新人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)：專題強(qiáng)化練4 空間幾何體的內(nèi)切球和外接球

1、專題強(qiáng)化練4空間幾何體的內(nèi)切球和外接球一、選擇題 1.(2020內(nèi)蒙古呼和浩特第二中學(xué)高一上期末,)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的頂點(diǎn)都在球O的球面上,AB=2,AA1=4,則球O的表面積為()A.323B.32C.64D.6432.(2020陜西西安電子科技大學(xué)附屬中學(xué)高一上期末,)如圖,正四棱錐P-ABCD的側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)都等于22,則它的外接球的表面積為()A.16B.12C.8D.43.(2020安徽合肥六校聯(lián)盟高二上期末,)已知圓錐的底面半徑為3,母線長(zhǎng)為5,球O與圓錐的底面和側(cè)面均相切,設(shè)球O的體積為V1,圓錐的體積為V2,則V1V2=()A.18B.38C.14D.8274.

2、()設(shè)A,B,C,D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn),ABC為等邊三角形且其面積為93,則三棱錐D-ABC體積的最大值為()A.123B.183C.243D.5435.()在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是(深度解析)A.4B.92C.6D.3236.(2020江西高安中學(xué)高一上期中,)已知球O是正三棱錐A-BCD的外接球,BC=3,側(cè)棱AB=23,點(diǎn)E在線段BD上,且BD=3BE,過(guò)點(diǎn)E作球O的截面,則所得截面圓面積的取值范圍是()A.54,4B.2,4C.94,4D.114,4二、填空題7.(2020湖南郴州

3、高一上期末,)如圖所示,邊長(zhǎng)為2的正方形SG1G2G3中,E、F分別是G1G2,G2G3的中點(diǎn),沿SE、SF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)三棱錐S-EFG,使G1、G2、G3三點(diǎn)重合,重合后記為G,則三棱錐S-EFG的外接球的表面積為.8.(2020安徽合肥高三一模,)如圖,已知四棱錐P-ABCD的外接球O的體積為36,PA=3,側(cè)棱PA與底面ABCD垂直,四邊形ABCD為矩形,點(diǎn)M在球O的表面上運(yùn)動(dòng),則四棱錐M-ABCD體積的最大值為.9.(2020廣東中山第一中學(xué)高一上第二次段考,)如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為12 cm,該紙片上的正方形ABCD的中心為O,E,F,G,H為圓O上的點(diǎn),AB

4、E,BCF,CDG,ADH分別是以AB,BC,CD,DA為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開(kāi)后,分別以AB,BC,CD,DA為折痕折起ABE,BCF,CDG,ADH,使得E,F,G,H重合,得到一個(gè)四棱錐.當(dāng)該四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍時(shí),該四棱錐的外接球的表面積為.10.(2020廣東廣州白云高三下模擬,)將半徑為r的5個(gè)球放入由一個(gè)半徑不小于3r的球和這個(gè)球的內(nèi)接正四面體A-BCD的四個(gè)面分割成的五個(gè)空間內(nèi),若此正四面體的棱長(zhǎng)為26,則r的最大值為.答案全解全析一、選擇題1.D過(guò)球心O作底面ABC的垂線,垂足為O,易知OO=2,OA=23322=233.由球的截面的性質(zhì)可得OA2=OO2+OA

5、2,所以O(shè)A=4+43=43,所以球O的表面積S=4OA2=643.故選D.2.A設(shè)正四棱錐外接球的球心為O,半徑為R,正四棱錐底面的中心為O1,則O在正四棱錐的高PO1上.在直角三角形ABC中,AC=2AB=222=4,所以AO1=2,所以正四棱錐的高PO1=AP2-AO12=(22)2-22=84=2,因?yàn)镻O1=AO1,所以O(shè)與O1重合,即正四棱錐外接球的球心是底面的中心O1,且球的半徑R=2,故球的表面積S=4R2=16.故選A.3.B該幾何體的軸截面如圖所示,設(shè)球O的半徑為r.易得圓錐的高為52-32=4,故SSAB=1264=12(5+5+6)r,解得r=32,故V1=43r3=9

6、2,V2=13324=12,故V1V2=92112=38.4.B設(shè)ABC的邊長(zhǎng)為a,則SABC=12aasin 60=93,解得a=6(負(fù)值舍去).設(shè)ABC的外接圓半徑為r,則2r=6sin60,得r=23,則球心到平面ABC的距離為42-(23)2=2,所以點(diǎn)D到平面ABC的最大距離為2+4=6,所以三棱錐D-ABC體積的最大值為13936=183,故選B.5.B易得AC=10.設(shè)ABC的內(nèi)切圓的半徑為r,則1268=12(6+8+10)r,所以r=2,因?yàn)?r=43,所以當(dāng)球與三棱柱的上、下底面相切時(shí),體積最大,所以最大球的直徑為3,則半徑R=32,此時(shí)球的體積V=43R3=92.故選B.

7、解題反思要使球的體積取最大值,該球的半徑應(yīng)取到最大值,即該球與三棱柱內(nèi)切,因此需要討論底面三角形內(nèi)切圓直徑與三棱柱高的關(guān)系,從而確定出球半徑的最大值.6.B設(shè)BCD的中心為O1,球O的半徑為R,連接AO1,則O在AO1上.連接O1D,OD,O1E,OE,如圖,則O1D=3sin 6023=3,AO1=AD2-DO12=123=3.在RtOO1D中,R2=3+(3-R)2,解得R=2.BD=3BE,DE=2.在DEO1中,O1E=3+4232cos30=1,OE=O1E2+OO12=1+1=2.過(guò)點(diǎn)E作球O的截面,當(dāng)截面與OE垂直時(shí),截面圓的面積最小,此時(shí),截面圓的半徑為22-(2)2=2,面積

8、為2;當(dāng)截面過(guò)球心時(shí),截面圓的面積最大,最大面積為4,故選B.二、填空題7.答案6解析設(shè)三棱錐S-EFG外接球的半徑為R.由題意可知,SGEG,SGGF,GEGF,所以將三棱錐S-EFG補(bǔ)成如圖所示的長(zhǎng)方體,它們有同一外接球,因?yàn)镾G=2,GE=GF=1,所以外接球的直徑2R=22+12+12=6,即R=62.所以三棱錐S-EFG的外接球的表面積S=4R2=6.8.答案814解析設(shè)球O的半徑為R,則43R3=36,故R=3.由題易知PA,AB,AD兩兩垂直,所以將四棱錐P-ABCD補(bǔ)成長(zhǎng)方體,可知外接球的直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線,設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a,b,c,且c=3,因?yàn)閍2+b2+3

9、2=62,所以a2+b2=27,又a2+b22ab,所以ab272,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=362時(shí),等號(hào)成立.要使得四棱錐M-ABCD的體積最大,只需點(diǎn)M為平面ABCD的中心O與球心O所在的直線與球的交點(diǎn)(點(diǎn)M、O在球心O兩側(cè)),又OO=R2-a2+b222=9274=32,所以四棱錐M-ABCD體積的最大值為1327232+3=814.9.答案4003 cm2解析如圖1,連接OE交AB于點(diǎn)I.圖1設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x cm(x0),則OI=x2 cm,IE=12x2 cm.因?yàn)樵撍睦忮F的側(cè)面積是底面積的2倍,所以4x212x2=2x2,解得x=8.設(shè)E,F,G,H重合于點(diǎn)P,該四棱錐的外接球的球心為Q,如圖2,圖2易知OC=42 cm,PC=EA=82+42=45 cm,所以O(shè)P=PC2-OC2=43 cm.設(shè)外接球的半徑為R cm,則R2=(43-R)2+(42)2,解得R=1033,所以外接球的表面積S=410332=4003(cm2).10.答案1解析如圖1,設(shè)BCD的中心為O1,則其外接球球心O在AO1上,連接OD,O1D.圖1O1D=23CD32=22,AO1=AD2-DO12=4,設(shè)外接球的半徑為R,則R2=(AO1-R)2+DO12,解得R=3