2022年《概率統(tǒng)計(jì)》作業(yè)題參考答案

1、概率統(tǒng)計(jì)作業(yè)題參考答案概率統(tǒng)計(jì)作業(yè)題參考答案概率統(tǒng)計(jì)作業(yè)題答案cy091017 王少玲1. 某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品以 批抽取 3 100 個(gè)為一批 . 在進(jìn)行抽樣檢查時(shí) , 只從每個(gè)來檢查 , 假如發(fā)覺其有次品 , 就認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格 . 假定每批產(chǎn)品率. 求12 在一批產(chǎn)品能通過檢查的條件下 , 這批產(chǎn)品沒有次品的概 解 1 記 A = 產(chǎn)品能通過檢查 , B i =產(chǎn)品有 i 個(gè)次品 i =0,1,2,就3.0, 4.0,3.0210=B P B P B P 941.0|,97.0|,1|3100 3982310039910=C C B A P C C B A P B A P 由全概率公式,

2、得所求概率為 970.0|2 0=i i i B A P B P A P 2 我們要求的概率是1 / 27 概率統(tǒng)計(jì)作業(yè)題參考答案309.0970 P .03.01|0000. =A P B P B A P A P AB P A B 2. 發(fā)報(bào)臺(tái)分別以概率 0.6 及 0.4 發(fā)出信號(hào)“ ” 及“- ” ；由于通訊系統(tǒng)受到干擾 , 當(dāng)發(fā)出信號(hào)“ ” 時(shí) , 收?qǐng)?bào)臺(tái)以概率 0.8 及 0.2 收到信號(hào)“ ” 及“- ” ; 又當(dāng)發(fā)出信號(hào)“-” 時(shí) , 收?qǐng)?bào)臺(tái)以概率 0.9 及 0.1 收到信號(hào)“- ” 及“ ” ；求 : 1 收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“ ” 的概率 ; 2 當(dāng)收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“- ” 時(shí) ,

3、 發(fā)報(bào)臺(tái)確系發(fā)出信號(hào)“- ” 的概率； 解 1 記 A = 收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“ ”,B = 發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號(hào)“ ”, 就4.0,6.0=B P B P 9.0|,1.0|,2.0|,8.0|=B A P B A P B A P B A P 由 全 概 率 公 式 , 收 報(bào) 臺(tái) 收 到 信 號(hào) “ ”的 概 率 為52.0|=+=B A P B P B A P B P A P 2 當(dāng)收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“- ” 時(shí) , 發(fā)報(bào)臺(tái)確系發(fā)出信號(hào)“- ” 的概率是75.048 2 / 27 概率統(tǒng)計(jì)作業(yè)題參考答案P .04.09.01|= . =-=A P B P B A P A P B A P A B 3.

4、兩臺(tái)機(jī)床加工同樣的零件 , 第一臺(tái)顯現(xiàn)廢品的概率為 0.05, 第二臺(tái)顯現(xiàn)廢品的概率為 0.02, 加工的零件混放在一起；如第一臺(tái)車床與其次臺(tái)車床加工的零件數(shù)比例為 5 : 4, 求: 1 任意從這些零件取出一個(gè)恰為合格品的概率 ; 2 任意從這些零件取出一個(gè) 車床加工的可能性有多大 . , 發(fā)覺恰為合格品；試問它為其次臺(tái) 解 i A =“所取的零件由第 i 臺(tái)機(jī)床加工” i =1,2, B =“取出的零件為合格品”; 就1 由全概率公式 , 任意從這些零件取出一個(gè)恰為合格品的概率是 : 2 由貝葉斯 Bayes 公式知 , 所求概率為 : 3 / 27 概率統(tǒng)計(jì)作業(yè)題參考答案4. 用甲胎蛋白

5、法普查肝癌, 由過去的資料得到靈敏度 即癌癥患者檢測(cè)結(jié)果呈陽性的概率 是 95%、特異度 即正常人檢測(cè)結(jié)果呈陰性的概率 是90%；又已知廣州肝癌發(fā)病率為0.02%1999 年數(shù)據(jù) , 即每一萬廣州人有兩人得肝癌；假設(shè)某人的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性 , 試問 : 他應(yīng)當(dāng)懊喪到什么 程度. 解 答案是令人驚奇的 , 他甚至應(yīng)當(dāng)保持謹(jǐn)慎樂觀的態(tài)度；為 什么呢 .我們來求一下他真的患有肝癌的 條件 概率；令 A = 檢 驗(yàn)結(jié)果是陽性 ,B = 他真的患病 , 就 | |B A P B P B A P B P B A P B P A B P += %19.0% 901%02.01%95%02.0% 95%02.0

6、- . -+. . = 5. 設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量 X 的概率密度為 : 2 1A f x x =+,x -求:1 常數(shù) A ;2X 落在區(qū)間 0,1 內(nèi)的概率 ;3X Y e = 的概率 密度； 解 1 由概率密度的性質(zhì) , 有4 / 27 概率統(tǒng)計(jì)作業(yè)題參考答案2211arctan 11A f x dx dx A dx A x A x x - - - =+. . . , 故 1A =； 2 由概率運(yùn)算公式知 , 所求概率為 1 1 02 111101arctan 144P X dx x x = . =+. ; 3隨機(jī)變量函數(shù) X Y e = 的分布函數(shù)為 ln 20, 0;1 ln ,0.1X

7、y Y y F y P e y P X y dx y x - . . =. . +. .20, 0;1 ,0.1ln 故 X Y e = 的概率密度是Y Y y f y F y y y y . .= . . +.5 / 27 概率統(tǒng)計(jì)作業(yè)題參考答案6. 設(shè)隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)為 arctan F x A B x =+,x -+； 1求常數(shù) ,A B ;2 求|1P X ;3求概率密度； 解 1由 0lim =-x F x 及 1l im =+ x F x , 得02=- + B A , 12=+ B A 解得 1 ,21=B A ; 2|1P X 其它 求:1 常數(shù) C ;2 概率3P X

8、Y + ; 3X 、Y 的邊緣概率密度 ; 并判定 X 與 Y 是否獨(dú)立； 解 1 由聯(lián)合概率密度的性質(zhì) , 有 220220 1,2x y x y C f x y dxdy Ce dxdy C e dx e dy -+- - =. . . . . . , 故 2C = ；2 由概率運(yùn)算公式知 , 所求概率為 3 33 2 22330 ,0 3221x x y x y x x x y x y P X Y e dxdy e dx e dy e e dx -+-+= =- . .7 / 27 概率統(tǒng)計(jì)作業(yè)題參考答案. . .3 3 6 6 320 1x x x x e e dx e e e -=-

9、=-+=-. ; 3X 、Y 的邊緣概率密度分別為 2 02,0;,0,0.x y x X e dy e x f x f x y dy x -+- - . =. =. . . .22,0; 0, 0.y Y e y f y y -. =. 明顯,X Y f x y f x f y =, 故 X 與 Y 獨(dú)立；8. 設(shè)二維隨機(jī)變量 ,X Y 的聯(lián)合概率密度為8 / 27 概率統(tǒng)計(jì)作業(yè)題參考答案23,0,0; ,0, .x y Ae x y f x y -+. =.Y 落 在 區(qū) 域 :0,0,236R x y x . 其 它求 1 系 數(shù) A ;2,X y + 內(nèi)的概率為632,0,0=Y X

10、Y X P 2 360 230 ,06 3232236y x y y x y x y x dx e dy . . . . -=-+- . . .0,0;0,26,2032x x e dy e dy y x f x f x y x X . . =- . .0,0; 0,3,3y y e dx y x f y f y Y f y =, 故 X 與 Y 獨(dú)立；明顯,X Y f x y f x 9. 設(shè)隨機(jī)變量 0,2X U 與2Y e 獨(dú)立, 求: 10 / 27 概率統(tǒng)計(jì)作業(yè)題參考答案1 二維隨機(jī)變量 ,X Y 的聯(lián)合概率密度;2 概率P X Y ； 解 1隨機(jī)變量 0,2X U 的密度為. .

11、. . . =-其它； , 0; 0,22y e y f y Y 隨機(jī)變量 ,X Y 的聯(lián)合概率密度為. . . -= 20 20 202x y x y x y 11 / 27 概率統(tǒng)計(jì)作業(yè)題參考答案dy e dx dxdy e 141 412142022 2|-=-= . e e dx e x x ；10. 設(shè)袋有 2 個(gè)白球和 3 個(gè)黑球 , 每次從其任取 1 個(gè)球, 直至取到 黑球?yàn)橹?, 分別就 1 不放回取球與 2 有放回取球兩種情形 運(yùn)算取球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差與標(biāo)準(zhǔn)差 . 解 設(shè) X 與 Y 分別表示情形 1 與2 的 取球次數(shù) , 就不難知道 ,X 的又 7.21.033.02

12、6.012222= . +. +. =X E 故 45.022=-=X E X E X D ,67.0=X D X 而 Y 的概率分布為 : 6.04.01. =-k k Y P ,1,2,3,k = ,即6.0G Y =Y D Y 從而356.01=Y E ,9106.06.012=-=Y D ,05.111. 設(shè)隨機(jī)變量 ,0 U X , 求隨機(jī)變量函數(shù) X Y cos = 的數(shù)學(xué)期 望與方差 . 解 隨機(jī)變量 ,0 U X 的密度為 . . . . . =其它； ,0; 12 / 27 概率統(tǒng)計(jì)作業(yè)題參考答案0,1 x x f 就函數(shù) X Y cos = 的數(shù)學(xué)期望與方差分別為. - .

13、 =dx x f x X E Y E cos cos 0sin 1 cos 1 |0 = = . x xdx ; . - . =-=dx x f x X E Y E Y E Y D cos cos 2222 21 13 / 27 概率統(tǒng)計(jì)作業(yè)題參考答案2sin21212cos121cos 1 |00 02 =+=+=. . x x dx x xdx12. 設(shè)二維連續(xù)隨機(jī)變量 ,X Y 2,0,1; ,0, .x y x y f x y - . =.的聯(lián)合概率密度為. 其它, 試求 X 與 Y 的協(xié)方差； 解 由隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的運(yùn)算公式即知111 10000,22E - - . . =-

14、=- . . . . . . . . 1 1315 X xf x y dxdy x x y dxdy xdx x y dy 224312x x dx =-=-= .同理可得 12 14 / 27 概率統(tǒng)計(jì)作業(yè)題參考答案5 =Y E ；又 11002E XY xy x y dxdy =-. . 1 021111 23366x x dx -=-=-= .故 X 與 Y 的協(xié)方差為 144 1 ,- =-=Y E Y E XY E Y X Cov 13. 設(shè)隨機(jī)變量 4,4N X ,求: d , 使 得 0.9P X 1210P X - ; 3 確 定d ； 解 1332 4 1024242 102

15、- - =- =-=X P X P 3 由28.19.02 42412424 = - =- -=-=d d d X P d X P 得 28.12 4-d , 故 44.1 d14. 設(shè)隨機(jī)變量 1,4X N ,求以下概率 : 4.56P X ； 解 1 1.6 5.8P X - ;2| 13.14.22 1 8.521216.1 8.56.1- - =- - =-X P X P 895.09032.019918.0=-= 2| 4.56P X 2 1 56.4212156.4 156.456.41-= 時(shí), .- - = -=y x y y x dx e dx e y X y P y F 0

16、 22222221 故|Y X = 的概率密度為 .17 / 27 概率統(tǒng)計(jì)作業(yè)題參考答案. . . . =-0, 00 ,222 2 2y y e y F y f y 2 222 2222220 22 2 222 2= = =. . . - 18 / 27 概率統(tǒng)計(jì)作業(yè)題參考答案- - x d e dx xe dy e y Y E x x y 2222 =+=X E X D X E Y E 故 2222 1 -=-=Y E Y E Y D 16. 某工廠有 200 臺(tái)同類型的機(jī)器 , 每臺(tái)機(jī)器工作時(shí)需要的電功率 為 10 千瓦；由于工藝等緣由 , 每臺(tái)機(jī)器的實(shí)際工作時(shí)間只占全部工作時(shí)間的 7

17、5%,各臺(tái)機(jī)器是否工作是相互獨(dú)立的；求 : 1 任一時(shí)刻有 140至 160 臺(tái)機(jī)器正在工作的概率 ; 2 需要供應(yīng)多少電功率可以保證全部機(jī)器正常工作的概率不小 于 0.95. 解 設(shè)大事 A 表示機(jī)器工作 , 就可把 200 臺(tái)機(jī)器是否工作視19 / 27 概率統(tǒng)計(jì)作業(yè)題參考答案作 200 重 貝 努 利 試 驗(yàn) ； 設(shè)Y 表 示 任 一 時(shí) 刻 正 在 工 作 的機(jī) 器 數(shù) ,就75.0,200N Y . 1由 De Moivre -Laplace 心極限定理知 5 .37150 1605.371505.37150140160140- - =Y P Y P 8968.019484.0216

18、3.12=-. =- 2 設(shè)任一時(shí)刻正在工作的機(jī)器數(shù)不超過m , 就題目要求95.00 m Y P 即有 5.245.37150 5.3715005.37150 0- - - - m m m Y P 645.15 .37150 - m , 故645.15 .37150 -m ,1.160 m , 取 161=m ,即需要供應(yīng) 1610 千瓦的電功率 . 17. 設(shè)總體 p G X ,抽取樣本 12,n X X X ；求: 1 樣本均值 X 的數(shù)學(xué)期望與方差 ;2 樣本方差 2S 的數(shù)學(xué)期望； 解 由于p G X , 故 21,1p p X D p X E -= 20 / 27 概率統(tǒng)計(jì)作業(yè)題參考答案； 1p X E X E 1= =,21np p n X D X D -=; 2221p p X D S E -= =；18. 設(shè)總體 40,25X N ；1 抽取容量為 36 的樣本 , 求樣本均值 X 在 38 與 43 之間的概率 ; 2 抽取樣本容量 n 多大時(shí) , 才能使概率 |40|10.95P X -. 3 抽 取樣本容量 n 多大時(shí) , 才能使 |0.5E X - . 解 設(shè)樣本容量為 n , 就 1,02540 N n X u -= ； 1 此時(shí) 36=n , 1,036 2540 N