)在銳角ABC中,BC=2,sin B+sin C=2sin A,則中線AD的取值范圍是.三、解答題9.(2020安徽黃山高一期末,)幾千年的滄桑沉淀,凝練了黃山的美,清幽秀麗的自然風(fēng)光,文化底蘊(yùn)厚重的旅游環(huán)境.自明清以來(lái),文人雅士,群賢畢至,旅人游子,紛至沓來(lái),使黃山成為江南的旅游熱點(diǎn).如圖,游客從黃山風(fēng)景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩處路徑,一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A乘景區(qū)觀光車到B,然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50米/分鐘,在甲出發(fā)2分鐘后,乙從A乘觀光車到B,在B處停留20分鐘后,再?gòu)腂勻速步行到C.假設(shè)

4、觀光車勻速直線運(yùn)行的速度為250米/分鐘,山路AC長(zhǎng)為2 340米,經(jīng)測(cè)量,cos A=2425,cos C=35.(1)求觀光車路線AB的長(zhǎng);(2)乙出發(fā)多少分鐘后,乙在觀光車上與甲的距離最短?10.(2020四川遂寧高一期末,)已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,滿足(b-a)(sin B+sin A)=(b-c)sin C.(1)求A;(2)從下列條件:a=3;SABC=3中任選一個(gè)作為已知條件,求ABC周長(zhǎng)的取值范圍.答案全解全析一、選擇題1.B由題意得,12ABBCsin B=1212sin B=12,sin B=22,B=4或B=34.當(dāng)B=34時(shí),由余弦定理得AC2

5、=AB2+BC2-2ABBCcos B=1+2+2=5,AC=5(負(fù)值舍去),此時(shí)ABC為鈍角三角形,符合題意;當(dāng)B=4時(shí),由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=1+2-2=1,AC=1(負(fù)值舍去),此時(shí)AB2+AC2=BC2,ABC為直角三角形,不符合題意.故AC=5.2.DS=a2+b2-c24,12absin C=2abcosC4,即sin C=cos C,C=4.S=a23sinA,12bcsin A=a23sinA,由正弦定理得12sin Bsin Csin A=sin2A3sinA,即sin Bsin C=23,sin B=223.故選D.3.DBC邊上的高為3

6、6a,SABC=12a36a=12bcsin A,a2=23bcsin A,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A可得23bcsin A=b2+c2-2bccos A,整理得,b2+c2bc=23sin A+2cos A,即bc+cb=4sinA+6.A(0,),A+66,76,當(dāng)A+6=2,即A=3時(shí),4sinA+6有最大值,為4.bc+cb的最大值為4.4.A因?yàn)閟in(A+C)=2Sb2-c2,即sin B=2Sb2-c2,所以sin B=acsinBb2-c2,因?yàn)閟in B0,所以b2=c2+ac,由余弦定理得,c2+ac=a2+c2-2accos B,即a-2ccos B=c

7、,再由正弦定理得sin A-2sin Ccos B=sin C,因?yàn)閟in A-2sin Ccos B=sin(B+C)-2sin Ccos B=sin(B-C),所以sin(B-C)=sin C,所以B-C=C或B-C+C=,所以B=2C或B=(舍去).因?yàn)锳BC是銳角三角形,所以0C2,02C2,0-3C2,得6C4,所以tan C33,1,所以tan C+12tan(B-C)=tan C+12tanC2,當(dāng)且僅當(dāng)tan C=22時(shí)取等號(hào).故選A.二、填空題5.答案4解析b2+c2-a2=65bc,由余弦定理得b2+c2-a2=2bccos A=65bc,cos A=35,sin A=1-

8、cos2A=45.cosAa+cosBb=sinCc,由正弦定理得cosAsinA+cosBsinB=sinCsinC,34+1tanB=1,tan B=4.6.答案解析對(duì)于,當(dāng)c=3時(shí),cb,CB,角C只有1個(gè)解,錯(cuò)誤.對(duì)于,BCBA=12,accos B=accos 60=12ac=12,ac=24.12acsin B=122432=63.設(shè)AC邊上的高為h,則12bh=124h=63,解得h=33,正確.對(duì)于,b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-2accos 60=a2+c2-ac=16,a2+c2=16+ac,a2+c22ac(當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)),16+ac2ac,a

9、c16,(a+c)2=a2+c2+2ac=3ac+16316+16=64,a+c84,c2+4=(4-b)2+4b2,b2+4c2=(4-b)2,解得32b52.故bc=b(4-b)=-b2+4b32b52,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),得154bc4.AD=12(AB+AC),|AD|=12AB2+AC2+2ABACcosBAC=12b2+c2+2bcb2+c2-42bc=122b2+2c2-4=1228-4bc,154bc4,31228-4bc132,即AD的取值范圍為3,132.三、解答題9.解析(1)在ABC中,因?yàn)閏os A=2425,cos C=35,所以sin A=725,sin C=45

10、,從而sin B=sin-(A+C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=117125.由正弦定理得ABsinC=ACsinB,所以AB=ACsinBsin C=2 34011712545=2 000(m),所以觀光車路線AB的長(zhǎng)為2 000 m.(2)假設(shè)乙出發(fā)t分鐘后,甲、乙兩游客的距離為d m,此時(shí)甲行走了(100+50t)m,乙距離A處250t m,由余弦定理得d2=(100+50t)2+(250t)2-2250t(100+50t)2425=1 000(41t2-38t+10)=1 00041t-19412+4941.因?yàn)?t2 000250,即0t8,所以當(dāng)

11、t=1941 min時(shí),甲、乙兩游客的距離最短.10.解析(1)因?yàn)?b-a)(sin B+sin A)=(b-c)sin C,所以由正弦定理得(b-a)(b+a)=(b-c)c,即b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=12,又A(0,),所以A=3.(2)選擇a=3.由正弦定理得bsinB=csinC=asinA=2,所以ABC的周長(zhǎng)l=2sin B+2sin C+3=2sin B+2sin23-B+3=3sin B+3cos B+3=23sinB+6+3,因?yàn)锽0,23,所以6B+656,12sinB+61,所以2323sinB+6+333,即ABC周長(zhǎng)的取值范圍為(23